坎儿井-护士入党申请书

第十六讲 数论综合提高二
本讲知识点汇总：
一、约数、倍数
1
．
基本概念
(1)
如果a能被b整除(也就是b|a),贝
U
b是a的约数(因数)，a是b的倍数；
(
2
)
约数具有“配对”性质：大约数对应小约数．
2
．
约数个数
(
1
)
分解质因数，指数加 1 再相乘；
(
2
)
平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数．
3
．
约数和公式
(
1
)
如果一个数的质因数分解式为
1 a 1 b 1 c c
2
；
a
2
b
3
，贝约数和为
1 a a
2

1 b b
2

b
3
；
(
2
)
如 果 一 个 数 的 质 因 数 分 解 式 为 a b c
2
， 贝 约 数 和 为
二、公约数、公倍数
1
．
基本概念
(1)
如果a是若干个数公有的约数， 则称a是它们的公约数，其中最大的叫做最大 公约
数；
(2)
如果b是若干个数公有的倍数， 则称b是它们的公倍数，其中最小的叫做最小 公倍
数；
(3)
公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数．
2
．
计算方法
(
1
)
短 除法；
(2)
(3)
最大公约数)
分解质因数法；

辗转相除法(只用于计算两个数的
．
3
．
基本性质
(1)
(2)
a b a,b a, b ；
两个数的最大公约数是它们和或差的约数；

(3)
已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来：
例如，甲、乙的最大公约数是 5,则可以把甲乙分别设为 5a和5b,其中a、b 互质，此
时甲乙的最小公倍数是 5ab．
4
．
两个最简分数的最大公约数、最小公倍数：
a c
—, - ---------- > —5 - -----------
b d b,d b d b,d
a,c ； a c a,c
I经典题型
一、
约数、倍数
1.
约数的配对思想；
2.
约数个数与完全平方数的关系；
3.
求约数个数；
4.
求约数的和；
5.
利用约数个数反推原数的质因数分解形式.
二、
公约数、公倍数
1.
基本计算；
2.
带有应用题背景的公约数公倍数计算；
3.
有关最大公约数和最小公倍数的反求问题;
4.
最大公约数、最小公倍数的质因数的分配.
例
1
.
庆祝高思学校4周岁的生日，预计在 12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活
动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵， 开始都面朝东方站立， 第一次所
有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是 2的倍数的小朋友再向左转，第三次编 号是3的
倍数的小朋友再向左转， ……，最后一次所有编号是 100的倍数的小朋友再向
左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？
「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律.
练习1、有2012盏灯，分别对应编号为 1至2012的2012个开关.现在有编号为 1至 2012的
2012个人来按动这些开关.已知第 1个人按的开关的编号是 1的倍数，第2个 人按的开关的编号

是 2的倍数，第3个人按的开关的编号是 3的倍数，……,依次做下 去，第2012个人按的开关
的编号是 2012的倍数•如果最开始的时候，灯全是亮着的，
那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的?
例
2
．
一个数有 15 个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？ 「分析」 根据约数个数公式分析出
含有 15 个约数的数的分解质因数形式．
练习 2、
有 10个约数的自然数最小是多少？有 8 个约数的最小的奇数是多少？
例
3
．
在 35 的倍数中，恰有 35 个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式） 「分析」所求数一
定含有 35 的质因数，再结合含有 35 个约数的数的分解质因数形式即 可找到解题的突破口．
练习 3、42的倍数中，恰好有 42 个约数的数有多少个？
例
4
．
三个自然数乘积为 86400，且这三个数的约数个数分别为 8、9、10 个．那么这三个自
然数分别是多少？
「分析」 把含有 8、9、10 个约数的数的分解质因数形式及
合在一起进行分析．
86400 中个质因数的个数结
练习4、三个自然数乘积为 5184，且这三个数的约数个数分别为
个．那么这三个自然数分别是多少？
A个、A+1个、A+2
例
5
．
两个整数的差为 7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是 689，则这两个数分别是
多少？
「分析」 列不定方程求解．
例
6
．
大 雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长， 亮亮每步
长 54厘米， 爸爸每步长 72 厘米， 由于两个人的脚印有重合， 所以雪地上只留 下 60 个脚
印．问：这个花圃的周长是多少米？
「分析」 这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思

考一下题中各数据之间的关系．
亲和数(Amicable Pair)
亲和数是一种古老的数.
遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数
有真因数之和等于 b，b的所有真因数之和等于 a，则称a，b是一对亲和数.
相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：
的作用吗？ ”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：
“我结交朋友时，存在着数
a和b，a的所
“朋友是你的灵魂的倩影，要象 220和284
”后来，毕氏学派宣 一样亲密•什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我.
传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱” •从此，把220和284叫做“亲和数”
(也叫“朋友数”或叫“相亲数” )•这就是“亲和数”这个名称的来源.
毕达哥拉斯首先发现 220与284就是一对亲和数，在以后的 1500年间，世界上有
很多数学家致力于探寻亲和数， 面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的
穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血， 却始终没有收获.公元九世纪，伊拉克哲学、
医学、天文学和物理学家泰比特 依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公
或者 式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，
走出困境•数学家们仍然没有找到第二对亲和数.
距离第一对亲和数诞生 2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，
“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数
1636年，法国
17296和18416,这个发现也重新点
燃寻找亲和数的火炬•两年之后， “解析几何之父” 一一法国数学家笛卡尔于 1638年3
月31日宣布找到了第三对亲和数 9437506和9363584.费马和笛卡尔在两年的时间里， 打破了
二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛.
在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列， 他们企图用灵
感与枯燥的计算发现新大陆. 可是，无情的事实使他们省悟到， 已经陷入了一座数学迷 宫，不
可能出现法国人的辉煌了.
正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷. 1747年，年仅39岁的
瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布： 他找到了 30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列 出了亲
和数的数表，而且还公布了全部运算过程.
时间又过了 120年，到了 1867年，意大利有一个爱动脑筋， 勤于计算的16岁中学 生白
格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏 一一让眼皮下的一对较小的亲和数 1184和 1210溜掉了
•这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹.
在以后的半个世纪的时间里， 人们在前人的基础上， 不断更新方法，陆陆续续又找
到了许多对亲和数•到了 1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的
研究所得，发表了 1095对亲和数，其中最大的数有 25位.同年，另一个荷兰数学家里 勒找到了
一对有152位数的亲和数.
电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史， 人们利用计算机，可以更有 效率的
寻找和分析亲和数， 但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜， 等待着数学家和计 算机专家来解
决.

作业
1.
300 共多少个约数？其中有多少个是 6 的倍数？有多少个不是 4的倍数？
2.
把一张长 108 厘米,宽 84 厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形,且纸无剩余,至少 能裁成多少
个正方形？
3.
一个小于 200 的自然数,其最小的三个约数之和是 31,那么这个自然数是多少？(请 写出所有答
案)
4.
已知两个三位数 M 和 N 互为反序数( M>N) ,且它们的最大公约数是
值是多少？
6,那么 N 最小
5.
两个自然数的差是 5,它们的最小公倍数与最大公约数的差是
多少？
203,则这两个数的和是

第十六讲 数论综合提高二
例
7
.
答案：5 详解：从向东转向南方，可以转3次、7次、11次、15次等，即约数个数是3、7、
11、…… .100 之内的数的约数个数最多的只有 12个（有5个）.有3个约数的是4、9、25、
49 ;有7 个约数的是64；有11个约数的数最小是1024 •所以有5名小朋友最后是面朝南方.
例
&
答案：144、324
详解：有15个约数的数，质因数分解式为 匚或匚| 口 .前者最小是
2
14
，次小的是
1424
3
,都很大；后者最小的是
2 3
,次小的是
3 2
,这个数最小是144,次小是324.
例
9
.
答案：5
6
7
4

详解：因为35含有质因数5、
乙
恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这 个数最小
是5
6
7
4
.
例
10
.
答案：30 , 36, 80
详解：86 4 0 0 2
7
3
3
5
2
, 8 2 2 2 , 9 3 3 , 10 2 5易知所求三个数为 30,
36, 80.
例
11
.
答案：23和30
详解：两数之差为7,则他们的最大公约数可能为
除，所以两数的最大公约数为
7或1，而689也可被最大公约数整
1,即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为
690,易知相差7且乘积为690的两个数为23和30.
例
12
.
答案：21.6米

练习：
练习 1、答案： 1968
简答：易知第n号灯被按的次数等于 n的约数的个数，如果n号灯被按灭则灯被按了奇数次，
即n有奇数个约数，也就是n每个质因子的质数为偶数，
的完全平方数有 44 个 , 所以还有 1968 盏灯亮着．
即n为完全平方数.易知小于2012
练习 2、答案： 48；105
练习 3、答案： 4032 个
简答：因为 42含有质因数 2、3、7，恰有 42个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个
数最小是 2
6
3
2
7 4032
练习 4、答案： 12、16、27
64
简答：把 5184 分解质因数得：
5184
别是 6 个、5 个、4个
2 3

，可凑出三个数是 12、16、27，质数个数分

作业
6.
答案：18, 6, 12
简答：通过分解质因数可得答案为 18, 6, 12.
7.
答案：63
简答：正方形边长为108和84的最大公约数12,所以可裁成63个正方形.
8.
答案：25, 125, 161
简答：首先最小的约数可知为 1,则另外两个较小的约数之和为 30,可知另外两个较小 约数可以
是5和25,则答案为25和125; 7和23,则答案为161 11和19,则答案为 209; 13和17,则
答案为221 .其中小于 200的为25, 125, 161.
9.
答案：204
简答：设这
M abc
,
N cba
，则由M和N是6的倍数，可知
M N 99(a c)
是6
的倍数，则
a c
是2的倍数，又由 M是偶数可知，c可能取2、4、6或8,带入尝试 可求得 N 可
以为 204, 228, 246, 258, 294, 426, 438, 456, 498, 618, 678,最小的 是 204.
10.
答案：29
简答：两数相差5,所以它们的最大公约数为
与17,其和为29.
5或1,所以分类讨论可得这两个数为 12