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第七讲 不定方程



不定方程，顾名思义就是“不确定 ”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之
前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程
3x419
只有一个解
x5
，方程组

x2y5

x1
只有一组解．

2x3y8y2

什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程
x2y5
的解就不
唯 一，因为每当y取定一个数值时，x就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样
一来就会有无穷多组 解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时，这个方程（或
．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．
方程组）就会有无穷多个解．
．．．．．．．．．．．．
可是方程的解那么多 ，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这
无穷多个解都是正确的．但在实际 情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这
样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在 某些情况下所有的解都不对．

练一练
求下列方程的自然数解：
（1）
x2y5
；

（3）
3x2y1
； （4）
4x5y20
．
（2）
2x3y8
；

本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往
大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这
类方程就是“不 定方程”．
形如
axbyc
（a、b、c为正整数）的方程是二元一次不定方程 的标准形式．解
这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们< br>下面结合例题来进行讲解．

例1．
甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支 ，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请
问：张明共买了多少支铅笔？
「分析」设张明 买了甲级铅笔
x
支，乙级铅笔
y
支，可以列出不定方程：
7x3y 50
，
其中
x
和
y
都是自然数．怎么求解呢？

练习1、（1）求
3x5y35
的所有自然数解；（2）求
11x12 y160
的所有自然数解．


xm

xmb< br>一般地，如果

是
axbyc
的一组解，那么

（当
na
时）也是
ynyna

的一组解．这是因为axbyc

xmb
a

mb

 b

na



amab



bnab

ambnc
．另外，（当
mb
时 ）

yna

也是
axbyc
的一组解，理由相同 ．
这条性质有什么用呢？我们以求
2x3y50
的自然数解为例，我们容易看出 它有

x10
一组自然数解

．应用上面的规律，
x每次增加3，
y
每次减少2（只要
y
还是自
y10


x13

x16

x19

x 22
然数），所得结果仍然是
2x3y50
的一组解，所以

、 、、、


y2
y8y6y4



x25
都是
2x3y50
的自然数解．另外
x
每次 减少3（只要
x
还是自然数），
y
每次


y0

x7

x4

x1
增加2，所得结果也是
2x3y50
的自然数解，所以

、

、
< br>也都
y12y14y16

是
2x3y50
的 自然数解．而且这样就已经求出了
2x3y50
的所有自然数解，它们
是： 
x1

x4

x7

x10

x13

x16

x19

x22< br>
x25
、、、、、、、、．


y2 y0
y16y14y12y10y8y6y4

< br>axbyc
abc
这就告诉我们，在求形如（、、为正整数）的不定方程的自然数解 时，
我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的
x
值每次变化
b
，
y
值每
次变化
a
得到（注意变化的方向相反，一个增 加，另一个就得减少，才能保证
axby
的
大小不变）．

采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有
23
个鸡蛋，每个小盒里有
16
个鸡蛋．采购员要
例2．
恰好买
500
个鸡蛋，他一共要买多少盒？

「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？


练习
2
、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够
7
个人吃，一个小蛋糕恰好够
4
个人吃，现在有
100
个人要吃蛋糕，应该准 备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每
个大蛋糕
10
元，每个小蛋糕
7元，那么至少要花多少钱？



前面的两道例题只要求方程的解是自然 数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然
数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样 例题．


例3．
甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余 每人植树13棵；乙小队有一
人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植 树的棵数都
是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？
「分析」不妨设甲小队有
x
人，乙小队有
y
人．由“两小队植树棵数相等”，你能列出
一个关于
x
与
y
的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？

练习 3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38度，每
台小空调每天耗电13 度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之
和少1度．请问：单位里最少购进了多少 台空调？

将一根长为
380
厘米的合金铝管截成若干根长为
36
厘米和
24
厘米两种型号的短管，
例4．
加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？

「分析」不妨设已经截出了x
根长
36
厘米的管子和
y
根长
24
厘米的管 子．合金铝管如
果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？


练习
4
、酒店里有
500
升女儿红，李一白每次路过这里就打走35
升，杜二甫每次路过
这里就打走
21
升．那么若干天后，酒店剩余的 女儿红最少是多少升？



二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能 利用方程系数有规律地写出所有自然

数解．而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢 ？


我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，
例5．
鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个
问题是说：每只公鸡价 值
5
文钱，每只母鸡价值
3
文钱，每
3
只小鸡价值
1
文钱．要
想用
100
文钱恰好买
100
只鸡，公鸡、母鸡 和小鸡应该分别买多少只？

「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？




《张丘建算经》
张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家， 著有《张丘建算
经》．该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作．
《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，
各种等差 数列问题的解决，某些不定方程问题的求解．百鸡问题就是其中一个著名的不
定方程问题．
张 丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期．尽管当时的中国战火连年，朝代更迭
频繁，且一直处于分裂状 态，但数学发展的脚步依然没有停下．与《张丘建算经》同时
代的算经还有《孙子算经》和《夏侯阳算经 》，而与张丘建本人同时代的数学家还有大
名鼎鼎的祖冲之．

例6．
卡 莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖
10.4元一包， 最后她共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅买了多少包奶糖？
「分析」题目中出现了四种 糖果，我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有
x
包、
y
包、
z
包和
w
包，再由已知的单价、总价可以列出方程
13x17y7.8 z10.4w360
．这是一个四元一次方程，如果按通常的解法枚举出所有
解，势必会有 太多可能性需要讨论，过于繁琐．而且题目也没要我们求出所有解，只要
我们求出奶糖的数量即可．那有 没有办法不求其它糖果，只求奶糖的数量呢？
练习6、求
22x26y33z65w194
的所有自然数解．

课
堂 内 外
蝴蝶效应
气象学家Lorenz提出一篇 论文，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起
龙卷风？”论述某系统如果初期条件差一点点 ，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴
蝶效应」．就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投 掷，两次的物理现象和投出的点
数也不一定是相同的．Lorenz为何要写这篇论文呢？

这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑．平时，他只
需要将 温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下
一刻可能的气象数据 ，因此模拟出气象变化图．

这一天，Lorenz想更进一步了解某段纪录的后续变化，他 把某时刻的气象数据重新输入
电脑，让电脑计算出更多的后续结果．当时，电脑处理数据资料的数度不快 ，在结果出来之
前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵．在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆． 结
果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两
笔 资讯．而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127，而这些微的差异却造成
天壤之 别．所以长期的准确预测天气是不可能的．

作业
的所有自然数解；（
2
）求

1.

（
1
）求
5x7y31




5x2y4z60
的所有自然数解．



x2yz36
2.

在一次植树节的活动中，参加活动的男 生每个人种
11
棵树，女生每个人种
7
棵树，最
后所有人一共种了< br>100
棵树，那么参加活动的一共有多少人？



3.

一张纸上写有
25
个
1.21
和
2 5
个
1.3
．现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和
为
20 .08
，那么应划去多少个
1.3
？


4.

樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃．

（
1
）第一天早上，樱木同学花了
6
元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了．已
知 冬菜包每个
7
角，豆香包每个
5
角，那么樱木同学一共买了多少个包子？
（
2
）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子．于是樱木邀请晴子 一起去
吃包子．到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串．已知羊肉
串 每串
1.2
元，最后一共花了
18
元，所点包子与羊肉串数量总和是
25
．那么两人最多
吃了多少串羊肉串？



5.

甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有
1
人捐< br>6
册，有
2
人各捐
7
册，其
余都各捐
11< br>册；乙班有
1
人捐
6
册，
3
人各捐
8
册，其余各捐
10
册；丙班有
2
人各捐
4
册，
6
人各捐
7
册，其余各捐
9
册．已知甲班捐书总数比乙班多
2 8
册，乙班比丙班多
101
册，且每个班捐赠的册数都在
400
与< br>600
之间．各班各有多少人？

第七讲 不定方程
例题：
例题1.
答案：14或10
详解：由于方程两边除以3的余数相同，
7x3yx

mod3

，
502

mod3

，所以
x
除以 3余2．又因为
7x50
，所以
x
是不超过7的自然数，只能取2或5．当
x2
时，
y

5027

312，
xy14
；当
x5
时，
y

50 57

35
，
xy10
．所
以张明共买了14支 或10支铅笔．
例题2.
答案：26
详解：设买了大盒鸡蛋
x
盒，小盒鸡蛋
y
盒，则
23x16y500
．考虑方程两边除以16的余数，得：
7x
除以16的余数是4．首先要求
7x
是4的倍数，所以
x
是4的倍数，
验证
x
4、8、12、……发现满足
7x
除以16的余数是4的最小
x
值是12，相应的
y
的
x12
值是14，即

．由于
1216
且
142 3
，所以方程没有其它自然数解，采购员一共
y14

买了
12 1426
盒鸡蛋．
例题3.
答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有
x
人和
y
人．则两队植树棵数分别为
13x1
棵和
10y2
棵．由分析得：
10y13x1
．将
y
0、1、 2、……代入方程验证
x
是否是自然数，可

y4
以求出方程的< br>y
值最小的一组自然数解

，此时每队的植树棵数均为38棵．
x 3

方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“
y
值增加13且同时
x
值增加10”

y17

y30

y43
得到（也就是方程的其他所有自然数解是

，

，

，……），每次“
y

x13

x23
< br>x33
值增加13且同时
x
值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵， 38棵要变为四百多

y43
棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是

．所以甲队有33人，乙队有
x33

43人，两队共有
33 4376
人．
例题4.
答案：8
详解：设已经截出了
x< br>根长36厘米的管子和
y
根长24厘米的管子，那么被截出的管
子一共长
36x24y
厘米．由

36,24

12
，得：< br>36x24y
一定是12的倍数．而380不是
12的倍数，所以
36x2 4y380
是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少
会剩下多少厘米呢？

由于
36x24y
一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大 自然数是372，而
36x24y372
的自然数解是存在的，如

< br>x1

y14
，也就是截出1根长36厘米的管子和
14根长24 厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余
部分最少是
380 3728
厘米．
例题5.
答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只，母鸡2 5只，小鸡75只；公鸡4只，
母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡1 2只，母鸡4只，
小鸡84只

xyz100

y
只和
z
只．详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了
x
只、依题意，得：．要1

5x3yz100


3
求这个方程的自然 数解，我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然
数解的问题．我们选择“消去”
z
：将第二个方程乘以3，然后减去第一个方程，得：
14x8y200
，即< br>7x4y100
，它的所有自然数解是


x0
x4

x8
、

、

、

y25

y18

y11

x12
．它 们对应的
z
值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所
y4


x0

x4

x8

x12

有自然数解是：

y25
、

y18
、

y11
和

y4
．所 以我们有四种符合要求的买


z75


z78

z81


z84
鸡方案：公鸡0只，母鸡2 5只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公
鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡1 2只，母鸡4只，小鸡84只．
例题6.
答案：12
详解：不妨设巧克力糖、奶 糖、水果糖和酥糖分别有
x
包、
y
包、
z
包和
w< br>包，则
13x17y7.8z10.4w360
．把系数都化成整数，得：65x85y39z52w1800
．由于
我们只关心奶糖的数量，我们将未知数
y
分为一组，其余未知数分为另一组：

65x39z52w

85y1800
．也就是
13

5x3z4w
< br>85y1800
．令
u5x3z4w
，则

u6 0
，所以阿奇共买了12包奶糖．
13u85y1800
．它的自然数解只有< br>
y12


练习：


x0

x5
x10

x8
1. 答案：（1）有三组解：

；

；

；（2）有一组解：


y7y4y1y6

简答：（1）考虑方程两边除以3的余数；（2）考虑方程两边除以11的余数．
2. 答案：有四种购买方案：12个大蛋糕，4个小蛋糕；8个大蛋糕，11个小蛋糕；4个大
蛋糕，18个小蛋糕；0个大蛋糕，25个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花
121047 148
元
简答：求不定方程
7x4y100
的自然数解即可．
3. 答案：4台

x1
简答：
38x13y1
的 最小自然数解为

，最少需要大空调1台，小空调3台．
y3

4. 答案：3
简答：注意
35x21y
是7的倍数．

x7

x6

x5

5. 答案：（1）有三组解：

y1
、

y3
、

y5
；（2）1；2；6

z2

x1

x0


xyz9
简答：（1）消去
x
可解；（2）求

的正整数解即可．

16x12y10z100



作业：


x0

x6

x2



1.

答案：（
1
）

；（
2
）

；



y15


y14


y3



z0

z8
简答：（
1
）考虑方程两边除以
3
的余数；（
2
）消去未知数
y
，转化成二元一次不定方程．


2.

答案：
12

x4


x7y100

4812

人．

简答：由
11
，得：

，所以参加活动的共有


y8


3.

答案：
17

x1.3y20.08

简答：设留下来的数中有x
个
1.21
和
y
个
1.3
，则
1. 21
．由于总和的百分
x
8

或
18
．
y8

x8

25817

位是
8
，说明

仅当

相应的
y
是整数，求得

，所以应该划去

个
1.3
．


4.

答案：（
1
）
10
；（
2
）
7

x5
7x5y60


简答：（
1
）设买了冬菜包
x
个，豆香包
y
个．由

，得：

，所以樱木同

y5


x24

x 17

x10

7x5y12z180






学一共买了

个包子；（
2
）由

，得：
5510


y0
、

y5

、

y10


xyz25


z3

z5

z1



x3

或


y15

，所以羊肉串最多有
7
串．


z7


5.

答案：甲
51
；乙
53
；丙
49
简答：设甲、乙、丙三个班分别有
x
人、
y
人、
z
人，则由已知可得：

2011(x3)3010(y4)28

11x3110y


，即，所以可知
x
是除以
10
余
1
的数，
y

3010(y4)509( z8)10110y899z

是除以
9
余
8
的 数．又因为每班捐书册数在
400
与
600
之间，所以
x
只 能取
51
，此时
才同时满足
y
是除以
9
余
8
的数，即为
53
，则
z
为
49
．