圣彼得堡国立大学-江汉大学教务管理系统

第二十四讲 构造论证二

例1． < br>（1）把1、2、3、…、8、9按合适的顺序填在图中第二行的空格中，使得每两个上、
下对齐 的数之和都是平方数．
（2）能否将1、2、3、…、10、11按合适的顺序填在图中第二行的空格 中，使得每两
个上、下对齐的数之和都是平方数？若不能请说明理由．

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


「分析」（1）首先判断由1到9可以凑成的平方数的范围，然后逐一计算一下哪些数一< br>起可以凑成平方数，从情况唯一或较少的数字填起；（2）分析方法同上一问，注意是否
一定能填 出．

练习1、把1、2、…、13、14按合适的顺序填在图中第二行的空格中，使得每列 的两
个数之和都是平方数．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14





例2．
（1）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？

「分析」（1） 对于1~15的每一数来说，能都凑成平方数的情况并不多，我们就可以从
这里入手分析，同学们尝试一 下看能不能得到一种合适的方案．
（2）注意到除了2以外，质数只能是奇数，那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢？


练习2、能否将1至41排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？

有
3
堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（每次这个数目可以改变），
例3．
也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中．请问：

（
1
）如果开始时，
3
堆石子的数目分别是
34
、
55
、
82
，按上述操作，能否把
3
堆石子
都拿光？

（
2
）如果开始时，
3
堆石子的数目分别是
80、
60
、
50
，按上述操作，能否把
3
堆石子
都拿光？

如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．

「分析」每次从这三堆中同时拿走相同数目的石子意味着每次拿走的石子数是
3
的倍数，所以，我们可以从石子总数这个角度分析这道题目．



练习
3
、有
4
堆石子，每次可以从这四堆中同时拿走
1
个石子；也可以从 任一堆中取出
3
个石子，另三堆各放
1
个．如果开始时，
4
堆石子的数目分别是
14
、
25
、
32
、
44，能
否把
4
堆石子都拿光？



黑板上写着
3
个数
8
，
18
，
28
，老师现在请一些 同学上黑板对这
3
个数进行操作．进
例4．
行一次操作是指：一些数减1
，其它数加
2
；或者都减
1
；或者都加
2
． 那么能否经过若
干次操作后得到
6
，
7
，
8
？能否 经过若干次操作后得到
8
，
8
，
8
？

「分析」这道题可以从三个数中任意两数除以
3
的余数角度去分析．



练习
4
、黑板上写着
3
个数
9
、
18
、
27
，老师现在请一些同学上黑板对这
3
个数进 行操
作．进行一次操作是指：把
3
个数进行如下变化，一些数减
1
、 其它数加
2
；或者都减
1
；或者都加
2
．请问：能否经过若 干次操作后得到
11
，
12
，
13
？能否经过若干次操作< br>后得到
8
，
8
，
8
？



图中是把一张
6
×
6
的方格纸去掉两个角所得的图形．

例5．

（
1
）请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个< br>1
×
2

小长方形（不论横竖）的
2
个方格中都恰有
1
个红格和
1
个


蓝格；



（
2
）能否用
1
×
2
的小长方形恰好拼 满这张表格？

「分析」本题可以采用“染色法”进行分析．

（
1
）能否用
16
个如图所示的“
T
型”拼成一个
88

的棋盘？

例6．
（
2
）能否用8
个“
T
型”和
8
个“
L
型”拼成一个
88

的棋盘？

























「分析」碰到这样的问题，我们首先要考虑的 是能不能填出，而不是一上来就去试，这
时就需要我们进行染色分析了，同学们可以先尝试一下黑白相间 染色，论述一下是否成
立？如果成立，那就需要找到一种合适的拼法．

阿兹台克文明
根据传说，阿兹台克人的祖先是从北方一个叫阿兹 特兰的地方来的，他们根
据太阳神威齐洛波契特里的指示往南来到阿纳瓦克谷的特斯科科湖；当他们来到
湖中央的岛屿时，他们看到一只叼着蛇的老鹰停歇在仙人掌上，这个意像告诉他
们应该在这里建 造城市．1325年阿兹台克人在这个地方建立了特诺奇提特兰，一
座巨大的人工岛，现在墨西哥城的中 心．
阿兹台克人原属纳瓦语系发展水平较低的一个部落，后来因吸收、融合这个
地区其他印第 安优秀文化传统而迅速崛起．公元11～12世纪间，从北部迁入墨
西哥中央谷地，1325年在特斯科 科湖西部岛上建造特诺奇蒂特兰城．1426年，
阿兹台克同特斯科科、特拉科潘结成了“阿兹台克联盟 ”，由阿兹台克国王伊兹
科亚特尔任首领，势力日盛，在谷地建立了霸主地位．继承人蒙特祖马一世及其
后的国王不断对外用兵，开疆拓土，至16世纪初，其疆域东西两面已抵墨西哥
湾和太平洋沿岸 ，北与契契梅克为邻，南至今日之危地马拉，人口约300万，发
展到极盛时期．1519年，西班牙殖 民者埃尔南·科尔特斯利用印第安人内部矛盾，
进攻阿兹台克国，蒙特苏马二世在入侵者面前动摇不定， 最后成为西班牙殖民者
的傀儡．1520年6月向人民劝降时被群众击伤而死．科尔特斯在所谓“悲惨之 夜”
侥幸逃命后，又于1521年卷土重来，阿兹台克人在新国王夸乌特莫克率领下，
与围城的 西班牙殖民者展开殊死搏斗，最后由于粮食和水源断绝，加之天花肆虐
而失败．1521年8月，西班牙 人占领特诺奇蒂特兰，在城中大肆屠杀，并将该城
彻底毁坏，后在其废墟上建立墨西哥城．
阿 兹台克文明在发展过程中，吸收了托尔特克文化和玛雅文明的许多成就，但自
己也有独创．其文字仍属图 画文字，但已含有象形文字成分．天文历法方面，使
用太阳历与圣年历，已知一年为
365天，每逢闰年补加一天．医学方面，知道利
用各种草药治病，并已使用土法麻醉．阿兹台克人的陶器 和绘画均极精致，建筑
和艺术也达到相当高的水平．首都特诺奇蒂特兰的公共建筑物多以白石砌成，十< br>分宏丽壮观．一般房屋的周围，在固定在水面的木排上种植花草，形成水上田
园．城中心的主庙基 部长
100
米、宽
90
米，四周有雉堞围墙环绕，塔顶建有供
奉主神 威济洛波特利和雨神特拉洛克的神殿，其祭坛周围有蛇头石雕，坛下发现
的重达
10
吨 的大石上，刻有被肢解的月亮女神图案，
1790
年在墨西哥城中心广
场发现的“第五 太阳石”直径近
4
米，重约
120
吨，刻有阿兹台克宗教传说中创
世 以来四个时代的图像，代表了阿兹台克人石雕艺术的高度水平．阿兹台克人是
优秀的建筑师．首府特诺奇 蒂特兰是一座岛城，有
3
条宽达
10
米的石堤与湖外
陆地相通，石堤 每隔一定距离就留一横渠，渠上架设吊桥，可随时收放，以防外
敌入侵．城内建有宫殿、神庙、官邸、学 校，建筑宏伟，最大一座金字塔台庙其
规模甚至可与古埃及的媲美．为了满足城市稠密人口对粮食的需要 ，在湖泊中建
造了独特的“水上园地”，以扩大种植面积．岛城四面环水，市内河道纵横，景
色 富丽，殖民者为之倾倒，惊呼为“世界花园”．阿兹台克人主要生产工具仍为
石器，多由黑曜岩制成，但 已会制造铜、金物品．

作业
1.
桌上放有 5枚硬币，正面朝上，第一次翻动1枚，第二次翻动其中的2枚，第三次翻动
其中的3枚，第四次翻动其 中的4枚，第五次翻动其中的5枚．能否恰当地选择每次翻
动的硬币，使得最后桌上所有的硬币都正面朝 下？

2.

把
1
、
2
、
3< br>、…、
13
按合适的顺序填在图中第二行的空格中，使得每列两个数字之和都
是 平方数．


1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13



3.

《三 国英雄传》共有
10
篇故事，这些故事占的篇幅从
2
页到
11
页各不相同．如果从书
的第
1
页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始 印，那么故事从奇数页起
头的最多有多少篇，最少有多少篇？


4.

能否将
1
至
12
排成一行，使得任意相邻两 数之和都为质数？



使得任意相邻两数之和都为平方数？如果可以的话请给出一种
5.

能否将< br>1
～
13
排成一行，
排列方式，如果不能请说明理由．

第二十四讲 构造论证二
例7．
答案：（1）如下图，（2）不能

详解：（1）略；（2）配成的平方数只有4、9 、16三种可能，11只能和5配对，而4也
只能和5配对，所以没有满足要求的填法．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8 2 6 5 4 3 9 1 7



例8．
答案：（1）9、7、2、14、11、5、4、12、13、3、6、10、15、1、8；
（2）1、2、3、14、5、12、7、10、9、8、11、6、13、4、15

详解：（2）奇数与奇数不能相邻，所以需要有7个偶数把它们分开．
答案：（
1
）能，（
2
）不能
例9．
详解：（
1
）可以按如下操作：（
34
，
55
，
82
）→（
0
，
21
，
48
）→（
24
，< br>21
，
24
）→（
4
，
1
，
4）→（
2
，
3
，
4
）→（
0
，
1
，
2
）→（
1
，
1
，
1
）→ （
0
，
0
，
0
）；（
2
）本题中三堆石< br>子数目和要是
3
的倍数，190不是3的倍数，所以，不能．

（
2
）不能

例10．
答案：
（
1）能；
详解：（
1
）可以按如下操作：（
8
，
18，
28
）→（
0
，
10
，
20
）→（
6
，
7
，
17
）→（
8
，
9，
16
）→（
7
，
8
，
15
）→（< br>6
，
7
，
14
）→（
6
，
7
，
8
）；（
2
）所有操作不能改变三个数的两
两之差被
3
除的余数大小．

（
1
）如图，白框涂红、黑框涂蓝；（
2
）不能

例11．
答案：

1
×
2
的小长方形每次恰覆盖
1
个红格和
1
个蓝格，详解：（
2
）而由（
1）


可知红格与蓝格的数目不相等．


例12．
答案：能，能












详解：方法同上．

练习：
练习1、答案：如下图
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3 2 1 5 4 10

9 8 7 6 14 13 12 11


练习2、答案：能
简答：如下：1、40、3、38、5、…、37、4、39、2、41．


练习3、答案：不能
简答：总数不是4的倍数．


练习4、答案：不能；能
简答：（1）所有操作不能改变三个数的两两之差被3除的余数大小 （2）可以实现，方
法不唯一．

作业
1．

答案：能

简答：第一次翻动第一枚，第二次翻动第一、二枚 ，第三次翻动第三、四、五枚，第四
次翻动第二、三、四、五枚，第五次全部翻动．


2．

答案：如下表


1


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

8 2 13 12 11 10

9 1 7 6 5 4 3
3．

答案：
8
；
3
简答：
2~11
页，只考虑页数总 和的奇偶不考虑数值，最多可以是偶、偶、偶、偶、偶、
奇、奇、奇、奇、奇，其中以奇数页开始的是< br>8
篇，改变顺序即可得出最少为
3
篇．


4．

答案：能

简答：如下：
11
、
1 2
、
1
、
2
、
3
、
4
、
7
、
6
、
5
、
8
、
9
、
10
．


5．

答案：不能

简答：< br>9
只能和
7
相邻，
10
只能和
6
相邻，11
只能和
5
相邻，所以这
3
个数必须放在两
端，显然 无法满足．