小学奥数六年级《余数问题》经典专题点拨教案
巴菲特的名言-给新老师的一封信
余数问题
【求余数】
（1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）
一组，就可得到331组，尚余4个6。
而6666÷7=952……2。所以，原式的余数是2。
例2
9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。
（《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。
9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。
7×3=21，21÷9=2……3。
所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。
例3 在1、2、3、4、…
…、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些
数中的每两个数的和都能被26整除
，那么这样的数最多能选出_______个。
b5E2RGbCAP
（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余
数分类。
要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之
和等于26。
但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数
有1994÷26=76（个）……余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被
26整除，而余数为13的数共有77个。
p1EanqFDPw
所以，最多能选出77个。
【同余问题】
例1
一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是
_____。
（全国第一届“华杯赛”初赛试题）
讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，
余数相同，那么这个整数一定能整
除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（26
2—205）的最大公约数。
DXDiTa9E3d
不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。
例2 小张在计算有余数的除法时，把被
除数113错写成131，结果商比原来多3，
但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989年
上海市小学数学竞赛试题）
RTCrpUDGiT
讲析：被除数增加了131-113=
18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是
18÷3=6。又因为113÷6的余数是5，所
以该题的余数也是5。
5PCzVD7HxA
例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分
不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。
夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分
五等份，它拿走自己的
一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五
等份，
它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少
有
______个桃子。
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（哈尔滨市小学数学竞赛试题）
讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前
一只猴子剩下的4等份
再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另
加进4个桃子，则连续五次可以分成5等
份了。
xHAQX74J0X
加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。
因为4与5互
质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，
也能分成5等份。这样，这堆桃子就
能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有5
×5×5×5×5-4=3121（个）。
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DAYtRyKfE
例4 在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能取出_____
_个数，使取出的
这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。
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（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。
余数是0：7、14、21、28
余数是1：1、8、15、22、29
余数是2：2、9、16、23、30
余数是3：3、10、17、24
余数是4：4、11、18、25
余数是5：5、12、19、26
余数是6：6、13、20、27
要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。
所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。而余数为0的数只
取一个。
故最多可以取15个数。