小年是哪一天-党章学习思想汇报

第九讲 几何综合问题



这一讲我们学习几何综合题， 题型是复杂而巧妙的．这种问题往往需要
我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借 巧劲．比如
已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积．把边长具体
数值求出 来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的．而且事实上也是
没必要的，我们可以把面积为2的正方 形边长设为
a
，它的两倍为
2a
，则
a
2
2，以
2a
为边长的正方形面积为
2a2a4a
2
42 8
．我们再来看
几个用类似想法解决的问题．

本讲知识点汇总：
一、
巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．
1. 圆与直角三角形中利用勾股定理．
2. 同底三角形利用“
公共底高的和2
”求 面积和，
“
公共底高的差2
”求面积差．

3. 不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面
积之间的和差关系．
二、
辅助线与几何变换．
1. 通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析．
2. 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解．
三、
图形运动．

能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的
边界，并 求解相关的长度和面积．

如图，阴影部分的面积是
25
平方厘米，求圆环 的面积．（

取
3.14
）

例1．



O
D
A



C
B

「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，而圆环等于大圆减去
小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？


练习1、
下图 中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积．（
π
取3.14）
O

如图，在长方形
ABCD
中，
AB3 0
厘米，
BC40
厘米，
P
为
BC
上一点，PQ
垂直
例2．
于
AC
，
PR
垂直于
BD
．求
PQ
与
PR
的长度之和．



O
R


B P C
Q

A
D
「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让
P
取特殊点 ，例如取成
B
点，所求的长度之和就是
B
点到
AC
边的距离 ．但
PQ
与
PR
的长度之和是否是一个固
定的值呢？



练习
2
、
P
为
CD
边上一点 ，
PQ
与
BD
垂直，如图，在面积为
72
的正方形中，PR
与
AC
垂直．求
PQ
与
PR
的和．

A
O
Q
D


P
R
C
B

例3．
如图，P为长方形ABCD内 的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为
13．请问：三角形PBD的面积是多少？
A
P
D
B
C

「分析」直接用面积公式 或者比例关系来求三角形PBD面积，显然不可行．那么还有
什么方法可以用来求三角形PBD面积呢？

练习3、
如图，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积 为7，三角形
PBC的面积为20，三角形PCD的面积为4．请问：三角形PAD的面积是多
少？三角形PAC的面积又是多少？

P
A
D
B

C

中国古代的几何学
形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的 简单概念，并往往以图画来表示，
而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的 ．规矩以作圆方，
中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说： 夏
禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方
向 的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看
到与手工业制作有关 的实用几何知识．
战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学< br>的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体
公式．在《 九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一
般原理以解决多种问题．例如 求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽
原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是 球的体积的“幂势既同则积不容异”的
原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．

如图，一 个六边形的
6
个内角都是
120

，其连续四边的长依次是
1
厘米、
9
厘米、
9
例4．
厘米、
5
厘米．求这个六边形的周长．

9
9
5

1
「分析」所给六边形各内角都是
120°
，这使 我们联想到正六边形．在求解与正六边形
有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“ 补”．“割”是指把六
边形分割干个边长或面积为
1
的正三角形；“补”是指在正六边 形中取出三条互不相邻
的边来延长，补成一个正三角形．这两种方法对本题适用吗？


练习
4
、
一个六边形的
6
个内角都是
120

，并有连续的三边长均为
6
厘米．如
果这个六边形的周长是
32
厘米，那么该六边形最长的边有多长？

6
6

6

如图，在四边形
ABCD
中，
AB30
，
A D48
，
BC14
，且
ABDBDC90
，
例5．
ADBDBC90
．请问：四边形
ABCD
的面积是多少 ？




B




「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然
ABDBDC90
，但它们并不是紧挨 着的；
虽然
ADBDBC90
，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形 做怎样的变换，才
C

D
A

能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？




如图，一块半径为
2
厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线段
AB
、
BC
、
CD
滚到位
例6．
BC
、
CD< br>的长都是
20
厘米，置②．如果
AB
、那么圆板扫过区域的面积是多少 平方厘米？
（
π
取
3.14
，答案保留两位小数．）

B
120
2
D

C

「分析」这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形，并画出对应的轨迹图．


1
A

课
堂 内 外
中国古代的几何学
形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画 来表示，而
图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国< br>古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，
“左 规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这
些都说明了早 期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有
关的实用几何知识． 战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定
义．《周髀算 经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在
《九章算术》及刘徽注解的 《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决
多种问题．例如求任意多边形面积的出入 相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅
提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则 积不容异”的原理；以内接正多边形
逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．

作业
1.

如果图
1
中的圆环面积为
12.56
，阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部
分的面积 是多少？（
π
取
3.14
）




图1
A
F
E
B
D
图2
P
A
D
C
2.

如图
2
，等腰三角形
ABC
中，
ABAC5
，
BC6
．
D
为
BC
边上的
一点，
DE
与
AB
垂直，
DF
与
AC
垂直，那么
DE
与
DF
的和是多少？< br>



3.

如图
3
，
P
为长方形
ABCD
外的一点．三角形
PAB
的面积为
5< br>，三角形
PBC
的面积为
30
，三角形
PCD
的面积 为
24
．那么三角形
PAD
的面积是
多少；三角形
PAC< br>的面积是多少？

B
图3
C


< br>6
、
5
、
5
厘米，并有四边长为
5
、如图< br>4
所示．现
4.

一个六边形的
6
个内角都是
120

，
在用一条线段把六边形分成两部分，则上、下两部分图形的面积比是多少 ？




，其各边长度如图所示（单
5.
右图中有一个上下、左右都对称的“十字型”
位：厘米），一个半径为
1
厘米的小 圆沿其外周滚动一周，那么小圆经过
区域的面积等于多少？（答案保留圆周率
π
）
8
4
4
8
5
图4
5
6
5
第九讲 几何综合问题

例题：
例题1.
答案：157平方厘米
详解：记大圆半径为R，小圆半径为r，那么圆环的面积为
π R
2
r
2
，我们只要能够
1
求出
R
2< br>r
2
即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于

R2
r
2

，所以
2
22
Rr225 50
．由此可得圆环面积等于
503.14157
．
例题2.
答案：24厘米
A
O
Q
P C
D

详解：利用勾股定理可得
AC50
厘米，所以
OBOC25
厘 米．长方形ABCD
1
的面积等于
30401200
平方厘米，所以△B OC的面积等于
1200300
平
4
方厘米．连接OP，观察△OPB与 △OPC，它们分别以OB和OC为底，是一
对等底三角形，而对应的高就是PR和PQ，因此面积和就 等于
B
R

OBPROCPQ

225< br>
PRPQ

212.5

PRPQ
< br>，而这个面积
和就是△BOC的面积，等于300，所以
12.5

PRPQ

300
，由此可得
PRPQ30012.524厘米．
例题3.
答案：8
A
P
S
1

B
8
图1
C
B
图2
D A
S
2

S
3

C
D
详解：图 1阴影部分的面积是整个长方形的一半，
而图2阴影部分的面积也是整个长方形的一半．两
个阴 影部分有一块公共部分，那就是△APD．去掉
这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有
S
1
S
2
S
3
．由题意，
S
1
13
，
S
2
5
，所以
S
3
1358
．
例题4.
答案：42厘米
详解：为便于 描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米和b厘米．如
右图所示，将图形补成一个等边三角形， 最上方的应该是一个边长为9厘米的
等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得 最大的等
边三角形边长为
19919
厘米．这样
a19955
，而
b191a13
．六
边形边长就等于
9951 51342
厘米．
例题5.
答案：936
9
1
1
1
9
9
9
5
a
a
a
b
详解：如图所示，我们可以将图形中的△BCD左右翻转一下，变成了△BED，
这样就和为 90°的角就能拼到一起，构成完整的直角．例如∠ABE与∠ADE
就都是直角．接着连结AE，△A BE与△ADE都是直角三角形，AE是它们
公共的斜边．根据勾股定理，由此可得
BE40
．这
B
AB
2
BE
2
AD
2
DE
2
，
样就可以分别求解△ABE与△ADE这两个直角三角形的面积．将其相 加，
30404814
即可得总面积为
936
．
22
例题6.
答案：228.07
详解：小圆滚动时所经过的区域如右图 所
示．接着我们分块求解每一部分的面积．半
圆FEQ、半圆JKL的面积之和是
4< br>
；长方
F
E
A
Q
G
B
120
H
30
A
48
D
？
E
14
J
K
D
L
I
P
O
C
M
N

形FGBQ、BHIP、IJLM 的面积之和是

181614

4192
；60°的扇形B GH的面积
18π
为
4
2
π
；PIMNO部分的面积 为
12π
；所以总面积为
6
8π
3
23
4π1 9212π204π228.07
．
33



练习：
1. 答案：125.6平方厘米
简答：如右图所示，将图形从中间切开分为左、右两部分，每一部分都和例题1一模一
样．
2. 答案：6
简答：正方形面积等于“对角线平方的一半”，所以正方形对角线的平方就等 于
722144
，由此可得正方形ABCD的对角线AC等于12，所以OC、OD长均为 6．与
例题2类似，连结OP，然后利用△OCD的面积等于
72418
可得PQPR182OC18266
．
3. 答案：9；16
简 答：如右侧左图所示，△PAB与△PDC是一对同底三角
形（分别以AB和CD为底），他们的面积和 等于
“
AB高的和2
”．不难看出它们“高的和”就等于AD，
所以它们 的面积和就等于长方形ABCD面积的一半，由此
可得长方形ABCD的面积为

7 4

222
．△PAD的面
积等于△PAB、△PBC及△PCD的面积 之和减去长方形
B
A
高和
P
P
D
A
高差
D
C
B
C
ABCD的面积，即
7 204229
．至于△PAC的面积，只要用总面积减去△ABC
与△PCD的面积即可 ，等于
720411416
．
4. 答案：10厘米
简答：如 图所示，将图形补成一个完整的正三角形，其边长为
66618
．记原
6 六边形的最短边为a，最长边为b．那么
ab18612
．而由于正六边形周长为
32，所以
2ab321814
．由此可得b为
122141 0
厘米．




作业：
1.
6
6
6
a
6
6
b
b
6
a
b
答案：8

简答：圆环面积为：
πR
2
r
2
12.56
，所以
R
2
r
2
4
，阴影部分面积等于

2

R
2
r
2

8
．

2.
答案：4.8
简答：作BC边上的高，可得高为4（利用勾3股4弦5）．这样三角形ABC的面积就
等于12．接 着就和例题2做法类似，连接AD并利用等底三角形的面积和即可．

3.
答案：11；6
简答：△PCD与△PAB的面积差（即
24519
） 等于长方形ABCD面
积的一半，△PBC与△PAD的面积差等于长方形ABCD面积的一半．所以△PAD的面积为
301911
．△PAC的面积等于△PBC的面积减去
△PAB及△ABC的面积，所以面积为
305196
．

6
6
5
6
6
11
6
6

6
5

6

4.
答案：
85:96


6
5
简答：如图，在六 边形的上方、左下和右下各补一个边长为6厘米的等
边三角形，将图形补成一个完整的等边三角形．由此 可求出六边形的中间分割线长为
5611
厘米．接着利用线段的份数关系求面积比．位于上 方的梯形，其上底为6份，
下底为11份，高为5份；而位于下方的梯形，其上底为5份，下底为11份 ，高则为6
份．接着利用这些线段的份数关系，得到面积比为



611

5
85

．

511

696
5.
答案：
1089π

简答：如图所示，利用图形的对称性，只要分析小圆经 过区域的四分之一即
可．图中阴影部分就是小圆经过区域面积的四分之一，只要求出图中阴影部分
的面积，然后再乘以4即可得最后答案．
4
4
4
4