古尔邦-法国大学专业

第十二讲 复杂行程问题



这一讲，是我们最后一次系 统地学习行程问题，我们将针对扶梯问题、
优化配置问题、往返接送问题等几类特殊的行程问题进行详细 讲解．它们都

是整个行程问题中复杂度较高，难度较大的问题，需要大家对以前学过的各
种分析方法有比较好的掌握，并能够将它们综合运用．
本讲知识点汇总：
一．
扶梯问题
1．

扶梯问题类似于流水行船问题，解题时要注意人速和电梯速度的合成．
2．

和流水行船的不同，扶梯问题通常会考虑“人走的路程”和“电梯带
人走的路程”，所以在解题时通常 需要把路程分拆．
3．

解题时注意比例法的应用．
二．
优化配置问题
注意“极值”发生时的状况；

三．
往返接送
一般的往返接送问题的过程如下：
1．

车载甲出发，乙步行前进；
2．

在某地甲下车，甲、乙步行，车返回接乙；
3．

车接上乙后继续向目的地前进，甲、乙同时到达终点．
A
甲
乙
①
①
②
②
③
②
③
B

往返接送的不同类型：
1．

车速不变，人速相同；
此时图是对称的，即甲、乙会走同样多路程，此时只要把①和②两个
过程合并起来考虑即可．
2．

车速不变，人速不同；
此时两人走的路程不同（走的快的人会多走一 些），所以需要先把①、
②过程合并，再把②、③过程合并，用这两次过程分别计算比例．
3．

车速不同，人速相同；
4．

车速不同，人速不同；
5．

多组往返接送．

例1．
自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒向上移动了1级台阶． 卡莉娅在扶梯向上行走，
每秒走两级台阶．已知自动扶梯的可见部分共120级，卡莉娅沿扶梯向上走， 从底部走
到顶部的过程中，她共走了多少级台阶？
「分析」当卡莉娅顺着扶梯向前进时，她所 走过的路程应该小于扶梯可见部分长度，因
为除了她自身向前走了一段距离外，扶梯还把她往前带了一段 ，这两段路程加起来才是
扶梯可见部分的总长．
卡莉娅
扶梯可见部分
扶梯



练习1、
自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒 向上移动了1级台阶．卡莉娅在
扶梯向下行走，每秒走两级台阶．已知自动扶梯的可见部分共120级， 卡莉
娅沿扶梯向下走，从底部走到顶部的过程中，她共走了多少级台阶？



例2．
自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了150级；乙从底部向上
走到顶部，共走了75级．如果甲的速度是乙的速度的3倍，那么扶梯可见部分共有多
少级？
「分析」甲逆着扶梯走，他走过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少？乙顺着扶梯
走，他走 过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少？


练习2、自动扶梯由上向下匀速运 动，甲从顶部向下走到底部，共走了90级；乙从底
部向上走到顶部，共走了120级．如果乙的速度是 甲的速度的2倍，那么扶梯可见部分
共有多少级？


四辆汽车分别停在一 个十字路口的四条岔路上，它们与路口的距离都是
18
千米，四
例3．
辆车 的最大时速分别为
40
千米、
50
千米、
60
千米和
70
千米．现在四辆汽车同时出发
沿着公路行驶，那么最少要经过多少分钟，它们才能设法相 聚在同一地点？

「分析」
4
辆车要能够相聚在同一地点，一 个前提要求是在相应的时间内，任意两辆车
必须能够相聚到同一地点．



练习
3
、
一个边长为
4
千米的正方形环路，它的四个顶点处 各有一辆汽车，最
大时速分别为
10
千米、
10
千米、
40
千米、
40
千米．允许调整四辆车的初始
位置，但必须保证每个环路四个顶点 处各有一辆车．如果
4
辆车同时出发，
开到环路上的某个地方集合，最少需要多少分钟 ？





某种小型飞机满油最多能飞行
150 0
千米，但不够从
A
地飞到
B
地．如果从
A
地派< br>3
例4．
架这样的飞机，通过实现空中供给油料，可以使其中一架飞机飞到
B
地，另两架安全
返回
A
地，那么
A
、
B
两 地最远相距多少千米？

「分析」只需让一架飞机飞到
B
地即可，其余两架安 全返回．返回的两架飞机其实就
是给飞往
B
地的飞机供油的．

< br>练习
4
、
一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到距驻地很远的指挥
部．每辆摩托车装满油最多能行
120
千米，且途中没有加油站．由于一辆摩
托车无 法完成任务，队长决定派四辆摩托车执行任务，其中一辆摩托车负责
把文件送到指挥部，另三辆则在中途 供给油料后安全返回驻地．请问：指挥
部距小分队驻地最远可能是多少千米？





高思学校的
80
名同学去距学校
36
千米的铁路博物馆参观．但学校只有一辆接送车，
例5．
车上最多只能载
40人（除了司机）．已知车速每小时
45
千米，同学们步行速度是每小
时
5
千米．那么他们最少需要多少分钟才能到达博物馆？

「分析」首先要 把全部同学等分成两队，然后保证两队同时达目的地，为了保证尽可能
快的到达目的地，汽车送一个队走 的时候，另外一个队也要步行往前走，这样显然会更
快一点．另外，汽车把第一拨人到底送到哪里放下呢 ？如果送到终点，那么汽车回去接
另一拨人时，第一拨人就在目的地干等着，这显然不合理；若是放下的 较早，则汽车回
头把第二拨人接到终点时第一拨人还没到，还得再回去接第一拨人，这显然也不合理．因
此，放下第一拨人的时间应该恰到好处：汽车把第一拨人送到某个地方放下，回去接第
二拨人， 将第二拨人送到目的地时第一拨人恰好也到目的地．




超人队和蝙蝠侠队从同一地点同时出发，到
29
千米远的体育馆参加比赛，但只有一
例6．
辆接送车，一次只能乘坐一个队的队员．超人队的步行速度是
6
千米

时，蝙蝠侠队的
步行速度是
3
千米

时，汽车速度是
42
千米

时．为了尽快到达体育馆，那么超人队步
行的距离是多少千米？< br>
「分析」同上一题目，注意这一次两队步行路程是不一样的．




同时性的妙用——苏步青的狗
苏步青是我国著名的数学家．他小时候，有人曾给他 出了这样一道数学题：甲、乙两人
同时从两地出发，相向而行，距离是50公里，甲小时走6公里，乙每 小时走4公里．甲有
一条狗，每小时跑8公里．这只狗和甲一起出发朝乙跑去，碰到乙的时候它又掉转头 跑回甲，
碰到甲又掉头跑向乙……就这样来回跑，直到两人碰头为止．那么这条狗一共跑了多少公里路？

课
堂 内 外
空中霸主 ---战斗机

歼击机又称战斗机，二战时期称驱逐机．相对于战略空军的轰炸机，战斗机是指 战术空
军的机种，战斗机包括歼击机，截击机，强击机．歼击机是夺取制空权的主力机型，通常中
低空机动性好，装备中近程空对空导弹，通过中距空中格斗，近距离缠斗击落敌机以获得空
中优势，或 为己方军用飞机护航．截击机是高空高速的本土防空型机种，机动性通常不如歼
击机，装备远程空对空导 弹或反辐射导弹，主要任务是拦截高空高速入侵的敌方侦察机，超
音速战．
战略轰炸机，洲际 导弹，还可以用远程反辐射导弹攻击远处的敌方预警指挥机．早期的
歼击机是在飞机上安装机枪来进行空 中战斗的；每架歼击机都装有20毫米以上的航空机关
炮，还可携带多枚雷达制导的中距拦射导弹和红外 线制导的近距格斗导弹和炸弹或命中率很
高的激光制导炸弹，以及其他对地面目标攻击武器．歼击机最大 飞行时速达3000千米，最
大飞行高度20千米，最大航程不带副油箱2000千米，带油箱时可达5 000千米．机上还带
有先进的电子对抗设备．主要用来歼灭空中敌机和其他空袭兵，其特点是速度大， 上升快，
升限高，机动性好．

作业
1.
自动扶梯由下向上匀速运动，每秒向上移动了1级台阶．阿呆在扶梯顶部开始往下行走，
每秒走3级台阶．已知自动扶梯的可见部分共100级，那么阿呆从顶部走到底部的过程
中，自 动扶梯移动了多少级台阶？

2.
自动扶梯匀速向上行驶，男孩与女孩同时从自动 扶梯底部向上走，男孩速度是女孩的两
倍，男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部，扶梯露 在外面的有多少级？



3.
一个边长为36千米的正方形环 路，它的四个顶点处各有一辆汽车，最大时速分别为32
千米、36千米、40千米、50千米．允许调 整四辆车的初始位置，但必须保证每个环路
四个顶点处各有一辆车．如果4辆车同时出发，开到环路上的 某个地方集合，最少需要
多少分钟？

4.
在一个沙漠地带，汽车每天行 驶250千米，每辆汽车最多可载行驶24天的汽油．现有
甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成探 测任务后，沿原路返回．那么通过合理安
排，其中一辆车能探测的最远距离为多少千米？（两车均要回到 出发点，汽车不可在沙
漠中停留）

5.
甲班与乙班学生同时从学校出发 去公园，甲班步行速度是每小时4千米，乙班步行速度
是每小时3千米，学校有一辆汽车，速度是每小时 36千米．这辆汽车恰好能坐一个班
的学生，为了使两班学生能在最短时间内到达公园，那么甲、乙两班 学生需要步行的路
程之比是多少？

第十二讲 复杂行程问题
例题：
例题1. 答案：96
详解：卡莉娅每秒走2级，自动扶梯每秒走0.5级，速度比为
2:0.54:1
．卡莉娅沿 扶梯向上从
底部走到顶部的过程中，卡莉娅和扶梯走的时间相同，所以二者的路程比也为
4:1
．而路程和就是
楼梯可见部分的长120级，所以卡莉娅共走了
120
< br>14

496
级台阶．
例题2. 答案：120
详 解：如图，甲逆着扶梯向下走，行走的距离比扶梯可见部分要长，同时扶梯又把他向上带了一段，
这段距 离就是图中甲所走路程比扶梯可见部分长出来的那段．乙顺着扶梯向上走，同时扶梯把它向
上带了一段， 两者相加恰好等于扶梯可见部分的总长．
由于甲、乙两人的路程比为
150:752:1< br>，速度比为
3:1
，故所花的时间比为
图中左侧扶梯与右侧扶梯运行的时间比也 为
2:3
，相应的路程比也是
2:3
．而这两段扶梯运行的
路程总和 等于
1507575
级，所以两段扶梯分别为30级和45级，扶梯可见部分的总长等于< br>21
:2:3
．因此
31
15030120
级．
150级
扶梯
扶梯可见部分
乙
75级
扶梯
甲

例题3. 答案：24
详解：速度最慢的两辆车的速度和为每小时< br>405090
千米，它们要相聚到一起，走过的总路程
最少为
1823 6
千米，需要的时间最少为
36900.4
小时，即24分钟．于是24分钟即为 所
求的最少时间，此时速度最慢的两辆车都沿最短路径超对方所在的岔路开，直到相遇于某个点
C
．其
余两辆车只要以适当的速度往相遇地点
C
行驶就可以了．
例题4. 答案：2250千米
详解：不妨设甲飞机从A地飞往B地，乙、丙两架飞机给甲飞 机供油．乙、丙有两种不同的方式供
油给甲，分情况讨论：
（1）甲、乙、丙同时起飞，中途 C点乙、丙同时将自己的油给甲，然后返回，此时甲满油前进到B
点，如图所示．设能够支持飞机飞过1 500千米的油量为“1”份，可知AC一段，是乙、丙共“2”份油，
使甲、乙、丙共走过5个AC的 距离，而“1”份油可走过1500米，那么AC一段的长度就是
215005600
千 米．接下来的CB段，甲满油飞过1500米．这种情况下，AB两地相距
15006002100
千米．
A
甲
乙

丙

C
B

（2）甲、乙、丙同时起飞，中途C点的时候，丙将油分给甲和乙，使甲、 乙满油前进，到达D点的
时候，乙将自己的油分给甲，然后返回，使甲满油前进到B，如图所示．同样设 能支持飞机飞行
1500千米的油为“1”份，可知丙的“1”份油支持甲、乙、丙走过4个AC，那么 AC的长度为
15004375
千米．然后考虑，乙的“1”份油支持甲、乙走过3个CD 段和乙单独走过1个AC
段（返回时）．可知，CD段的长度是

1500375< br>
3375
千米，然后甲满油走过DB为1500
千米，此时AB的路程是
37537515002250
千米，大于2100千米，为AB的最远距离．
A
甲
乙
丙





例题5.
答案：112分钟

C
D
B
详 解：如图所示．同学步行速度均为5
千米时
，汽车的速度为45
千米时
，所以 汽
车满载时和队员速度比为
9:1
，路程比也为
9:1
．设汽车把第 一部分同学（40名）放
下时已经走了9份，那么这时另外40名同学走了1份．然后汽车回来接乙队， 做相
遇运动，这时汽车和乙队的距离为
918
份，同学步行速度均为5
千 米时
，汽车的
速度为45
千米时
，汽车和同学速度比为
9:1
，所以汽车走了的7.2份，第二拨同学
走了的0.8份．这段时间第一拨也走了0.8份．汽车此时 离第一拨的距离为8份．此
后汽车和甲队同时到达终点．速度比为
9:1
，所以路程为
9:1
，相差8份．所以这段
时间汽车走了9份路程，第一拨走了1份路程．经分析可 知，全程为10.8份，36千
10
米，可知1份为
3610.8
千米． 那么整个过程所用的时间就是，汽车满载开过
3
1010
930
千米，队 员步行
1.86
千米所用的时间，即为
33

30456 5

60112分钟
．

9份
放下第一拨





1份
0.8份
回接第二拨
9份
8份
7.2份
0.8份
1份

例题6.
答案：6.5千米
详解：如图所示．汽车先送
蝙蝠侠队，然后回来接超人
队，最终蝙蝠侠队和汽车同
时到达．

起点
“1”份
“7”份
45
3
“”份
“
104
”份
8
体育馆









练习：
1. 答案：160
简答：
120

41

4160
．
2. 答案：108
简答：由
3. 答案：12
“
3
”份
4
“
21
”份
4
90120

:3:2
，
1209030
，得：扶梯可见部分共有
9030

23

3108级．
12
简答：相遇时，两辆时速10千米的车的路程和最少是4千米，所以相遇最少需< br>4

1010

0.2
小
时，即12分钟．
4. 答案：192千米
简答：不妨设甲送文件到指挥部，乙、丙、丁三车给甲供油．按照例 题4中方法2供油，第一段由丁
供油，然后丁返回；第二段由丙供油，然后丙返回；第三段有乙供油，然 后乙返回．最后甲满油前进
到指挥部．与例题同样的方法计算，可知最远的路程是192千米．



作业：
秒，自动扶梯移动了
50150

级．

1.

答案：
50
．简答：整个过程经历了
100(31)50

2.

答案：
54
级．简答：男女生的路程比是3:2
，速度比是
2:1
，那么他们上扶梯的时间比是
3:4
， 所以男
生上扶梯时，扶梯走了
3
份；女生上扶梯时，扶梯走了
4
份， 因为男生比女生多走
9
级，所以扶梯走
的
1
份就是
9
级，所以男生走扶梯时，扶梯共走
27
份，加上男生自己走的，共
54
份．

3.

答案：
72
．简答：必有两辆车合走了三条正方形 的边才能到达相遇点，所以需要最少时间为
小时，即
72
分钟．

363(4050)1.2

4.

答案：
450 0
千米．简答：甲、乙同时出发，中途乙将自己的油给甲，将甲的油装满，注意此处留下一
份能 够返回出发点的油，等甲回来的时候，用这份留下的油回到出发点．

5.

答案：
11:8
．简答：先让甲送乙班前进，到达一点后返回接甲班，然后与乙班一起到达公园 ，具体做
法见例题．