米兰音乐学院-毕业典礼方案

第二讲 余数问题综合提高

本讲知识点汇总：
一． 求余数

1．

直接做除法．

2．

特征求余（注意和整除特征对比）；

3．

替换求余

4．

周期求余

5．

分解求余

二． 物不知数问题（求被除数）

1．

也称“韩信点兵”，关于 它的解法，后人总结出“中国剩余定理”（也
称“孙子定理”）．

物不知数问题的基本解法是
：
逐步增加条件，逐步找寻

2．

分解求余

三． 同余

1．

概念

如果
a
和
b
除以
c
的余数 相同，则称
a
、
b
对
c
同余，例如
：
10
和
28
对
9
同余．

2．

如果
a
、
b
对
c
同余，则
ab

是
c
的倍数．



例1．
（1）
4188141616
除以7、8、9、11的余数分别是多少？
（2）
2
89
除以7的余数是多少？
（3）
143
89
的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以11和
13的余数呢？

「分析」（1）替换求余法；（2）周期求余法解这道题目；（3）同上．

练习
1
、
2013
2013

的个位数字是多少？除以
7
的余数是多少？


例2． < br>2003200320

03



20 03

除以9的余数是多少？除以11的余数是多
2003个2003
少 ？除以99的余数是多少？

「分析」截段求和法．

L
42003
练习2、
2
1444424443
除以
2013n20 13
9的余数是多少？除以11的余数是
多少？除以99的余数是多少？


例3．
有一种三位数，它除以9所得的余数等于它的各位数字的平方和，
这样的三位 数可能是多少？请写出所有可能答案．

「分析」尝试枚举出一个符合题意数来，总结一下这样的数有什么特点．


练习3、
一个布袋中装有5000多个小球，如果10个一包，最后还剩9个
；
如< br>果9个一包，最后还剩8个
；
…
；
如果5个一包，最后还剩4个
．
那么如果
13个一包，最后还剩多少个？


（1）一个三位数 除以
9
余
2
，除以
12
余
2
，那么这个三 位数最小是多少？

例4．
（2）一个数除以
4
余
3，除以
6
余
5
，除以
7
余
6
，那么这 个数最小是多少？

（3）一个三位数除以
3
余
2
，除以< br>5
余
3
，除以
7
余
4
，那么这个三位数最小 是多少？

「分析」（
1
）余数相同；（
2
）余数和除数的 差相同；（
3
）逐步满足条件法．

练习
4
、
（1）一个三位数除以
6
余
2
， 除以
8
余
2
，那么这个三位数最小是多
少？

（2 ）一个数除以
3
余
2
，除以
5
余
4
，除以
7
余
6
，那么这个数最小是多少？

（3）一个数除以6
余
2
，除以
11
余
1
，那么这个数最小是多 少？


例5．
三个连续自然数依次是
13
、
1 1
、
7
的倍数，那么这三个连续自然
数之和最小为多少？

「分析」能否将这道题目中三个连续的被除数，转化为同一个数，而这个数又有什么样
的特点呢？



例6．
有一个整数，用它分别去除
157
、234
和
324
，得到的三个余数
之和是
100
，这个 整数是多少？

「分析」如果把余数都去掉后，剩余的数有什么特点？

作业
1．

29
366

的个位数字是多少？除以
7
的余数是多少？



2．

（1）一个三位数除以
4
余
2
，除以
6
余
2
，那么这个三位数最小是多少？

（2）一个三位数除以< br>3
余
1
，除以
4
余
2
，除以
6余
4
，那么这个三位数最小是多少？

（3）一个数除以
9余
2
，除以
12
余
5
，那么这个数最小是多少？



如果每次取
5
个最后剩
4
个，如果每次取
4
个最后剩
3．

一个盒子中装有棒棒糖
100
多 个，
3
个，如果每次取
3
个最后剩
2
个．那么如果每次取< br>12
个，最后剩多少个？



4．

一 个两位数去除
531
，得到的余数是
69
，这个两位数是多少？



5．

有一个自然数，用它分别去除
61
、< br>90
、
130
都有余数，
3
个余数的和是
26
，这
3
个余数
中最大的一个是多少？

第二讲 余数问题综合提高

例7．
答案：（1）4、0、8、0；（2）4；（3）3；5；0；0．解答：（1）按替 换求余计算即可；（2）按周期
求余：
2
、
2
2
、
2
3
、
2
4
……、除以的余数依次是2、4、1、2、4……、每三 个数一个周期，所以，
2
89
除以7的余数是4；（3）按周期求余即可，143=1 1×13，143是11和13的倍数．


例8．
答案：7；1；34 ．解答：除以9的余数，按“特性求余”数字和为

2003

20 0310015
，而
L
4
2003
100157
，所以，
2
1444424443
除以9的余数是7；除以11的余数，也可用“特 性
2003n2003
求余”法；除以99的余数，两位截段求和判断即可．


答案：
100
、
101
、
110
、111
．
例9．
解答：一个数除以
9
的余数就是等于这个数 的数字和除以
9
的余数，又要等于它的各位数字的平方和，
所以只有上述的
4
种答案．


例10．
答案：110；83；158．
解答：（1）余数相同，9和12的最小公倍数时36，所以，除以9余2，除以12余2，的数最小是
36238
，
又由于要符合三位数这个条件，所以，
38362110；（2）“差同”差为1，

4,6,7

84
，
8 4183
；
（3）逐步满足条件．

例11．
答案：
627
．

解答：一个数满足：是
13
的倍 数，且加
1
后是
11
的倍数，那么这个数最小是
65
，下一 个是
65143208
，
而
209
、
210
分 别是
11
、
7
的倍数，所以和最小是
20820921062 7
．

例12．
答案：
41
．
157
、
234
和
324
的和是
715
，
615
是这个整数的倍数，解答：减去
100
的差是
615
，而
615< br>的约数有
1
、
3
、
5
、
15
、41
、
123
、
205
、
615
，验算只有< br>41
满足余数和是
100
．

练习：

练习1、答案：3；1．简答：
2013
2013
的个位数字只与个位数字有关相当于
3
2013< br>的个位数字，
3
n
的个
位数字依次3、9、7、1、……，每四个数一 周期，
20134
余1，所以，
2013
2013
的个位数字是3 ；
20137
余1，1的2013次方除以7的余数也是1．
练习2、答案：3；0；66．简答：同例题2．
练习3、答案： 8．简答：布袋中的小球 数除以10余9，除以9余8，除以8余7……，除以5余4，

5,6,7,8,9,10< br>


5,7,8,9

57892520
，所以，布袋中球数是
2520125205039
，
503913
余8．

练习4、答案：（1）122；（2）104；（3）56．简答：同例题4．

作业
1.
答案：1 ；1．简答：
29
n
的个位数字依次是9、1、9……，所以，
29
366
的个位数字是1；
297
余1，
所以，
29
366
除以7余1．

2.
答案：110；106；29．简答：（1）

4,6

12
，
14128110
；（2）按 “差同”计算；（3）按“差同”
计算．

3.
答案：11．简答：除以 5余4，除以4余3，除以3余2的数最小是59，满足上述条件的100以上的
数是59加上若干个6 0，如119、179等，这些数除以12余11．

4.
答案：77．简答：< br>53169462
，462的约数中比69大的两位数只有77．

5.
答案：11．
简答：61、90和130的和减去26得到255，255的约数中验证得满 足条件的只有17，所以这个自然数是
17，所以余数中最大的是130除以17的余数11．