童年的好词好句-关于桥的谚语

第十五讲 数论综合提高一



本讲知识点汇总：
一． 整除
1．

整除的定义

如果整数
a
除以整数
b

b0

< br>，所得的商是整数且没有余数，我们就说
a
能被
b
整除，也可以说b
能整除
a
，记作
b|a
．


如果 除得的结果有余数，我们就说
a
不能被
b
整除，也可以说
b
不整除
a
．

2．

整除判定

（1）
尾数判断法

能被
2
、
5
整除的数的特征：个位数 字能被
2
或
5
整除；

能被
4
、
25
整除的数的特征：末两位能被
4
或
25
整除；

能被
8
、
125
整除的数的特征：末三位能被
8
或
125
整除．

（2）
截断求和法

能被
9< br>、
99
、
999
及其约数整除的数的特征．

（3）
截断求差法

能被
11
、
101
、
100 1
及其约数整除的数的特征．

（4）
分解判定：一些复杂整数的整除性， 例如
63
、
72
等，可以把它们分拆成互
质的整数，分别验证整除性 ．

3．

常用整除性质

以及
a|

bc


．（
b
＞
c
）

（1）
已知
a|b

、
a|c

，则
a|

bc


，则
b|c

．

（2）
已知
ab|ac

且

a,b

1

，则
a|c

．

（3）
已知
a|bc

（4）
已知
a|c

且
b|c

，则

a,b

c

．

4．

整除的一些基本方法：
（1）
分解法：
①分解得到的数有整除特性；
②两两互质.
（2）
数字谜法：
①被除数的末位已知；
②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.
（3）
试除法：

①除数比较大；
②被除数的首位已知.
（4）
同除法：
①被除数与除数同时除以相同的数；
②简化后的除数有整除特性.

二、质数与合数

1．

质数与合数的定义
< br>质数是只能被
1
和自身整除的数；合数是除了
1
和它本身之外，还能被 其它数整除
的数．

2．

分解质因数


分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，
2802
3
57
．
1002
2
5
2

典型题型

一．
整除

1．

基本整除问题：对各种整除的判别法要非 常熟悉，尤其是
9
和
11
这种常见数字；

（1）
9
的考点：乱切法；

（2）
11
的考点：
①
奇位和减偶位和；
②
两位截断求和；
③
三位截断，奇段和减
偶段和．

2．

整除性质的使用；

3．

整除与位值原理；

4．

整除方法在数字谜中的应用．


二．
质数合数

1．

质数合数填数字：注意
2
和
5
的特殊性；

2．

判断大数是否为质数：逐一试除法；

3．

末尾
0
的个数问题：层除法．





例1．
（1）五位数
365
没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五 位数可能是多少？
（2）如果六位数
387
能被624整除，则三个方格中的数是多少 ？
（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？

「分 析」（1）75可以分解为3和25；（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目
改为数字谜的 形式进行解答．

练习1、（1）六位数
10
少？
（2）如果六位数
374
能被324整除，则三个方格中的数是多少？
37
没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多
（3）末三位是999的自然数能被2 3整除，这个数最小是多少？

例2．
将自然数1，2，3，…，依次写下去组成 一个数：
111213L
，如果写到
某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36 整除，那么这个自然数N是多少？
「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除， 接下来就要用到整
除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键．

练习2、将自 然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：
111213L
，如
果写到某个自然数 N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多
少？

例3．
已知
3a7b0c
是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三 位数
abc
是多少？
「分析」分解495=5×9×11，可知只要两个三位数分别 满足是5、9、11的倍数即可，
分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？

练 习3、已知
a00b3c5
是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三
位数
abc
是多少？

一个各位数字互不相同的五位数可以被9
整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被
例4．
23
整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？

「分析」根据“去掉 末两位之后形成的三位数可以被
23
整除”及最大值或最小值可确

定五 位数的前三位，然后根据
9
的整除特性确定其余数字．


练习4
、一个各位数字互不相同的四位数可以被
9
整除，去掉末两位之后形成的两位数
可以被
29
整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？


72
乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？

例5．
「分析」立方数需满足所含质因数个数均为
3
的倍数，分解
72
可以确定质因数的种类，
满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数．



在数列
1
、
4
、
7
、
10
、
13
、
16
、
19
、
……
中，如果前
n
个数的乘积的末尾
0
的个数比
例6．
前
n1

个数的乘积的末尾
0
的个数少
3
个，那么
n
最小是多少？

「分析」末尾
0
的个数决定于
2
和
5
的对数，有一对
2
、
5
就可以确定 一个
0
，而题目

数列中
2
的个数一定多于
5的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数
5
即可．

数学王国里的一颗明珠
——
梅森素数

早在公元前< br>300
多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究
2
p
1

的先河，他在名
著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果
2
p
1

是素数，则
（2
p
-1）2
(p1)
是完
美数（
Perfect number
）．

1640
年
6
月，费马在给马林
·
梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发
现了三个非常重要的性质．我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”．这封信讨论
了形如< br>2
p
1

的数（其中
p
为素数）．

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对
2
p
1

作了大量的计算、验证工
作，并于
1644
年在他的《物理数学随感》一书中断言： 对于
p=2
，
3
，
5
，
7
，
13
，
17
，
19
，
31
，
67
，< br>127
，
257
时，
2
p
1

是 素数；而对于其他所有小于
257
的数时，
2
p
1
是
合数．前面的
7
个数（即
2
，
3
，
5
，
7
，
13
，
17
和
19
）属 于被证实的部分，是他整理前
127
和
257
）人的工作得到的；而后面的< br>4
个数（即
31
，
67
，属于被猜测的部分．不过，
人们对其断言仍深信不疑．

虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人 们研究
2
p
1

型素
数的热情，使其摆脱作为“完美数” 的附庸的地位．梅森的工作是素数研究的一个转折
点和里程碑．由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情 以及最早系统而深入地研究
2
p
1

型的数，为了纪念他，数学界 就把这种数称为“梅森数”；并以
Mp
记之（其中
M
为梅
森姓名的首 字母），即
Mp2
p
1

．如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即
2
p
1

型素数）．

2300
多年来，人类仅发现
47
个梅森素 数．由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们
誉为
“
数海明珠
”
．自梅 森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；
因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎 等同于寻找新的最大素数的历程．

作业
1.

五位数
30




5
没有重复数字，如它能被
225
整除，那么这个五位数是多少？

2.

（
1
）已知六位数
2
（
2
）已知六位数
19



012
是
99
的倍数，那么这个六位数是多少？

49
是
72
的倍数，那么这个六位数是多少？

3.
201202203L500
的末尾有多少个连续的0？



4.
两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少？



5.
太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹， 第四次炼七丹，……，
颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知 丹数
不足千，问共炼多少颗仙丹？

第十五讲 数论综合提高一

例7．
答案：（1）30675、38625、39675；（2）504；（3）26999
详解 ：（1）据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍
数，即后一个空 填2或7，填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625，
填7时，满足条件是3067 5或39675，所以答案是30675、38625、39675．
（2）将六位数补成 387999，387999除以624余495，所以387999减去495的差
387504一定 是624的倍数，所以答案是504．
（3）改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三 位是999，填完整就是29乘以
931等于26999．

例8．
答案：36
详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可．9的整除特性是乱切法就可以 ，所
以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有
1+2+3 +…+
N
是9的倍数，即
N

N1

2
是9的倍数，即N或
N1
是9的倍数，所以
满足条件的N是8、9、17、18、2 6、27、35、36，写到36时，第一次满足是4的倍数，
所以N最小是36．

答案：
865

例9．
详解：
4955911

，即只要满足是
5
、
9
、
11
的倍数即可．对
3a7

，不论
a取哪一个
一位数都不可能是
11
和
5
的倍数，所以
b0 c

一定是
11
和
5
的倍数，即是
605
．于是
3a7

是
9
的倍数，所以
a
是
8
，所以
a
、
b
、
c
组成的三位数是
865
．


例10．
答案：
13806
、
94365

详解：最小且数字不同， 则前三位只能是
138
，再根据
9
的整除特性，所以最小是
1380 6
；
最大且数字不同，则前三位只能是
943
，再根据
9
的 整除特性，所以最大是
94365
．

例11．
答案：
648


例12．
答案：
83

详解：这是一个首项为
1
，公差为
3
的等差数列，由题意知第
n1

个数应为
125
的倍数，
即
3n1125k

，可知
k
取
2
时符合要求，此时
n
为
83
．







练习：

练习1、答案：（1）105372；（2）220、544或868；（3）20999
练习2、答案：35
练习3、答案：548或908
简答：即
a00b 3c5
要分别被4、9和11整除，由
a00b
与
3c5
整除特性且 a、b、c代表
不同数字可知
a00b
与
3c5
分别要被（4、9） 与11整除，所以可求得
abc
是548或908．
练习4、答案：最小值是2907；最大是8793

作业
6.

答案：
38025
简答： 能被
225
整除，即能分别被
9
和
25
整除，所以可得该五 位数为
38025
．


（
1
）
2601 72
；（
2
）
197496
7.

答案：
简答：（
1
）设该六位数为
2a01b2
，其为
99
的倍 数，即
2a1b2
能被
99
整除，又
a
、
b< br>为个位数，所以易知
a6，b7
，所以该六位数为
260172
； （
2
）能被
72
整除，即能
分别被
8
和
9
整除，所以可得该六位数为
197496
．


8.

答案：
75

简答：
500
！所含
0
的个数减去
200
！所含
0
的个数即可，答案为
75
．


9.

答案：
34
简答：易 知
34
2
119035
2
，所以可估算出所求的数为
3 4
．


10.

答案：
900
简答： 前
n
次共炼制
n
2
颗仙丹，且
n
2
是60
的倍数，所以
n
含有质因数
2
、
3
和5
，于
是当
n23530
时，
n
2
 900
为所求答案．