交强险条款-销售总结范文

第八讲 复杂直线型计算



我们在之前的学习中已经详 细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了

直线形中的各种比例关系．下面我 们就对这些知识作一下总结．
本讲知识点汇总：
我们在之前的学习中已经详细学习了直线形 长度、角度以及面积的计算，并学习了
直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结．
一、角度问题
1.
n
边形的内角和是
180

n2

；
2.
n
边形的外角和是360°．
二、基本直线形的面积计算：
三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式（详细公式略）．
三、直线形中的比例关系
1. 等高三角形：面积比等于底的比．
a
S
1
b
S
2
b

1

3
1

2
a
S
1
a
S
2
b
b
S
1
S
2
S
1
:S
2
a:b
a
S
1
S
2
2. 共角三角形：面积比等于共角夹边比的乘积．如右图所示，阴影三角形< br>1
与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的，右侧边占大三角形
3
右侧边的
1
111
，那么它的面积就是大三角形的

．
2
236
3. 沙漏三角中的比例关系：如下图所示，上下两个三角形底边平行，另两 边呈交叉关
系，则有比例关系
ace

成立．
bdf
a
c
f
b
4. 长方形中的比例关系：
e
d
f
b
a
c
d
e
c
f
a
e
d
b

S
1

S
2

a
b

（1） 共边长方形的面积比等于另一组边的比．如右图所示，
S
1
a

．
S
2
b




（2） 如右图所示，长 方形被一对分别平行于长、宽的线段一分为四，
S
S
a
则有面积比例：
1

3

．将其写成交叉相乘的形式可得
S
1
 S
4
S
2
S
3
．
S
2
S
4
b

5. 一般四边形中的比例关系：
（1） 如右图所示，当四边形被对角线分为四个部分的时候，这四块的面
S
S
积有
1

3
的比例关系成立．
S
2
S
4
（2） 如右图所示，连接四边形的一条对角线CD，并在 CD上取一点O，连
S
S
接OA和OB，将四边形分为四部分．这四部分的面积仍然有 比例关系
1

3
成
S
2
S
4
立．
上述两个比例关系还可以通过交叉相乘，写成
S
1
S
4
 S
2
S
3
的形式．
6. 金字塔模型：
右图三角形中添加一条与底边平行的平行线，就是
金字塔模型．金字塔模型的比例关系如右图：
a
1
b
1
a
1
b
1
c

和

1
．
a
2
b
2
a
1
a
2
b
1
b
2
c
2
S< br>1

S
2

S
3

S
4


a
S
3
S
4
b
S
1
S
2
S
1
S
3
S
4
S
2
a
1
c
1
a
2
c
2
b
1
a
1
b
1


a
2
b
2
b
2
a
1
bc

1

1

a
1
a
2
b
1
b
2
c
2
7. 燕尾三角形：
上面的等高三角形中我们学过等高三角形的比例关
金字塔模型

系，如下左图所示，△ABC被线段AD一分为二，且有比例关系
S
1
:S
2
a:b
．
如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有4个小三角形，这4个小 三角形的面
积之间的比例关系如图中所示．
A

S
1
a


S
2
b
A
外比：
S
1
O
B
S
3
S
4
D
C
S
2
内比：
S
1
S
3
BD


S
2
S
4
CD
S
1
B
a
D
S
2
b
C
S
1
S
2
AO


S
3
S
4
OD

面积之间的比例关系如图中所示．

A
、
B
是两个大小完全一样的长方形，已知这个长方形的长比宽长
8
厘 米，图中的字
例1．
母表示相应部分的长度．则
A
、
B
中 阴影部分的周长之差是多少厘米？

「分析」根据图中标出的字母，你能用字母
a、
b
分别表示出长方形的长和宽以及两图
中阴影部分的周长之差吗？



b
b



练习1、下图中，大 正六边形内部有7个完全一样的小正六边形．如果阴影部分的周长
是l20(阴影部分周长由内、外两部 分组成)，那么大正六边形的周长是多少？
②
A
b b
B
a
①
a a

b b b b


如图，
ABCDE
是正五边形，
CDF
是正三角形，那么∠
BFE
等于多少度？

例2．
「分析」正五边形的每个内角是多少度？等边三角形 每个内角又是多少度？由此如何求
出∠
BFE
的度数？



B
F





C
D
E

A

练习2、如下图 ，已知ABCDEF是正六边形，ABIJK是正五边形，ABGH是正方形，图
中∠AFK、∠AHK 哪个大，它们的差是多少度？
E D
J



F


A


B

K
H
G
I
C
例3．
如图，四边形ABCD与四边形CNMP都是 平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF
的面积分别是21和43，则三角形BNE的面积为多少？
P
F
M
E
A
B

N
D
C
「分析」两个平行四边形为我们提供了几组平行线这个条件，那么如何使用平 行线作为
我们的解题突破口呢？


练习3、图中的长方形被分成若干小块 ，其中四块的面积已经标出，那么阴影部分的面
积是多少？
11
23
27
14

已知四边形
ABCD
是平行四边形，三角形
AEF
的面积为
4
，三角形
CDE
的面积为
9
，
例4．
那么平行四边形的面积等于多少？

F
E
A D

B
C
「分析」这道题中有一个“沙漏形”是可以用在解题中的请你找出．


练习
4
、图中的梯形被分成四小块，其中两块的面积已经标出，那么梯形的 面积是多少？

A
4
O
16
B



如图，大长方形被分为四个小长方形，面积分别为
12
、
24
、
35
、
49
．那么图中阴影图
例5．
形的面积为多少？

A
G
12
B
E
F
49
J
I
35
D
24
C
H


C
D

「分析」图中的 阴影三角形是包含在长方形中的．如何利用三角形与长方形的面积比来
求阴影部分呢？

如图所示，
ABCD
是一个长方形， 点
E
在
CD
延长线上．已知
AB

5
，< br>BC

12
，三角形
例6．
AFE
的面积等于15
，那么三角形
CFE
的面积等于多少？

E
A
B
F
D

C
「分析」在这道题中你首先能求出哪些 部分的面积请先求出，然后再根据这些面积的关
系去寻找图中的线段长度关系．

课
堂 内 外
几何原本
《几何原本》（希腊语：Στο ιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13
卷．这本著作是现代数学的基础，在 西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍．这本书是世
界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也 是欧几里得最有价值的一部著作．在《原
本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和 思考中获得的几何知识，把
人们公认的一些事实列成定义和公理，用这些定义和公理来研究各种几何图形 的性质，从而
建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻
辑体系——几何学．而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作．
《几何原本》集整个古希腊数 学的成果和精神于一书．既是数学巨著，又是哲学巨著，
并且第一次完成了人类对空间的认识．除《圣经 》之外，没有任何其他著作，其研究、使用
和传播之广泛，能够与《几何原本》相比．
《几何 原本》大约成书与公元前300年，原书早已失传，如今见到的《几何原本》是经
过后来的数学家们修改 过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容有关图
形的知识（即几何知识）． 1582年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了15卷本的《原本》．1600年，明代数学
家徐 光启（1562- 1633）与利玛窦相识后，便经常来往．1607年，他们把该书的前6卷平面
几 何部分合译成中文，并改名为《几何原本》．后9卷是1857年由我国清代数学家李善兰
（1811- 1882）和英国人伟烈亚历译完的．
《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这 个体系中有四方面主要
内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）．《几何原本》第一卷列有2 3个定义，5
条公理，5条公设．（其中最后一条公设就是著名的平行公设，这些定义、公理、公设就是
《几何原本》全书的基础．全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的．比
如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证．都要根据前面的定义、公理、定
理进行逻辑推 理给予仔细证明．
欧几里得的《几何原本》是中学生学习数学基础知识的好教材．它巳成为培养、提高 青、
少年逻辑思维能力的好教材．历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而做出了
伟大的贡献．两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材．哥白尼、伽利略、笛
卡尔、牛顿等 许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出
了许多伟大的成就．

作业
它是由若干块面积为
12
平方厘米的小长方 形砖和
3
块白色小
1.

如图，
正方形砖砌起来的一面墙，问这块墙的面积是多少？




2.

如图，将一个正方形的左上角和左下角折起来，并且交于
A
点，求
∠
1
等于多少度？

B
1
E



C
A
D

B
3.

如图，
ABCD
是一个长方形，
E
为
CD
边的一个三等分点，如果图
中阴影部分面积为
1
，求长方形
A BCD
的面积．



A
O
1
D
A
E
C
B
4.

如图，面积为
4
的正方形
ABCD
中，
E
、
F
是
DC边上的三等分点，求阴
影部分的面积．




O
D
E

F
C
5.

如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
D
、
E
、
F
分别是相应边的三等分点，三角
形
ADO
的面积是多少？



D
A
O
E




B F C

第八讲 复杂直线型计算
例题：
例7．
答案：16厘米
详解：长方形的长为
a2b
，宽为
ab
．再根据长比宽多8厘米，就能求出
b8
厘米．长
方形A中，阴影部分的周长为< br>6b4a2b4

ab

．长方形B中，阴影部分有6条边，
它的周长其实就等于大长方形的周长，等于

a2bab

 24a6b
．两者相差
2b2816
厘米．

例8．
答案：
168

详解：因为△CDF是正三角形，所以
CFD FCD60
．正五边形的内角和是

52

1803 180540
，每个内角是
5405108
．因此
BCF 1086048
．△BCF是等腰三角形，所以
BFC

1 8048

266
，
同理
DFE
也等于66
．因此看得到
BFE360BFCCFDDFE3606 66066168
．

例9．
答案：22
详解 ：如图连接AM，因为PM∥AD，所以由蝴蝶模型可知三角形DFP与三角形AFM
面积相等；同样道 理三角形BEN与三角形AEM面积相等，所以三角形BEN面积=43
－21=22．



A
D
F
P
M
E
B

N
C
例10．
答案：30
详解：三 角形AFE与三角形DCE构成沙漏模型，而已知面积比为4:9，所以对应边长
比为EF:EC=2: 3，因此FE:FC=2:5．三角形AFE又与三角形BFC构成金字塔模型，所
以三角形AFE与三 角形BFC的面积比为4:25，因此三角形BFC的面积为25，所以四
边形ABCE的面积为25－ 4=21，因此平行四边形的面积为21+9=30．

例11．
答案：15 < /p>

1
详解：
GE:EH12:241:2
，所以
GE GH
．
GF:FH49:357:5
，所以
3
S
1E F1
5EF151

，因此阴影部分
FHGH
．由此可得，
1
．而
阴影

S
ACDJ
2GH8
1 2GH3124
11
的面积等于
S
ACDJ


12244935

15
．
88

例12．
答案：30
详解：三角形ABF与三角形DEF构成沙漏模型，所以
ABAF
，即

DEFD
ABFDDEAF21530
，所以
FD30AB6
，又因为AD=12，所以AF=6，
因此
DE215A F5
．所以三角形CFE的面积=
(CDDE)FD230
．

练习：
1. 答案：90
简答：阴影部分的外周长与大正六边形相同，而阴影部分 的外周长等于内周长的3倍，
因此阴影部分外周长等于总周长的
33
，即
12 090
．
44

2. 答案：
3

简答： 四边形内角等于90°，五边形内角等于108°，六边形内角等于120°，所以
△AFK与△AHK 都是等腰三角形，
KAH1089018
，
KAF12010 812
．
因此
AHK

18018
281
，
AFK

18012

 284
，两者相差
3
．

3. 答案：25
简答：如图作辅助线构造蝴蝶模型即可．



11
12
12
13
13
27
11
23
14 14


4. 答案：36
简答：三角形AOD与三角形 BOC构成沙漏模型，而已知面积比为4:16=1:4，所以对应
边长比为OD:OB=1:2，因此 三角形AOD与三角形BOA的面积比为1:2，所以三角形BOA
的面积为8．由蝴蝶模型可知三角形 COD的面积也是8，所以梯形的面积是4+16+8+8=36．

作业：
1. 答案：270
简答：设小长方形的长为x，宽为y．从水平方向的线段可以看出
5x3x3y
，因此
2x3y
．所以小长方形的长宽比为3:2，而相应小正 方形的边长就是
321
份．由此
可得小长方形的面积是白色小正方形的
3 26
倍，即
1262
．接着把小长方形与小
正方形的面积相加即可得 到答案．

2.

答案：
75
°

B
E
简答：如右图，添加一个点
F
．△
ADE
是正三角形， 所以
AED60

，
F
因此
BEA=906030

，由于△
AFE
是由△
BFE
折叠而来的，
因此两个三角形完全相同，都是直角三角形，而且
1
FEAFEBBEA15

．因此
190FEA75

．

2
C

3.

答案：
24
1
A
D
简答：由
CO:OAEC:AB1:3

，得：
S
△OAE
=3S
△OCE
=3

，
S
△ACE
=4

．又由
CD3CE

，
得
S
△DAC
3S
△ACE
=12

，所以整个长方形的面积为
24
．


4.

答案：
1
简答：不妨设
S
△OEF
=a

．由
EF
与
AB
平行，得
OE:OBOF:OAEF:AB 1:3

．

所以
S
△EOA
S
△FOB
3a

，
S
△AOB
9a

，
S
四边形ABFE
16a
．

288
又
S
四边形ABFE
=S
四边形ABCD
S
△ADES
△BCF
S
四边形ABCD
=

，所以
16a=

，阴影部分面积为
333
6a=1

．


5.

答案：
1


27
简答：
AD:AB=1:3
由金字塔模型可知
S
△ADE
:S
△ABC1:9

．在三角形
ADO
与三角形
EFO
中由沙漏 模型可知
DO:OE=AD:EF
，而由金字塔模型可知
EF:AB=2:3
，所以
1
DO:OE=AD:EF=1:2
，因此
S
△ADO
:S
△ADE
1:3

，因此三角形
ADO
的面积为

．

27