高斯小学奥数六年级上册含答案第04讲 对应计数
石家庄工商职业学院-陆军军官学院分数线
第四讲 对应计数
有9个球排成一行:
我们往其中插入两块(相同的)木板,就能够把这9个球分成三堆,例如:
可以看
到,插入两块木板把9个球分成三堆的方法很多,那么到底有多少种插入木
板的方法呢?每相邻两个小球
之间有一个空隙,一共有8个空隙.插入的两块木板要把
小球分成三堆,说明两块木板要放在两个不同的
空隙之中.8个空隙选两个,共有
C
8
2
28
种方法.
如果要把三堆小球分别装入颜色为红、黄、蓝的三个袋子里,又有多少种装法呢?
其实,
所谓装入红、黄、蓝三个袋子,就是把球分成三堆,因此答案也是28.这样我
们就把“小球装袋”问题
转化成“小球插板”问题来求解了,这种方法我们称之为“插
板法”.
放入红色放入黄色放入蓝色
“插板法”是一种特殊的对应技巧,能够帮我们解决很多计数问题.
例1. 把20个苹果分给3个小朋友,每个小朋友至少分1个,共有多少种分苹果的方法?
如果可以有小朋
友没有分到苹果,共有多少种分法?
【分析】
「分析」题
目的第一问与我们上面的小球插板问题非常相似,如何用“插板法”求解呢?
第二问允许有的“小朋友没
有分到苹果”,还能不能用“插板法”呢?
练习1、
龟丞相把7个顶级乌龟壳分给
4只小乌龟.如果每只小乌龟至少分一
个,共有多少种分法?如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳,共有
多少种方
法?
某班
40
名学生参加了一项关于“超市是
否应该提供免费塑料袋”的调查,每人均在
例2.
“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓
”三个选项中做出了选择.请问:三个选项的
统计数字共有多少种不同的可能?
「分析」题目只关心三个选项的统计数字,需要具体考虑每个学生所作的选择吗?
练习
2
、
8
名同学做同一道单选题,它有
A
、
B
、
C
、
D
四个选项,每个同学都选了其中一个选项.老师为了调查同学们的做题情况,把选择各个选项的人数都做了统计,则有
多少种可能的
统计结果?
最早的计数方法——对应法
我们这一讲学习对应
的计数方法,这种计数方法有很强的技巧性,很考验思维能力.也
许你觉得这种对应法不是那么容易掌握
,但它其实是非常有用,而且历史悠久的.人类最早
使用的计数方法不是枚举,不是排列组合,也不是递
推,而是对应!
对应法最早的应用是结绳计数.最早期的时候,人类还没有发明数字.因而用枚举等其
他方法来记录数量的多少是不可能办到的.这时,人们的计数方法是在绳子上打结或者在树
上刻
痕.用绳子上的结的数目或者树上划痕的道数来记录补获了多少猎物,采集了多少花
果.这个时期持续了
很长时间,因为人类的历史已经有几百万年,而数字的发明距今还不到
1万年,在人类历史上的大部分时
间,使用的计数方法是对应法——结绳计数.
结绳记数这种方法,不但在远古时候使用,而且一直在某
些民族中沿用下来.宋朝
人在一本书中说:“鞑靼无文字,每调发军马,即结草为约,使人传达,急于星
火.”
这是用结草来调发军马,传达要调的人数呢!其他如藏族、彝族等,虽都有文字,但在
一
般不识字的人中间都还长期使用这种方法.中央民族大学就收藏着一副高山族的结
绳,由两条绳组成:每
条上有两个结,再把两条绳结在一起.
有趣的是,结绳计数不止在我们中国古代用过,在国外也有很多
结绳计数的记载.传
说古波斯王有一次打仗,命令手下兵马守一座桥,要守60天.为了让将士们不少守
一天
也不多守一天,波斯王用一根长长的皮条,把上面系了60个扣.他对守桥的官兵们说:
“
我走后你们一天解一个扣,什么时候解完了,你们就可以回家了.”
对应是最原始的计数方法,充分蕴含着人类的智慧.
在
88
的方格棋盘中,一共可以数出多少个如下图所示的由
4
个单
位小正方形组成的
例3.
“
L
”型?
「分析
」要把“
L
”型放入
88
的方格棋盘的方格盘中,按照放的方向分,可以有
8
种
情形,那么是不是需要对每一个方向的“
L
”型分别进行计数呢
?
练习
3
、在
66
的
方格棋盘中,一共可以数出多少个如下图所示的由
3
个单位小正方形
组成的图形?
(
1
)一只青蛙沿着一条直线跳跃
4
次后回到起点.如果它每一次跳跃的长度都是
1
例4.
分米,那么这只青蛙共有多少种可能的跳法?
(
2
)如果这只青蛙
在一个方格边长为
1
分米的方格纸上沿格线跳跃
4
次后回到起点,
每
次跳跃的长度仍是
1
分米,那么这只青蛙共有多少种可能的跳法?
「分析」
(
1
)青蛙在直线上跳跃
4
次后要回到起点,如果一直往一个方向跳,显然是
不
行的.那么青蛙应该怎么跳呢?
(
2
)青蛙在方
格表上跳跃
4
次后要回到起点,现在青蛙有哪些跳跃的方向,每个方向
上各应该跳跃多
少次呢?
练习
4
、一只青蛙沿着一条直线跳跃
6
次后回到起点.如果它每一次跳跃的长度都是
1
分米,那么这只青蛙共有多少种可能的跳法?
对应法是一种很巧的计数方法,但如何建立对应
关系,是其中的难点.之前几道题,
对应关系的建立相对比较直接,而有些问题,则需要通过大量的分析
,才能找出隐藏的对应
关系.
常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸
赛,谁先胜
4
局即获得比赛的胜利.请问:
例5.
比赛过程一共有多少种不同的方式?
「分析」由对称性,只需求出常昊获
胜的比赛过程有多少种.比赛最多进行
7
场,其
中常昊一定胜
4
场.
如果我们按比赛先后顺序给每场比赛编号,那么常昊胜的
4
场比赛
编号,就决定了整个
比赛流程.而常昊获胜的比赛可以是哪
4
场呢?
<
br>海淀大街上一共有
18
盏路灯,区政府为了节约用电,打算熄灭其中的
7
盏.但为了
例6.
行路安全,任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭,请问:一共有多少种熄灯方案?
「分析」你能用插板法求解这道题吗?
课
堂 内 外
最早的密码战
公元前405年,雅典和斯
巴达之间的伯罗奔尼撒战争已进入尾声.斯巴达军队逐渐占据
了优势地位,准备对雅典发动最后一击.这
时,原来站在斯巴达一边的波斯帝国突然改变态
度,停止了对斯巴达的援助,意图是使雅典和斯巴达在持
续的战争中两败俱伤,以便从中渔
利.在这种情况下,斯巴达急需摸清波斯帝国的具体行动计划,以便采
取新的战略方针.正
在这时,斯巴达军队捕获了一名从波斯帝国回雅典送信的雅典信使.斯巴达士兵仔细
搜查这
名信使,可搜查了好大一阵,除了从他身上搜出一条布满杂乱无章的希腊字母的普通腰带外,别无他获.情报究竟藏在什么地方呢?斯巴达军队统帅莱桑德把注意力集中到了那条腰带
上,情报一
定就在那些杂乱的字母之中.他反复琢磨研究这些天书似的文字,把腰带上的字
母用各种方法重新排列组
合,怎么也解不出来.最后,莱桑德失去了信心,他一边摆弄着那
条腰带,一边思考着弄到情报的其他途
径.当他无意中把腰带呈螺旋形缠绕在手中的剑鞘上
时,奇迹出现了.原来腰带上那些杂乱无章的字母,
竟组成了一段文字.这便是雅典间谍送
回的一份情报,它告诉雅典,波斯军队准备在斯巴达军队发起最后
攻击时,突然对斯巴达军
队进行袭击.斯巴达军队根据这份情报马上改变了作战计划,先以迅雷不及掩耳
之势攻击毫
无防备的波斯军队,并一举将它击溃,解除了后顾之忧.随后,斯巴达军队回师征伐雅典,<
br>终于取得了战争的最后胜利.
公元前405年,雅典和斯巴达之间的伯罗奔尼撒战争已进入尾声
.斯巴达军队逐渐占据
了优势地位,准备对雅典发动最后一击.这时,原来站在斯巴达一边的波斯帝国突
然改变态
度,停止了对斯巴达的援助,意图是使雅典和斯巴达在持续的战争中两败俱伤,以便从中渔利.在这种情况下,斯巴达急需摸清波斯帝国的具体行动计划,以便采取新的战略方针.正
在这时,
斯巴达军队捕获了一名从波斯帝国回雅典送信的雅典信使.斯巴达士兵仔细搜查这
名信使,可搜查了好大
一阵,除了从他身上搜出一条布满杂乱无章的希腊字母的普通腰带外,
别无他获.情报究竟藏在什么地方
呢?斯巴达军队统帅莱桑德把注意力集中到了那条腰带
作业
1.
一部电视连续剧共8集,电视台要在周一到周四这4天内
按顺序播完,其中可以有若干
天不播,共有多少种安排播出的方法?
2.
现在有12道竞赛题,卡莉娅要在今天、明天、后天这三天内按顺序做完,但每一天可
以做很多道题也
可以一道不做.共有多少种安排做题的方案?
3.
阿呆在玩PSP格斗游戏,游
戏采用的是五局三胜制(阿呆VS电脑),谁先胜三场谁就
获得胜利.如果最后阿呆获胜,那么一共有多
少种可能的比赛过程?(只考虑每场比赛
的胜负)
4.
在
6
6
的方格棋盘中,一共可以数出多少个如图所示的
由5个单位小正方形组成的“凹”字形?
5.
(1)有8个鸡蛋,每天至少吃1个,一共吃了5天,有多少种不同的吃法?
(2)有8个鸡蛋,每天至少吃2个,一共吃了3天,有多少种不同的吃法?
(注:这8个鸡蛋看作完全相同)
第四讲 对应计数
例题:
例题1.
答案:171;231
详解:第一问用课文里所说的“插板法”即可解决
.20个苹果,共有19个空隙,分
给3个小朋友需要
312
块隔板,将2块隔板
插入19个空隙中的某两个中,就是从
2
171
;第二问同样用插板法,仍然是19
个空隙中挑出两个用来插板子,方法有
C
19
20个苹果和2块隔板.但此时隔板不一
定要放在19个空隙中,也可以放在所有苹果
的最左端或者最右端,而且它们也不一定插入两个不同的空
隙,插入同一个空隙也是
可以的.因此,我们只要把20个苹果和2块隔板随意排成一行即可.这
20222
个
对象排成一行会占22个位置,从这22个位置中挑出2个来放隔板,剩余
的20个位
2
231
种不同的方法.
置自然就是放苹果,因此共有
C
22
例题2.
答案:861 <
br>详解:本题相当于把40个苹果放入3个盘子里,每个盘子都允许为空.因此共有40
2
861
. 个苹果和2块隔板.方法数等于
C
42
例题3.
答案:336个
详解:如右图所示,每个
23
的长方形内都包含了4个不
同的“L”型.因
此只要求出图中有几个
23
小长方形即可.利用几何计数(五年级
上
册第9讲)的知识不难得知,
23
的长方形(包括横的和竖的)共有
2
6784
个,所以共有“L”型
844336
个.
例题4.
答案:(1)6;(2)36
3
(1) 详解:青蛙要能够回到起点,必须向左跳两次,向右跳两次.例如(左,左,
右,右),(左,右,右,左)等.不难看出,只要从4步中挑出2步来向左,另
外两步自然向右,所
以只要确定哪两步是向左跳,就确定了哪两步是向右跳.因
2
2
6
种;
此跳跃的方法数为
C
4
(2) 详解:现在青蛙需要朝四个方向跳,我们记四个方向为
1、2、3、4(如图所
示).如果想要跳回原地,必须保证四步之内1和2一样多,3和4一样多.于
是
1
4
可以分为两类情形:第一类,1、2、3、4各一个,共有
A4
4
种方法;第二类,只有
2
1、2或者只有3、4,共有
2
C
4
种方法.两者相加共36种.
例题5.
答案:70 详解:由对称性,只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种,再乘以2即可.比赛最多
进行7场,其中
常昊一定胜4场,而且比赛一定是在常昊获得第4场胜利时结束的,
因此常昊获胜的那4场比赛的编号就
决定了整个比赛流程.
例题6.
答案:
C
12
792
7
详解:
本题从题面上看,是要从18盏灯中选出7盏来熄灭.但实际解决的时候,需
要换一个角度:如何把灭掉
的7盏灯,插入另外11盏亮着的灯之间.如下图所示,
在11盏亮灯之间插入熄灭的灯时,每个空隙最
多插1盏,否则灭灯就相邻了,因此
必须挑7个空隙,每个空隙插一盏,而可供插入的空隙有12个(两
端也可),因此答
7
792
. 案为
C
12
练习:
33
20
;
C
10
120
1. 答案:
C
6
简答:用插板法即可解决,具体过程略.
3
165
2.
答案:
C
11
简答:相当于把8个球放入4个篮子,每个篮子都可以为空.
3. 答案:100
简答:每个田字格都可以找到4个“L”型.共有
5525
个田字格,所以共
425100
个“L”型.
4. 答案:20
3
20
种不同的跳法.
简答:6次跳远中,一定3次向左,3次向右,因此共有
C
6
作业
1. 答案:165
13
简答:
C
8
4<
br>
41
C
11
165
.
2.
答案:91
312
简答:
C
1231
C
14
91
.
3.
答案:10
3
10
. 简答:
C
5
4. 答案:80
简答:每个
23
的方格内都有2个“凹”字形,一共有40个
23
的方格,因此共有
80个“凹”字形.
5. 答案:(1)35;(2)6
简答:(1)用插板法,8个鸡蛋之间有7个“空”,用4个“板”隔成5部分,有
C
7
4
35
种方法;(2)每天预先吃掉一个鸡蛋,问题相当于是3天吃
8
35
个鸡蛋,每天至少
2
6
种吃法.
吃一个,有
C
4