青浦区高级中学-丑石读后感

第十八讲 最值问题二



一、最值问题中的常用方法

a)

极端思考

在 分析某些最值问题时，可以考虑把问题推向“极端”，因为当某
一问题被推向“极端”后，往往能排除许 多枝节问题的干扰，使问
题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解．

b)

枚举比较

根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使 题目的条件逐步
缩小范围，筛选比较出题目的答案．

c)

分析推理

根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可
能相同的推理方法．

d)

构造调整

在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取
得出奇制胜的效果．

二、求最大值和最小值的结论

1．

和一定的两个数，差越小，积越大；

2．

积一定的两个数，差越小，和越小；

3．

两点之间线段最短．



例1．
用一根长80厘米的铁 丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的
体积最大是多少立方厘米？
< br>「分析」题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这
二者联系起 来呢？

练习1、（1）用一根长100厘米的铁丝焊接成一个棱 长都是整数厘米的长方体框架，这
个长方体的体积最大是多少立方厘米？
（2）有一根铁丝， 它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36立方厘米，
这根铁丝的长度是多少厘米？


例2．
有5袋糖，其中任意3袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？
「分析」每3 袋的总块数都超过60，要求5袋的总块数．事实上我们以前做过类似的
题：“已知三个数两两的和数， 求这三个数的总和．”这样的题大家是怎么处理的呢？它
的处理方法能否应用到本题中来呢？


练习2、有5个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如
果其中每三人的积分之和都不少于500分，那这五人的总积分最少是多少？




用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
各 一个组成
3
个三位数，使得它们都是
9
的倍数，并
例3．
且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．

「分析」为了让这样的三个数的乘积最大， 我们当然要让三个数的首位最大．那么首位
9
的倍数有什么特征呢？它对这三个数应该是多少呢 ？注意到这三个数都是
9
的倍数，
提出了怎样的要求？




练习
3
、用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
各一个组成两个三位数，使得它们都是3
的倍数，并且
要求乘积最大，请写出这个乘法算式．


< /p>

把
1
至
99
依次写成一排，行成一个多位数：
1234L9899
．从中划去
99
个数字，剩下
例4．
的数字组 成一个首位不是
0
的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多
少？
「分析」要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？



练习
4
、把
1
至
20
依次写成一排，行 成一个多位数：从中划去
20
个数字，
1234L1920
．
剩下的 数字组成一个首位不是
0
的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能
是多少 ？





邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道 长
1
千米．如果邮递员从邮局出发，必
例5．
须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？

1
1

邮局
1
1
1
1
「分析」如果邮递员恰好没有重复 地走遍所有的街道，则这样走的总路程就是最短的．那
么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画 问题，同学们回想一下，什么样的图
形才能一笔画出来呢？

如图，有一个长方体的柜子，一 只蚂蚁要从左下角的
A
点出发，沿柜子表面爬到右上
例6．
角的
B
点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图
中表示出来．
B
3
A
1

3
「分析」众所周知 ，两点之间线段最短．然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能
在柜子表面爬行．这样一来，我们就 要在柜子表面寻找一条从
A
到
B
的最短路线．可
是蚂蚁应该怎么走才 能距离最短呢？

罐头装箱问题
我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题，怎么摆放才能最有效地利用
包装箱内的空间呢？
一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状，像图
1
这样．它是一种较优排法，< br>但不是最优的办法．没有最大限度地利用空间，浪费不少，圆的面积只占总共的
78.5%
．






图1 图2
比上述办 法好得多的办法，是将罐头摆放成图
2
所示的六边形．不难算出，正六边
形内圆所覆盖 的面积超过了
90
％．实际上，数学家已经证明了如果空间是无限延展的，
这种六边形 摆放法是最紧密的包装方式．

但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的，尤其在盒子不太大 的时候．例如要放
9
个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的．如图
3
，它的放法就不比图
4
好．








图3 图4
当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断在变，越来越
倾向于正六边形排法．
比如，
13
个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径
3.7
倍的
正 方形就够了．如图
5
，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明为最优
解．我们可以看到，< br>12
个罐头紧紧地靠在一起，而第
13
个（黄色的
那个）则自由自在地 放在中间．

最后，大家思考一个问题：设1角钱硬币的直径为
a
厘米，那 么我们在边长为
10a
厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？是
10 0
枚吗？能否放进去更
多？



图5

作业
1.
用一根长120厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米 的长方体框架，这个长方体的体
积最大是多少立方厘米？

2.
高、娅、 莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，
那么这四人的勋章合起来最 多有多少块？

3.
用1、2、3、4、5、6、7、8各一个组成两个四位数， 使得它们都是3的倍数，并且要
求乘积最大，请写出这个乘法算式．

4.
把21至40依次写成一排，行成一个多位数：
21222324L3940
．从中划去20 个数字，
剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能
是多少？

5.
如果例题5中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递 员从邮局出发，要走
遍所有的街道，最少需要走多少千米？
1
1
邮局
1








1
1
1

第十八讲 最值问题二

例7．
答案：294
详解：长方体满足：
长宽高80420< br>厘米，要使体积最大，就应该使三边长度
尽量接近．所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘 米时，体积最大，为
776294
立方厘米．

例8．
答案：103
详解：任意3袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；现 在余下4
袋，同样可以有糖果数超过21块的袋子，再取走这袋．现在余下三袋了，这三袋糖果
总和不少于61，所以总的糖果不少于61+21+21=103块．由于5袋糖果分别有21、21、
21、20、20块，是符合要求的，所以103就是最小值．

873×621
答案：
954×
例9．
详解：每个数都是
9
的倍数，说明 每个数的各位数字之和都是
9
的倍数．由于
1
到
9
总的数字 和是
45
，而且每个数的各位数字之和都不超过
7+8+9=24
，因而三个 数的各位
数字之和分别为
18
、
18
和
9
．各位数 字之和为
9
的数最大只能是
621
．其余两个数乘积
要尽量大且各自 的各位数字之和是
18
，百位取
9
和
8
，十位取
7
和
5
，个位取
4
和
3
，
872
， 故所求的乘法算式是
954×873×621
．

有最大乘积
954×

例10．
答案：最大为
99999 7585960…9899
；最小是
11626364…9899
详解：（
1
）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的
9
．首先，最开头
的
12345678
这
8
个数字是要去掉的，留下了第一个
9；然后去掉
1617181
共
19
个数字，留下了第二个
9；再去掉
3
次的
19
个数，使得剩下第
3
、
4
、
5
个
9
．现
4=84
个数，剩下的数前
5
个数字都是
9
，然后是在已经去掉了一共
8+19×
565758 59
一直写到
9899
，还能再去掉
15
个数．但我们到下一个9
要去掉
19
个数，到下一个
8
要去掉
17
个 数，到下一个
7
要去掉
15
个数，于是最后结果的第
6
个数 字最大是
7
，应该去掉的
15
个数字为
565
．所以剩下的 数最大为
999997585960…9899
．

（
2
） 要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是
1
，第二位起是尽量多的
0
．首位上 的
1

取第一个数字
1
就行了．然后去掉
234567 891
共
9
个数，留下第一个
0
；再去掉
61718192
共
19
个数，留下第
2
个
0
；再去掉
3< br>次的
19
个数，就能得到第
3
、
4
、
5个
0
．现在一共去掉了
919485
个数，剩下的数前六个数字是
1
、
0
、
0
、
0
、
0
、
0
，余下的部分是
5575859
一直写到
9899
，还能 再去掉
14
个数．下一
位取不到
0
了，只能去掉一个
5，留下
1
；再下一位连
1
都取不到，只能去掉
1
个5
，
取
2
；再去掉一个
5
，留下
3
； 去掉一个
5
，留下
4
．现在还能再去掉
10
个数字，而剩< br>下的是
55565758596061……
，接下来
11
个数中最小的 数是
5
，所以取一个
5
．然后剩
下的数前
11
个数 字为
55657585960
，因而我们去掉
10
个数字
55657 58596
，使下一位达
到最小数字
0
．所以最后剩下的数最小是
1 1626364…9899
．


例11．
答案：
26
详解：如图
1
，由于的
A
、
B
两点连出的边是3
条，也就是奇数条，仅当
A
与
B
为出发
点和终点时， 才能一笔画．我们不能从邮局出发一笔把这个图画出，即邮递员不能只把
每条街道走一遍就回到邮局，他 至少应该多走
1
千米街道，最小是
26
千米．在图
2
中，< br>我们给出了邮递员走
26
千米走遍所有街道的一种方法．

1
1
邮局
A
B
1
1 1
1
图1
邮局
1
1

A
B
1
1 1
1
图2

例12．
答案：最短的长度是
5
；
4
详解：为了表示方便，我们把长方体的 各个顶点都标上字母，如图
3
．蚂蚁要从
A
处爬
HF
、FG
、
GC
、
CD
、到
B
处，途中必须经过两 个相邻的面，两个相邻面的交线必是
EH
、
DE
六条线段中的一条．一共六种 情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是
FG
、
DE
的情形为一类 ，交线是
HE
、
GC
的情形为一类，交线是
FH
、
DC
的情形为一
类．

H
H
F
3
E
A
3
图3
C
1
D
A
3
图4
G
B
F
B
1
G
3
F
G
B
3

C
A
3
图5
C
1 D
情况
1
：如果蚂蚁所经过的两相邻面是
ACGF
和
FGBH
，那么我们可以 沿着它们的交线
FG
把这两个面展开到同一个平面上，如图
4
．这样蚂蚁的整 个行走路线就在这一个平
面上，而且以
A
为起点，
B
为终点．此时从
A
到
B
的最短连线就是
A
、
B
两点的连线 ，
它恰好直角三角形
ABC
的斜边．由于
AC3
，
BC 314
，因此
AB5
．

H
F
E
1
A
3
C
图6
3
G
D B
3
E
A
3
C
1
D
A
图7
G
B
F
3
E
3
C
1
H
G
B

D
情况
2
：如果两相邻面的交线是
GC
．同样我们也可以沿着
GC
，把两个相邻面展开 到同
一个平面上，如图
5
．此时
A
、
B
两点的连线 是直角三角形
ABD
的斜边．由于
BD3
，
AD314，因此
AB5
．

情况
3
：如果两相邻面的交线是< br>DC
．同样我们也可以沿着
DC
，把两个相邻面展开到同
一个平面上， 如图
6
．此时
A
、
B
两点的连线是直角三角形
AG B
的斜边，一定比直角边
AG
长．而
AG
的长度是
33 6
，所以
AB
一定大于
6
．

2
、
3
对应相同．其余三种情况的最短路线与上面的情况
1
、所以爬行路线长度最少是< br>5
，
（
1
）和（
2
）的情形都符合要求，加上与它们 对应的两种，所以一共会有
4
条最短路线．把
展开图还原到原来的图中，就是所求的最 短路线（如图
7
）．因此在长方体表面，从
A
到
B
的最短路 线的长度是
5
，一共有
4
条满足要求．

练习1、答案：576
简答：
100425889
，
889576
．


练习2、答案：834
简答：总积分最少是
167167500834
，此时5人分数可以是166、167、167、167、167．


练习3、答案：642×531
简答：6和5分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是 3的倍数，可得到乘积最大的算式
642531
．

练习4、
答案：95617181920；1
简答：同例4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性．

作业
6.
答案：1000
简答：
120430101010
，
1010101000
．

7.
答案：17
简答：必有两人的勋章数都不多于4块，余下两人勋章数之和不多于9块，因而最多只能有
449 17
块．

8.
答案：
85327641

简答：首位要尽量大，取8和7，次位也尽量大，取6和5，然后是十位要尽量大，从4和3里取．也
就是前三位分别取853和764能使乘积最大．但还要保证都是3的倍数，故只能是8532和7641，所< br>求的乘法算式是
85327641
．

9.
答案：93333334353637383940；17383940

10.
答案：36
简答：这个图是可以一笔画画出的，最少路程等于街道全程36千米．