上海高校名单-考察学习心得体会

小学奥数举一反三六年级
第6讲 转化单位“1”（一）
一、知识要点
把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。
如果甲是乙的ab，乙是丙的cd，则甲是丙的acbd；如果甲是乙的ab，则乙是甲
的ba；如果 甲的ab等于乙的cd，则甲是乙的cd÷ab＝bcad，乙是甲的ab÷ab＝adbc。
二、精讲精练
【例题1】乙数是甲数的23，丙数是乙数的45，丙数是甲数的几分之几？



练习1：
1．乙数是甲数的34，丙数是乙数的35，丙数是甲数的几分之几？


2．一根管子，第一次截去全长的14，第二次截去余下的12，两次共截去全长的几
分之几？



3．一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了 。他醒来时，
发现剩下的路程是他睡着前所行路程的14。想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他< br>睡着时火车行了全程的几分之几？




【例题2】修一 条8000米的水渠，第一周修了全长的14，第二周修的相当于第一周
的45，第二周修了多少米？

练习2：用两种方法解答下面各题：
1．一堆黄沙30吨，第一次用去总数的 15，第二次用去的是第一次的1又14倍，
第二次用去黄沙多少吨？



2．大象可活80年，马的寿命是大象的12，长颈鹿的寿命是马的78，长颈鹿可活多
少年？



3．仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的15，第二次取出余下的 13，第二次取出
多少吨？



【例题3】晶晶三天看完一本书 ，第一天看了全书的14，第二天看了余下的25，第
二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？



练习3：
1．有一批货物，第一天运了这批货物的14，第 二天运的是第一天的35，还剩90
吨没有运。这批货物有多少吨？



2．修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的14，第二天修了余下的23，
已知这两 天共修路1200米，这条公路全长多少米？
、


3．加工一批零件， 甲先加工了这批零件的25，接着乙加工了余下的49。已知乙加
工的个数比甲少200个，这批零件共 有多少个？
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【例题4】男生人数是女生人数的45，女生人数是男生人数的几分之几？



练习4：
1．停车场里有小汽车的辆数是大汽车的34，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？



2．如果山羊的只数是绵羊的67，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？



3．如果花布的单价是白布的1又35倍，则白布的单价是花布的几分之几？



【例题5】甲数的13等于乙数的14，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？



练习5：
1．甲数的34于乙数的25，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？


2．甲数的1又23倍等于乙数的56，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的
几分之几 ？



3．甲数是丙数的34，乙数是丙数的25，甲数是乙数的几分之 几？乙数是甲数的几
分之几？（想一想：这题与第一题有什么不同？）

第7讲 转化单位“1”（二）
一、知识要点
我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量 关系的实质，又可拓展我们的
解题思路，提高我们的思维能力。
二、精讲精练
【例 题1】甲数是乙数的23，乙数是丙数的34，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、
丙各是多少？



练习1：下面各题怎样计算简便就怎样计算：
1．甲数是乙 数的56，乙数是丙数的34，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、
丙三个数各是多少？



2．橘子的千克数是苹果的23，香蕉的千克数是橘子的12，香蕉和 苹果共有220千
克，橘子有多少千克？



3．某中学的初中 部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的910，初二的学生数
是初三学生数的1又14倍，这个学 校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？




【例题2 】红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的35等于黄气球的23，蓝气球
有24只，红气球和黄气球 各有多少只？




练习2：
1．甲数的23等于乙数的56，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？



2．今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的23正好是乙得奖 金的
47，甲、乙两人各得奖金多少元？
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3．商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的14等于苹果重量 的13，梨
子的重量是200千克。香蕉和苹果各多少千克？



【例题3】已知甲校学生数是乙校学生数的25，甲校的女生数是甲校学生数的310，
乙校的男生数 是乙校学生数的2150，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？




练习3：
1．在一座城市中，中学生数是居民的15，大学生是中学生数的14， 那么占大学生
总数的25的理工科大学生是居民数的几分之几？




2．某人在一次选举中，需34的选票才能当选，计算23的选票后，他得到的选票已
达到当选票数的56，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？



3．某校有35的学生是男生，男生的120想当医生，全校想当医生的学生的34是
男生，那么全校女 生的几分之几想当医生？




【例题4】仓库里的大米和面粉 共有2000袋。大米运走25，面粉运作110后，仓
库里剩下大米和面粉正好相等。原来大米和面粉 各有多少袋？




练习4：
1．甲、乙两人各准备 加工零件若干个，当甲完成自己的23、乙完成自己的14时，
两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做 了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？

2．一批水果四 天卖完。第一天卖出180千克，第二天卖出余下的27，第三、四天共
卖出这批水果的一半，这批水果 有多少千克？




3．甲、乙两人合打一篇书稿，共有105 00字。如果甲增加他的任务的20％，乙减少
他的任务的20％，那么甲打的字数就是乙的2倍，问两 人原来的任务各是多少？



【例题5】400名学生参加植树活动，计 划每个男生植树20棵，每个女生植树15棵。
除抽出25％的男生搞卫生外，其他的同学都按计划完成 了植树任务。问共植树多少棵？




练习5：
1． 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的13放在一起是13公顷，麦地的一
半和菜地的13放在一 起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？




2．师徒两人加 工同样多的零件，师傅要10分钟，徒弟要18分钟。两人共同加工零
件168个，如果要在相同的时间 内完成，两人各应加工零件多少个？




3．有5元和2元的 人民币若干张，其金额之比为15：4。如果5元人民币减少6张，
则两种人民币的张数相等。求原来两 种人民币的张数各是多少？



第8讲 转化单位“1”（三）
一、知识要点
解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作 单位
“1，”将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。
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二、精讲精练
【例题1】有两筐梨。乙筐是甲筐的35，从甲筐取 出5千克梨放入乙筐后，乙筐的
梨是甲筐的79。甲、乙两筐梨共重多少千克？




练习1：
1．某小学低年级原有少先队员是非少先队员的13，后来又 有39名同学加入少先队
组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的78。低年级有学生多少人？



2．王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的119，后来从合 格产品中又发现
了2个不合格产品，这时算出产品的合格率是94％。合格产品共有多少个？



3．某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名女生，转走3名男 生，
这时女生占总人数的48％。现在有男生多少人？



< br>【例题2】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的38。后来又买进20根长跳
绳，这时长 跳绳的根数占长、短跳绳总数的712。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少
根？




练习2：
1．阅览室看书的同学中，女同学占35，从阅览 室走出5位女同学后，看数的同学中，
女同学占47，原来阅览室一共有多少名同学在看书？

2．一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，这堆
糖中有奶糖多少千克？



3．数学课外兴趣小组，上学期男生占59， 这学期增加21名女生后，男生就只占25
了，这个小组现有女生多少人？



【例题3】有两段布，一段布长40米，另一段长30米，把两段布都用去同样长的一
部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的35，每段布用去多少米？




练习3：
1．有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从 两根上各剪去同样长的一
段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的27，两根绳各剪去多少米？



2．今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的512时，儿子多少岁？



3．仓库里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓 库里所
剩的大米袋数时面粉的34，仓库里原有大米和面粉各多少袋？



4．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路时其他三个队
的12 ，乙队筑的路时其他三个队的13，丙队筑的路时其他三个队的14，丁队筑了多少
米？
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【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中黑白电视机占15，后来又
运进一些黑白 电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又运进黑白电视
机多少台？



练习4：
1．书店运来科技书和文艺书共240包，科技书占16。后 来又运来一批科技书，这时
科技书占两种书总和的311，现在两种书各有多少包？



2．某市派出60名选手参加田径比赛，其中女选手占14，正式比赛时，有几名 女选
手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的211。问：正式参赛的女选手有多少人？



3．把12千克的盐溶解于120千克水中，得到132千克盐水，如 果要使盐水中含盐8％，
要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？


< br>4．东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克，其中梨占水果总数的15；下午又运
进梨若干 千克，这时梨占两种水果总数的25，下午运进梨多少千克？



【例题5】一堆煤，运走的比总数的25多120吨，剩下的比运走的56多60吨，这
堆煤原有多 少吨？

练习5：
1．修一条路 ，第一天修了全长的25多60米，第二天修的长度比第一天的34多35
米，还剩100米没有修，这 条路全长多少米？



2．修一条路，第一天修了全长的25多60米， 第二天修的长度比第一天的34少35
米，这两天共修路420米，这条路全长多少米？



3．某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的25，第二天修了剩下部分的59 又20
米，第三天修的是第一天的14又30米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？



第9讲 设数法解题
一、知识要点
在小学数学竞赛中， 常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，
但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件 对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，
即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入 （当然假设的这个数要尽量的方便计算），
然后求出解答。
二、精讲精练
【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。



练习1：
1．已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。


2．五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高1 0厘米，丁比戊
矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米？

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3．甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60吨到乙仓库，从乙 仓库运45
吨到丙仓库，从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最多的比最少的多多少吨？




【例题2】足球门票15元一 张，降价后观众增加一倍，收入增加15，问一张门票降
价多少元？




练习2：
1．某班一次考试，平均分为70分，其中34及格，及格的同学平均分 为80分，那
么不及格的同学平均分是多少分？



2．游泳池 里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加
了20％，小学生占学生总数 的40％，小学生增加百分之几？
3．五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相 等，三班的男生
是全部男生的25，全部女生人数占全年级人数的几分之几？




【例题3】小王在一个小山坡来回运动。先从山下跑上山，每分钟跑200米，再 从原
路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑
200米，求小王的平均速度。



练习3：

1．小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原
路下山的平均速度。



2．张师傅骑自行车往返A、B两地。去时每小时行15千米，返回时 因逆风，每小时
只行10千米，张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？



3．小王骑摩托车往返A、B两地。平均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行
42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？



【例题 4】某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多15，女孩
平均身高比男孩高10％ ，这个班男孩平均身高是多少？



练习4：
1．某班男生人 数是女生的23，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为132厘
米。问：女生平均身高是多少厘 米？



2．某班男生人数是女生的45，女生的平均身高比男生高15 ％，全班的平均身高是
130厘米，求男、女生的平均身高各是多少？



3．一个长方形每边增加10％，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？


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【例题5】狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑 出30
米，马开始追它。问狗再跑多远，马可以追到它？



练习5：
1．猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但 兔
跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？




2．猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时
间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗可以追
到它？



3．狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离 ，而狗跑2步
的时间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多少步才能到达B地？




第10讲 假设法解题（一）
一、知识要点
假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推
算。有些题目 用假设法思考，能找到巧妙的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产 生联系；也可以假设某
个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最 后依据
它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的14与乙数的15的和是42，求两数各是多少？

练习1：
1．甲、乙两人共有钱150元， 甲的12与乙的110的钱数和是35元，求甲、乙两
人各有多少元钱？



2．甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的17，乙队人数的13，共抽调78< br>人，甲、乙两个消防队原来各有多少人？



3．海洋化肥厂计划 第二季度生产一批化肥，已知四月份完成总数的13多50吨，五
月份完成总数的25少70吨，还有4 20吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？




【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视机卖出19，则比黑白电视机多5
台。问： 两种电视机原来各有多少台？





练习2： 1．姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉17，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多
少只兔？



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2．学校有篮球和足球共21个，篮球借出13后，比足球少1个，原来篮球 和足球各
有多少个？



3．小明甲养的鸡和鸭共有100只， 如果将鸡卖掉120，还比鸭多17只，小明家原
来养的鸡和鸭各有多少只？




【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的38与 徒弟
加工零件个数的47的和为49个，师、徒各加工零件多少个？




练习3：
1．某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机的2 5和黑白电视
机的37，共卖出57台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？



2．甲、乙两个消防队共有336人，抽调甲队人数的57、乙队人数的37，共 抽调188
人参加灭火。问：甲、乙两个消防队原来各有多少人？


< br>3．学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的14和足球个数的13后，还
剩下46个 ，买来排球和足球各是多少个？

【例题4 】甲、乙两数的和是300，甲数的25比乙数的14多55，甲、乙两数各是
多少？





练习4：
1．畜牧场有绵羊、山羊共800只， 山羊的25比绵羊的12多50只，这个畜牧场有
山羊、绵羊各多少只？




2．师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的58比徒弟加工零件 个数
的23多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？



3． 某校六年级甲、乙两个班共种100棵树，乙班种的110比甲班种的13少16棵，
两个班各种多少棵 ？



【例题5】育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加 16，女学生减少15，
共有710人，本学期男、女学生各有多少人？




练习5：
1．金放在水里称，重量减轻119，银放在水里称，重量减 少110，一块重770克的
金银合金，放在水里称是720克，这块合金含金、银各多少克？

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2．某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中 初中招的新生比去年增
加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？



3．袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加38，黄球减少2 5后，红球与黄球
的总数变为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？




第11讲 假设法解题（二）
一、知识要点
已知甲是乙的 几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要
求甲、乙两个数是多少，这样的应 用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的 数
量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前
后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩 下的
长度是第二根剩下的长度的5倍，第二根原来有多少米？




练习1：
1．丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学 ，则丁晓书
的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？



2．在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450棵，
小学增加400 棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？

< br>3．两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一堆剩
下的重量是 第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？



【例题2】王明平时积蓄 下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本
4.40元的故事书后，王明的钱就是陈 刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？

练习2：
1．甲书架上的书比乙书架上的 3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则
甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书 架原来各有多少本书？



2．上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学 生的2倍多54人，本学年马村中学增加
了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学 的学生的4倍少26人，上
学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？



3．箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒
白球和15 粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有
多少粒？



【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的12，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小 刚
的23，两人原来各有彩笔多少枝？



练习3：
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1．小华今年的年龄是爸爸年龄的16，四年后小华的年龄是爸爸的14，求 小华和爸
爸今年的年龄各是多少岁？



2．小红今年的年龄是妈妈的38，10年后小红的年龄是妈妈的12，小红今年多少岁？



3．甲书架上的书是乙书架上的57，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架 上的
书是乙书架上的45，甲、乙两各书架原来各有多少本书？


【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的45，两人各捐给“希望工程”10本后，则王芳
的图书的 本数是李卫的710，两人原来各有图书多少本？



练习4：
1．甲书架上的书是乙书架上的45，从这两个书架上各借出112本后，甲书架上的书
是乙书架上的 47，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？



2．小明今年的年龄是 爸爸的611，10年前小明的年龄是爸爸的49，小明和爸爸今
年各多少岁？



3．甲车间的工人是乙车间的14，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人
只占乙车间的16，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？

【例题5】某校六年级男生人 数是女生的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这

时男生人数是女生的34，现在 男、女生各有多少人？



练习5：
1．甲车间的工人是乙车 间的25，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲
车间的人数是乙车间的79，现在甲、乙 两个车间各有多少人？



2．有一堆棋子，黑子是白子的23，现在取 走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是
白子的512，现在白子、黑子各有多少粒？



3．爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一 等
奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人，曙
光 小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖
的同学各有多少人 ？




第12讲 倒推法解题
一、知识要点 < br>有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较
繁琐。所以， 解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，
从后到前一步一步地推算， 这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练
【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书 的13，第二天看了余下的35，还剩下
48页，这本书共有多少页？


练习1：
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１．某班少先队员参加劳动，其中37的人打扫礼堂，剩下队员中的58打扫 操场，
还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？



２．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的38，第二天走了余下的23，第三天走
了250千米到达 乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？



３．把一堆苹果分给四个人 ，甲拿走了其中的16，乙拿走了余下的25，丙拿走这时
所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，这堆 苹果共有多少个？



【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的27 ，
还剩500米，这段公路全长多少米？





练习2：
１．一堆煤，上午运走27，下午运的比余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没 有
运走，这堆煤原有多少吨？



２．用拖拉机耕一块地，第一 天耕了这块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的12
多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公 顷？



３．一批水泥，第一天用去了12多1吨，第二天用去了余下1 3少2吨，还剩下16

吨，原来这批水泥有多少吨？



【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲
桶，这时两 桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？




练习3：
１．小华拿出自己的画片的15给小强，小强再从自己现有的画片中拿出14给小华 ，
这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？




２．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出15给乙后，乙又拿出14给甲，这时他
们各有90 元，他们原来各有多少元？



３．一瓶酒精，第一次倒出13，然后倒 回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的59，
第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原来瓶中有多 少克酒精？



【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次 甲拿出与乙相同的钱数给乙；
第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲 。这样，甲、
乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？




- 22 -

练习4：
１．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出 与乙班相同的人数给乙班，再
从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数 给甲班，这样，
甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？



２．甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出
8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？




３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？



【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出14到乙仓库后，又从乙
仓库运出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库
的几分之几？

练习5：
1．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后，又 从乙仓库运出
13到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之< br>几？



２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出15 到乙仓库后，又从乙仓库运
出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙 仓库的几分
之几？

３．甲、乙两个仓库各有 粮食若干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓库运
出25到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库 的910。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分
之几？




第13讲 代数法解题
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用 算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式
算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个， 乙种零
件全部合格，甲种零件只有45合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多
少个？




练习1：
1．某校参加数学竞赛的女生 比男生多28人，男生全部得优，女生的34得优，男、
女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有 多少人？



2．有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的25 是红
球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？



3． 六年级甲班比乙班少4人，甲班有13的人、乙班有14的人参加课外数学组，两
个班参加课外数学组的 共有29人，甲、乙两班共有多少人？

- 24 -

【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人 ，后来男生减少14，女生减少
16，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？




练习2：
1．某小学去年参加无线电小组的同学 比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线
电小组的同学减少15，参加航模小组的人数减少110， 这样，两个组的同学一样多。去
年两个小组各有多少人？



2 ．原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加58，乙书架上的书
增加310，这样 ，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少本？



3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨天少
110，生产的乙 种零件比昨天增加320，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生
产了多少个？




【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的15比乙 校参加人数的
14少1人，甲、乙两校各有多少人参加？

练习3：
1．学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书 的比连环画的少7本，图书馆
买来的文艺书和连环画各是多少本？



2．某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？



3．王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两
人各加工了多少个？




【例题4】甲书架上的书是乙书架 上的56，两个书架上各借出154本后，甲书架上
的书是乙书架上的47，甲、乙两书架上原有书各多 少本？




练习4：
1．儿子今年的年龄是父亲的16，4年后儿子的年龄是父亲的14，父亲今年多少岁？



2．某校六年级男生是女生人数的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这时 男生
人数是女生的34。原来男、女生各有多少人？



3．第 一车间人数的35等于第二车间人数的910，第一车间比第二车间多50人。两
个车间各有多少人？
- 26 -

【例题5】一个班女同学比男同学的23多 4人，如果男生减少3人，女生增加4人，
男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？



练习5：
1．某学校的男教师比女教师的38多8人。如果 女教师减少4人，男教师增加8人，
男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？



2．某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍 。如果从第一
仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的49。两个仓库原来各有电视
机多少台？



3．某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的 45少30人。如果从第二车间调10
人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的34。求原来每 个车间的人数。

第14讲 比的应用（一）
一、知识要点
我 们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相
转化。运用这种方法解 决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：
（ ）。



练习1：
1．甲数是乙数的45，乙数是丙数的58，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。



2．甲数是乙数的45，甲数是丙数的49，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。



3．甲数是丙数的37，乙数是丙数的2又12，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。



【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树 活动，已知第一
小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组 各
有多少人？




练习2：
1．某农场把 61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他
作物面积的比6：1。每种 作物各是多少公亩？

- 28 -

2．黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5 ：4，第
二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？



3．科技组与作文组人数的比是9： 10，作文组与数学组人数的比是5：7。已知数学
组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
【例题3】甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两
校图书 本数的比就是3：4。原来甲校有图书多少本？



练习3：
1．小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读
的页数之比为3： 5。这本书共有多少页？



2．甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲 包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的
重量比为7：5。原来甲包有多少克糖？



3．五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的13，二 班与
三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？



【例题4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿 子，其中大儿子
分得12，二儿子分得13，小儿子分得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老 人
的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事
吗？

练习4：
1．图书室取出一批书，按照一年 级得12，二年级得13，三年级得17，正好是41
本，各年级各得多少本？



2．古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个
男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三
分之一给女儿， 三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没有预料
到的。求出接近于遗嘱条件，把 遗产分给三个继承人的比。
（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（ ）：（ ）。
（2）从母亲至少得遗产的13来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：
（ ）。




3．甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的 30％，乙比丙多做13。三人各做
多少个？



【例题5】两 个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另
一个瓶中酒精与水的体积之比是 4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积
之比是多少？




练习5：
1．两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5，另 一块合金中铜与锌的比是
1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。
- 30 -

< br>2．将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，乙
队已修的与 剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？



3．光华电视 机厂上半年生产的电视机产量占全年的58，照这样的速度计算，全年可
超产1000台。这个工厂上半 年生产电视机多少台？



第15讲 比的应用（二）
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我 们处
理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用
题 。
二、精讲精练
【例题1】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走15的路，而乙走的时 间比甲少
111，求甲、乙两人速度的比。




练习1：
1．小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多15，小芳用的时间比小明多1 8。
求小明和小芳速度的比。



2．甲走的路程比乙多13，乙用的时间比甲多14。求甲、乙的速度比。



3．一个人步行每小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人
骑自行车的速度和步行速度的比是多少？

【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，乙需 5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590
个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完 成，每人应该分配到多少个
零件？




练习2： < br>1．加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需
要甲、 乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？




2．甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，比
乙制造一个零件所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少25。甲、乙、丙
各制造了多 少个零件？




3．加工某种零件要三道工序，专做第一、二 、三道工序的工人每小时分别能完成零
件48个，32个，28个，现有118名工人，要使每天三道工 序完成的零件个数相同，每
道工序应安排多少工人？



【例题3】两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：
10。已知两 厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？




- 32 -

练习3：
1．甲、乙两个长方形长的比是4：5，宽的比是3：2 ，面积的和是242平方厘米。求
甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？



2．苹果和梨的单价的比是6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3，共花去
18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？



3．大、小两种苹果， 其单价比是5：4，重量比是2：3。把两种苹果混合，成为100
千克的混合苹果，单价为每千克4. 40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？



【例题4】A、B 两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的
价格比就是7：4，这两种商品原 来的价格各是多少元？




练习4：
用两种思路解答下列应用题：
1．甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3。甲队给乙队 54吨水泥后，甲、乙
两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？




2．甲书架上的书是乙书架上的47，两书架上各增加154本后，甲书架上的书 是乙书
架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？

3 ．兄弟两人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。从年初到年底，他们
都结余720元 。他们每年的收入各是多少元？




【例题5】如图是甲、乙 、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的
路程比是1：2。王刚以每小时4千米的速度 从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千
米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙 地。甲、乙两地相距多少千米？




练习5：
1． 一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽
车去时每小时行45千 米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？




2．甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是6：5。
甲、乙每 小时各做多少个？




3．下图是甲、乙、丙三地的路线图。 已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的
比是2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往 丙地，一辆客车同时以每小时50
千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙 两地的路程？

- 34 -

第16讲 用“组合法”解工程问题
一、知识要点
在 解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确
的解题途径，若用“组 合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的
基本单位，便会使隐蔽的数量关系立 刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
二、精讲精练
【例题1】一项工程，甲、乙两队合作1 5天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只
能完成工程的730，乙队单独完成全部工程需要几天？




练习1：
1．师、徒二人合做一批零件，12天 可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟
接着做1天，共完成任务的320。如果这批零件由师傅 单独做，多少天可以完成？



2．某项工程，甲、乙合做1天完成全部 工程的524。如果这项工程由甲队独做2天，
再由乙队独做3天，能完成全部工程的13124。甲、 乙两队单独完成这项工程各需多少天？




3．甲、乙两队合 做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12
天，还剩这项工程的815。甲、乙 两队独做各需几天完成？




【例题2】一项工程，甲队独做 12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，
则能完成这项工程的12。现在甲、乙两队合做若 干天后，再由乙队单独做。做完后发现
两段所用时间相等。求两段一共用了几天？

练习2：
1．一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4 天能完成这项工程
的815。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相 等。
这两段时间一共是几天？



2．一项工程，甲、乙合做8 天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务
时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完 成？



3．某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做 要24天。这件工作先由
甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天 数是乙的
2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？



【例题3】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3
小时后，又由弟弟栽 了1小时，还剩总棵数的1116没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小
时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多 少棵？




练习3：
1．加工一批机器零件，师、 徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着再
由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的35。 已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这
批零件共有多少个？


2．修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，
还剩这条公路 的310没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？
- 36 -

3．修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端 开工，结
果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？




【例题4】一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，
乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，
也可以完成这项 工作的23。如果由甲、丙合做，需几小时完成？




练习4：
1．一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙 合
做2小时，可以完成这项工作的1318；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以
完 成这项工作的1118。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？




2．一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、
乙、丙合 做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？




3．一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、
丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5又12天完成。乙队单独做这项工程需多少
天可以完成？

4．一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙 、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2
小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才 能完成？




【例题5】一条公路，甲队独修24天可以完成 ，乙队独修30天可以完成。先由甲、
乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲 、乙、丙三队同时开工
修这条公路，几天可以完成？




练习5：
1．一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才 完
成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？



2．一 条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下
的由丙队加入一起挖， 又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？



3．一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合
做3天后，由 乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？



4．一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又
合做了1 2天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少
天？
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第17讲 浓度问题
一、知识要点
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题， 即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得
到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量 不变，那么糖加得越多，
糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二 者质量的
比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒
精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百
分数表示，即 ，
浓度＝溶质质量溶液质量×100％＝溶质质量（溶质质量＋溶剂质量）×100%
解答 浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比
较容易，在列方程时，要 注意寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题 目的条件和问题逐一
分析，也可以分步解答。
二、精讲精练
【例题1】有含糖量为 7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多
少克糖？




练习1：
1．现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少
克？



2．有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？



3．有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶
里含纯酒 精多，还是乙瓶里含水多？

【例题2】一种35％的新农药，如稀释到1. 75％时，治虫最有效。用多少千克浓度为
35％的农药加多少千克水，才能配成1.75％的农药80 0千克？



练习2：
1．用含氨0.15％的氨水进行油菜 追肥。现有含氨16％的氨水30千克，配置时需加
水多少千克？


< br>2．仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降低到
80％。 现在这批水果的质量是多少千克？



3．一容器内装有10升纯酒精， 倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满。
这时容器内溶液的浓度是多少？



【例题3】现有浓度为10％的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30％的盐 水，可
以得到浓度为22％的盐水？




练习3：
1．在100千克浓度为50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液就
可以配 制成25％的硫酸溶液？



2．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克混合后所得到的
- 40 -

酒精溶液的浓度是多少？



3．在20％的盐水中加入10千克水，浓度为15％。再加入多少千克盐，浓度为25％？



【例题4】将20％的盐水与5％的盐水混合，配成15％的盐水600克，需要 20％的
盐水和5％的盐水各多少克？




练习4：
1．两种钢分别含镍5％和40％，要得到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢和
含镍 40％的钢各多少吨？



2．甲、乙两种酒各含酒精75％和55％， 要配制含酒精65％的酒3000克，应当从这
两种酒中各取多少克？



3．甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为40％；乙桶有糖水40千
克，含 糖率为20％。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？




【例题5】甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种质量 分数的
盐水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙
管中。现在丙管中的盐水的质量分数为0.5％。最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少？

练习5：
1．从装满100克80％的盐水中倒出40克盐水后， 再用清水将杯加满，搅拌后再倒
出40克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓 度是多少？




2．甲容器中又8％的盐水300克，乙容器 中有12.5％的盐水120克。往甲、乙两个
容器分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。 每个容器应倒入多少克水？




3．甲种酒含纯酒精40％， 乙种酒含纯酒精36％，丙种酒含纯酒精35％。将三种酒
混在一起得到含酒精38.5％的酒11千克 。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有
多少千克？





第18讲 面积计算（一）
一、知识要点
计算平面图形的面积时， 有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联
系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能 认真观察图形，分析、研究已知条件，并加
以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线， 搭一座连通已知条件与所求
问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助 于图形本身的特
征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再
经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
二、精讲精练
【例题1】已知如图，三角 形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=23BC，求
阴影部分的面积。

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练习1：
1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。





2．如图所示，AE=ED，DC＝13BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。







3．如图所示，DE＝1 2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面
积。






【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形， 如图所示，已知两个三角形
的面积，求另两个三角形的面积各是多少？



练习2：
1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形 的面
积，求另两个三角形的面积是多少？

2．已知AO＝13OC，求梯形ABCD的面积（如图所
示）。



3．已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求 梯形
ABCD的面积。（如图所示）。




【例题3 】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等
分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边 形ABCD
的面积（如图所示）。




练习3： < br>1．四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为
15平方 厘米。求四边形ABCD的面积（如图）。




2．已知四边 形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方
厘米。求四边形ABCD的面 积（如图所示）。




3．如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。
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【例题4】如图所示，BO＝2 DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD
的面积是多少平方厘米？



练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。




2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。




3．已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。




【例题5】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角 形ADB的面积是3，三角形
ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。

练习5：
1．如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘
米，三 角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。




2．如图所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD
＝6平 方厘米，求三角形AEF的面积。




3．如图所示，长方形 ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4
平方厘米，求三角形AEF的面积 。






第19讲 面积计算（二）

一、知识要点
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思 考，看清组合图形是由几个基本
单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系 。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。





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练习1：
1．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



3．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。







练习2：
1．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。



3．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。

【例题3】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两 个阴影部分的面积相等。
求长方形ABO1O的面积。







练习3：
1．如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC 两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）
的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABC D的面积。



2．如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的中点，求阴影部分的面积。


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3．如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。




【例题4】如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。


【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，
把它还原成长方形后（如图所示）。
I和II的面积相等。




因为原大三角形的面积与 后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积
分别相等，所以
6×4＝24（平方厘米）
答：阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4：
1．如图所示，求四边形ABCD的面积。



2．如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。




3．图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件 求阴影部分的面
积（单位：厘米）。

【例题5】如图所示， 图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平
方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分 的面积（得数保留两位小数）。








练习5：
1．如图所示，∠1＝15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的 面积为100平方厘米。
求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。



2．如图所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：DC
＝3：1。求阴影部分的面积。




3．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。



4、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。


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第20讲 面积计算
一、知识要点
对于一些比较复 杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中
的部分图形进行平移、翻折或旋转， 化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解
答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把 “r2”整体地代入面积公式求面积。
二、精讲精练
【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。






练习1：
1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）



2．如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的
蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形
纸片面积之和 是多少？

【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。





练习2：
1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以A C、BC
为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。




3．如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为 6厘米和8厘米，
高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。

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【例题3】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。







练习3：
1．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。





3．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。






【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。

练习4：
1．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的
面积。





2．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的
面积。




3．如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个 相对的顶点以其边长为半径
分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。






【例题5】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
。






练习5：
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1．如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。







2．如图所示，O是小圆 的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，
求阴影部分的面积。




3．如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。