高斯小学奥数六年级下册含答案第04讲_曲线形问题综合提高
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第四讲 曲线形问题综合提高
本讲知识点汇总：
一、 基本曲线形计算
1. 圆：
C2πrπd
；
π
d
2
C
2
S
π
r
．
44π
2
2.
扇形：
l
n
2πr
；
360
nlr
π
r
2
．
3602
S
3.
圆柱体：
VS
底
h
．
1
4.
圆锥体：
VS
底
h
．
3
二、
曲线形计算技巧：
1. 割补法
2. 平移、旋转
3. 重叠（容斥）
例1．
（1）如图1，有一个长是10、宽是6的长方形，那么两个阴影部分
的面积之差为多
少？（π取3.14）
（2）如图2，三角形ABC是直角三角形，AB长4
0厘米，以AB为直径做半圆，阴影
部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米．求AC的长度．（π取
3.14）
C
②
①
A
图1 图2
B
「分析」（1）阴影是不规则图形，无法直接求出面积，需要进行割补整体法求解；（2）<
br>阴影分别加上空白部分均会变成规则图形直接求出面积．
练习1、如图，
扇形AOB的圆心角是90度，半径是2，C是弧AB的
中点．求两个阴影部分的面积差．（π取3.1
4）
O B
A
C
例2．
（1）如下左图，两个相同的直角扇形放在一起，重叠部分恰好是一个长方形，且长
和宽分别为
15和5．那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
（2）如下右图，以直角三角形ABC的三
条边为直径做半圆，已知
AB6
，
AC
那么，图中阴影部分的面积是多少？
（π取3.14）
8
，
A
B
C
「分析」（1）正方形的对角线刚好是扇形的半径；（2）这道题目可能会用到勾股定理．
练习2、（1）如下左图，三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为直径画半圆，以BC
为半径画扇形．已知
ACBC10
，那么阴影部分的面积是多少？（取3.14） （2）如下右图，由一个长方形与两个直角扇形构成，其中阴影部分的面积是多少？（
取3.14 ）
A
E
D
2
5
B
例3．
如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是 一个边长为10米的
正方形，绳长是20米，那么小狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越 ，
小狗身长忽略不计，π取3）
狗
「分析」首先画出小狗活动范围的图形，然后根据每块扇形的半径求出面积．
< br>练习3、
如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个
边长为2米 的等边三角形，绳长是3米，那么小狗的
活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽
略 不计，π取3）
狗
一个半径为
1
的圆绕着边长为
4
的正方形滚动一周又回到原来的位置
，扫过的面积是
例4．
多少？（π取
3.14
）
「分析」注意拐角处扇形的半径．
练习
4
、
一
个半径为
1
的圆绕着边长为
4
的正六边形滚动一周又回
到原来的位置
，扫过的面积是多少？（
π
取
3.14
）
例5．
面上有
7
个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的
面积都是
10
，那么阴影部分的面积是多少？（
π
取
3.1
4
）
「分析」这道题目较难，需要进行巧妙的割补求解．
（1）如下左图，将对角线长度为
6
的正方形，按照如图所示的方式旋转一
周，那么
例6．
得到的旋转体的体积是多少？（
π
取
3.14
）
（2）如下右图，将上底是
2
，下底是
4
，高是
4
的梯形，
按照图中所示的方式旋转一周，
那么得到的旋转体的体积是多少？（
π
取
3.
14
）
「分析」求出必要数据，结合公式即可得出答案．
作业
1.
如下图所示，如果正方形的边长为2，那么阴影部分的面积为多少？（π取3.14）
2.
在下图中大圆的面积为30，三个小圆完全相同，那么图中阴影部分的面积为
多少？
3.
如图，阴影部分的面积是多少？（
π
取3.14）
4
4.
一个半径为1的圆绕着边长为4的等边三角形滚动一周又回到原
来的位置时，扫过的
面积是多少？（
π
取近似值3.14）
5.
如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一
个边长为4米的等
边三角形，绳长是6米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身<
br>长忽略不计，π取3）
狗
第四讲 曲线形问题综合提高
例7．
答案：（1）18.5；（2）32.8．
解答：(1)大块“
阴影+空白”刚好构成直角扇形，小块“阴影+空白”刚好构成长方形，所以直角扇
形与长方形的面积差
即是两块阴影面积的差
1
10
2
6018.5<
br>．
4
1
（2）“阴影①+空白”刚好构成半圆，“阴影②+空白”刚好等于直
角三角形，半圆面积为
20
2
628
，
2
所以，直角三角形面积为
62828656
，另一条直角边
AC32.
8
．
例8．
答案：242.5；24．
解答：（1）两个直角扇形面积之和减去长方形面积即为阴影面积：
1
5
2
15
2
752242
.5
．
2
B
例9．
答案：1050．
解答：狗的活动范围如图，分为A
、
B
、
C三部分，
31
求面积得：
20
2
10<
br>2
350
1050
平方米．
42
C
A
例10．
答案：44.56．
解答：四个半径为2的直角扇形+四个相同的长方形
1
即为该圆扫过的面积，
2
2
424444.56
．
4
例11．
答案：20．解答：阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．
这个图
形可以割补成一个顶角
60
°的扇形，因此六个这样的图形面积和正好等于一个圆；阴影
部分的面积等于两个圆的面积，为
20
．
例12．
答案：56.52；
8792
．
75
1
解答：（1）可以
把得到的立体图形看做两个锥体，体积为
3
2
3256
.52
；可以把得到的立体
3
图形看做两个锥体体积之差，体积为：
118792
．
4
2
8
2
2
4
3375
练习：
练习1、答案：0．
简答：两个阴影分别加上下部的空白部分可得到扇形和半圆，而扇形和半
圆面积相等，所以，面积之
差是0．
练习2、答案：28.5；12.765．
简答：（1）半圆+圆心角是45度的扇形面积之和减去直角三角形面积：
111
<
br>
5
2
10
2
1010
28.5
；（2）阴影面积为两个直角扇形面积之和减去长方形面积，
282
11
5
2
2
2
101
2.765
．
44
练习3、答案：24.5．
简答：解法同例
3，首先画出小狗活动的范围图，然后把活动范围分成几个扇形来求解，
300240
3
2
1
2
=24.5
．
360360
练习4、答案：60.56．
简答：圆所扫过的面积可以分
成6个长方形和6个扇形，面积之和为
426
2
2
=60
.56
．
作业
1.
答案：
0.86
．
简答：正方形的面积是
4
，圆的面积是
3.14
，所以，阴影的面积是
0.86
．
2.
答案：
20
．
简答
：大圆的半径是小圆的三倍，所以，大圆的面积是小圆面积的
9
倍，那么，阴影面积是整个面积
的三分之二，即阴影面积为
20
．
3.
答案：
4.56
．
简答：阴影面积为两个半圆的面积之和减去直角
形的面积，两个半圆的面积之和为
12.56
，直角三角形
的面积是
8
，所以，阴影面积为
4.56
．
4.
答案：
36.56
．
简答：扫过的面积为三个相同的长方形，加三
个相同的圆心角为
120
度的扇形，长方形总面积
2
×
4
×
3=24
，扇形总面积为
12.56
，所以，扫过的整个面积是
36
.56
．
5.
答案：
98
．
简答：活动范围由三个扇形构成，最大的扇形面积为
半径是
6
的圆的四分之三，即
90
，两个小扇形的
面积之和为
18
，总面积为
98
．