黑蚂蚁搬家-河北大学研究生招生

第十四讲 工程问题综合提高



本讲知识点汇总：
1.
工程问题基本公式：
工作量=工作效率×工作时间；
工作时间=工作量÷工作效率；
工作效率=工作量÷工作时间．
2.
理解“单位1”的概念并灵活应用；
3.
有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件 中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工
作过程、灵活运用基本数量关系；
工作量其实是一种分率，利用量率对应可以求出全部工作的具体数量．


典型题型

1.
基本效率计算：最常见的工程问题，基本思路是根据工作过 程计算效率，通过对效
率的分析计算时间．
（1）
基本工程问题：关键在于效率的计算；
（2）
中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；
（3）
来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间，再根据总时间算每个人具体
的工作安排；
2.
具有周期性的工程问题
（1）
轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量，再独做处理零头，即剩余的
工作量；
（2）
间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理；
3.
工程问题中的比例
（1）
正反比的应用：关键要明确“什么是不变的”，从而知道该用何种比例；
（2）
效率变化：类似于行程问题中的变速问题，需要从变速点分段计算；
4.
水管问题和牛吃草问题
（1）
牛吃草问题型：设效率，比较总量；
（2）
水管问题型：注意有“帮倒忙”的水管．

生产一批帽子，甲、乙二人合作需
15
天完成．现由甲先单 独工作
5
天，再由乙单独
例1．
工作
3
天后还剩这批帽子的
有多少个？

「分析」题中已知 甲、乙的工效和，那么就应想办法让甲、乙同时工作，不妨采用假设
的工作方式分析题目．

练习1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成．现在两队合作，期
间甲队 休息了2天，乙队休息了8天．开始到完工共用了多少天时间？

3
没完成．若甲每 天比乙少加工
4
个帽子，则这批帽子共
4
例2．
A仓库货物是B仓 库的2倍，甲搬运A仓库需要32小时，乙、丙搬运B仓库分别需
要24小时和12小时．甲在A仓库、 乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬
运，中途又转向帮助乙搬运，最后两仓库货物同时搬完． 丙帮助甲搬了多少小时？
「分析」总的工作量是已知的，工作效率的和也知道，在整个工作的过程中没 有人休息，
那么，我们可以求出工作时间．

练习2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草． 单独割完一个草地的草，阿呆需要9个小时，阿
瓜需要12个小时，墨莫只需要18个小时就行．现在阿 呆和阿瓜各自负责一个大小相同
的草地．墨莫先帮助阿瓜，一会去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了 割草的任务，
那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时？

例3．
小鹿、小羊 、小猪三名打字员承担一项打字任务，若由这3人中的某人单独完成全部
打字任务，则小鹿需24小时， 小羊需20小时，小猪需16小时．
（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？
（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成？
「分析」（1 ）直接计算即可；（2）分析可得每3个小时可以作为一个周期，那么在完成
工作的过程中需要多少个整 周期哪？

练习3、一个水池有两根进水管，单开甲管12小时注 满，单开乙管15小时注满，现在
甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时 ，乙管打开1
小时……重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？

甲工程队每 工作
6
天必须休息
1
天，乙工程队每工作
5
天必须休息2
天，一项工程，
例4．
甲工程队单独做需
104
天（含休息 ），乙工程队单独做需
82
天（含休息），如果两队合
作，从
2012
年
8
月
28
日开工，则该工程在哪一天可以竣工？

「分 析」分析可得两个工程队都是每
7
天为一个周期，那么一个周期内它们完成的工作
量分 别是多少呢？


练习
4
、姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼 休息两天），周文王“四天打鱼一天晒
网”，姜太公打满一缸鱼要
38
天，周文王打满 同样的一缸鱼要
37
天，两人从
2012
年
9
月
2
号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？


一批蜘蛛侠模型，做了
例5．
1

25%
，提前
3
小时完成任务；如果做了
400
个模型后，提速
4
后，提速
20%
，可以提前
2
小时完成任务，那么这批模型有多少个？

「分析」不妨画出一个类似行程问题的线段图来分段分析本题．



甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要
12
天，二队
例6．
完成乙工程需要
18
天；在雨天，一队的工作效率要下降
40%，二队的工作效率要上升
20%
．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨 天有多少天？

「分析」在解决某些工程问题时列方程是个不错的选择．

智慧的结晶
——
《梦溪笔谈》
宋代是中国古代数学最辉煌的时期之一．北宋大科学家沈括的名著《梦溪笔谈》中，
有
10
多条有关数学的讨论，内容既广且深，堪称我国古代数学的瑰宝．

沈括最重要的数学 探讨是隙积术和会圆术．隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差
级数求和的研究领域．

所谓“隙积”，指的是有空隙的堆积体、例如酒店中堆积的酒坛、叠起来的棋子等，
这类堆积体整体上 就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥（刍童）很像．但是隙积的边
缘不是平的，而中间又有空隙，所以 不能照搬刍童的体积公式．沈括经过思考后，发现
了正确的计算方法．他以堆积的酒坛为例说明这一问题 ：设最上层为纵横各
2
个坛子，
最下层为纵横各
12
个坛子，相邻两 层纵横各差
1
坛，显然这堆酒坛共
11
层；每个酒坛
的体积不妨设为
1
，用刍童体积公式计算，总体积为
37846

，酒坛总数也应 是这个数．显
然，酒坛数不应为非整数，问题何在呢？沈括提出，应在刍童体积基础上加上一项
“

下宽上宽

高6

”即为
1106

，酒坛实际数应为

3784110

6649
< br>．加上去
的这一项正是一个体积上的修正项．在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的< br>个体的累积数（级数求和），化为连续整体数值来求解，可见他已具有了用连续模型解
决离散问题 的思想．

会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式，主要思想是局部以直代
曲．沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式，求出弧长，这便是会圆术公
式．沈括得出的 虽是近似公式，但可以证明，当圆心角小于
45°
时，相对误差小于
2%
，< br>所以该公式有较强的实用性．这是对刘徽割圆术以弦（正多边形的边）代替圆弧思想的

一个重要佐证，很有理论意义．后来，郭守敬、王恂在历法计算中，就应用了会圆术．
在《梦溪笔谈》中 ，沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是
3361
种，
并提出用数量级概念 来表示大数
3361
的方法．沈括还在书中记载了一些运筹思想，如
将暴涨的汴水引向 古城废墟来抢救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、运输，最后又
将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇 宫等．沈括对数的本质的认识也很深刻，指出：“大
凡物有定形，形有真数．”显然他否定了数的神秘性 ，而肯定了数与物的关系．他还指
出：“然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也．”

作业
1.

一项工程，甲队单独做
20
天完成，乙队单独做
30
天完成，现在由两队合作，其间乙队
休息了若 干天，从开始到完工共用了
14
天，那么乙队休息了多少天？


2.

一项工作由甲先做
6
小时，再由乙做
12
小 时即可完成，如果甲先做
8
小时，乙再做
6
小时也可完成．如果甲先做
3
小时，则乙还需要做几小时？


3.

某工程可由若 干台机器在规定的时间内完成．如果增加
2
台机器，则需要用规定时间的
72

就可完成；如果减少
2
台机器，那么就要推迟

小时完成．问由一台机器完成这项
83
工程需要多少小时？


4.

草场上放有一堆草，并且还有一片草以均匀的速度生长着，如果放养
8
头牛，则
10
天
可以吃完；如果放养
10
头牛，则
6
天可以吃完，那么如果放养
15
头牛，可以吃几天？


5.

搬运一个仓库的货物，甲需要
10
小时，乙需要
12
小时，丙需要
15
小时．现有两个相
同的仓库
A
和
B
，甲在
A
仓库，乙在
B
仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运， 中
途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，那么丙帮助甲几小时，帮助乙几小
时？< br>

第十四讲 工程问题综合提高

答案：
240
．

例7．
详解：由已知条件可知甲乙工作 效率和为
1
，而甲工作
5
天加上乙工作
3
天相当于甲
15
311
3)2
，进而
41540
乙合作三天后甲又独 自工作了
2
天，所以甲的工作效率为
(1
可知乙的工作效率为

答案：
12

例8．
11111

，所以这批 帽子共有
4()240
个．

1540242440
详解：在 整个过程中甲、乙、丙均没有停止，一直在工作，所以可以从整体上考虑这类


1< br>111

A
型的题目；
3


16
小时，对于仓库：甲搬了
161
，丙帮甲搬了
16
1 62412


1

21

12
小时．

12


240

；答案：（
1
）（
2
）
19
2

例9．
37
3
11137


详解：三人的工作效率之和为．

242016240
111240

)
（
1
） 三人同时工作时所需的时间为
1(
；（
2
）三人依次各做
1小
24201637
11137


时，也就是周期是3
小时的周期性合作，且每个周期可完成．而
242016240
3737

311

112

6
小时，即轮流工作
6
个周期后，鹿又工作了，

，

240404024

3030203

2
1
个小时，羊又工作了小时，所以共需要：631
2
19
2
小时．

3
33

例10．
答案：
10
月
12
日

详解：把工程总量看作单位 “
1
”，因为
1047146
，所以甲工作一天可完成
111 1

；因为
827115
，所以乙工作一天可完成．甲乙两人
614690511560
合作周期性工作，每
7
天完成的工作量为
余的工作量为
1
113
65
，则经过
6
个周期 后还剩
906020
31111
6
，而甲乙合作一天可完成，所以< br>4>
2010906036
1118

>3
，因此所需的时 间为
67446
，由于
8
月有
31
日，所以
8
月份工
10365
作了
4
天，而
4643012
，因此要到
10
月
12
日方可完工．

例11．
答案：
1000

详解：第一次提速前后 的工作效率比是
4:5
，工作时间比是
5:4
，所以完成整个工作需

53
(1)20
小时，要
3
第二次提速前后的工作效率比是
5:6
，工作时间比是
6:5
，
544
所以
40 0
个模型需要
8
个小时，那么这批模型有
1000
个．

例12．
答案：
10

11
1
1
，乙效 率，乙效率，假设
x
；雨天时甲效率
y

1218

15
20
1


x6

1220
共 有
x
个晴天，
y
个雨天，则可列出方程：

，解得

，所以雨天有
10
y10
xy


1

1815
天．

详解：由题意可知，晴天甲效率

练习：

练习
1
、

答案：
11

1

1

简答：甲的工作效率是，乙的工作效率是，期间甲队休息了
2
天，乙队休息了
8
10
30
13

天， 相当于甲和乙一起休息
2
天后，乙又独自多休息了
6
天，此时甲独自完成了< br>6
，
105

1

3

1
剩下的由甲和乙同时完成，所用的时间为

1




3
天，所以共用：

5

1030< br>

26311
天．

练习
2
、

答案：
2
简答：在整个过程中三人没有停止，一直在工作，所以总的工作量除以总的工作效率可

1

11
得总的工作时间为
2


8
小时，因此墨莫共帮助阿呆割了

91218



1

1

18

2
小时．

9

18
1

练习
3
、答案：
13
小时

4
113

简答：两人各做
1
小时，周期是
2小时，两人合作一小时的工作量是

，而
121520
1
< br>11

39

91


1
1

6
，剩余的工作量就是
1
，




，共需要
13
小时．
< br>20101010

1012

154
4
练习
4
、

答案：
9
月
19
号

简 答：两人都是
5
天一周期，姜太公打满一缸鱼相当于实际工作的天数是
24
天 ，周文
3431


王实际工作天数是
30
天，所以一周 期效率和是，所以共三个周期
15
天，
2430120

319

911
3()3
天，所以总共要打
18
而剩下的工作量是
1
，恰好需做

天，所以是
9
月
19
号．


作业
1.

答案：
5

11
简答：首先把这项工程的工作量看作单位“
1
”，则甲、乙的工作效率分别为、．设
2030
11
乙队休息了
x
天，由已知条件可得：
14+(14x)1
，解得
x5
．< br>
2030

2.

答案：
21
简答：在 工作总量不变的情况下，甲工作
6
小时、乙工作
12
小时或甲工作
8
小时、乙
工作
6
小时都可完成，对比前后两种情况可知当甲多工作
8 62
个小时，乙少工作了
1266
个小时，即甲
1
个小时的 工作量由乙来做要
3
个小时．因此当甲由原来工作
6
小时变为工作
3
小时后，乙要比原来多工作
9
小时，所以乙需要做
21
小时．


3.

答案：
56
7
就可完成任务，把规 定时间分为
8
份，即
8
原来所有机器工作
1
份时间的工作量 由
2
台机器用
7
份时间完成了，由反比关系可知原
72
来有
214
台机器；减少
2
台机器剩余的
12
台机器要多工 作小时，则原来计划
13
2

的工作时间为

12
24
小时，因此
14
台机器要用
4
个小时完成， 所以一台机器
3

要
56
个小时完成．

简答：增加
2
台机器后只需用规定时间的

4.

答案：
3
简答：设一头牛一天吃一份草，
8
头牛吃了
10
天，即吃了
80
份草；
10
头牛吃了
6
天，
即吃了
60
份草，前后两种情况多出来的
20
份草是因为第一种情况下比第 二种情况草多
长了
4
天，即草每天长
5
份，所以原来有
8 1051030
份草．所以
15
头牛要吃
30
3
天 ．

155

5.

答案：
3
、
5
简答：因为自始至终三人都在同时工作，且共完成的 工作总量为“
2
”，所以所需的总时
11111
间为
2() 8
小时，所以丙帮甲
(18)3
小时，丙帮乙
835
小
1012151015
时．