乘坐飞机注意事项-教师辞职申请书

6-1-10.牛吃草问题（一）


教学目标



1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.
2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系
知识精讲


英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题， 即牛在牧场上吃草，
牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问 题”．
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也 在按不变
的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
解“牛吃草”问题的主要依据：
① 草的每天生长量不变；
② 每头牛每天的食草量不变；
③ 草的总量

草场原有的草量

新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④ 新生的草量

每天生长量

天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度

(对应牛的头数

较多天数

对 应牛的头数

较少天数)

(较多天数

较少天数)； < br>⑶原来的草量

对应牛的头数

吃的天数

草的生长 速度

吃的天数；
⑷吃的天数

原来的草量

( 牛的头数

草的生长速度)；
⑸牛的头数

原来的草量

吃的天数

草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检 票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解
题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问 题．
例题精讲
模块一、一块地的“牛吃草问题”

【例 1】 牧场上 有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃
18周？





【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头 牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20
天？






【巩固】 牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头
牛96天可以把草吃完．
6-1-10.牛吃草问题（一） 学生版 page 1 of 6

【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生 长量每日相等，每头牛
每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?




【例 2】 青青一牧场，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。 改养廿三 只，九周走他方；若养二十一，
可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。） 题目翻译过来是：一牧场长满青
草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是 21头牛，要几个星期才可
以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）






【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10 头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供
25头牛可吃几天？





【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在 减少．已知某块草地上的草
可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃 10天？






【巩固】 由于天气逐渐 冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供
25头牛吃4天，或 可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天
？







【例 4】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少． 经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，
或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？






【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧 场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供
25头牛吃4天，或可供16头 牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天
？




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模块二、牛羊一起吃草的“牛吃草问题”
【例 5】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？







【巩固】 有一片草场，草每天的生长速度相同 。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4
只羊一天的吃草量相当于1头牛一天 的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?







【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头 牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如
果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88 只羊一起吃可以吃几天？







【巩固】 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100 只
羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃
多少天?







【例 6】 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；
如果 让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让
马、牛、羊 一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？






【巩固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完 ，于是
牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少
时间?



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模块三、“牛”吃草问题的变例
【例 7】 林子里有猴子喜欢吃的野果，2 3只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4
周吃光野果，则需有多少只猴子一 起吃？（假定野果生长的速度不变）





【例 8】 早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备
进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完
旅 客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口?






【巩固】 某超市平均每小时有60人排队付款，每一个收银台每小时能应付80人，某天某时段内，该 超市只
有一个收银台工作，付款开始4小时就没有顾客排队了，如果当时有两个收银台工作，那么付款开
始__________小时就没有人排队了。






【巩固】 2006年夏天，我国某地区遭遇了严重干旱，政府为了解决村名饮水问题，在山 下的一眼泉水旁修了
一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动5台抽水机2.5小时 就把一池水抽完，
接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。后来由于旱情严重，开动13 台抽水机同时供
水，请问几小时可以把这池水抽完？





【例 9】 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6 台同样的抽水机连续
15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？





【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如 果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，
8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？






【巩固】 北京密云水库建有
10
个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度
增加，为了 防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪
闸，
30
个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，
10
个小时后水位降至安全线． 根据
抗洪形势，需要用
2
个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的 数目为多少个？


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【巩固】 有一个蓄水池装了
9
根相同的水管，其中一根是进水管，其 余
8
根是出水管．开始时，进水管以均
匀的速度不停地向蓄水池注水．后来，想打开出 水管，使池内的水全部排光．如果同时打开
8
根出
水管，则
3
小时可 排尽池内的水；如果仅打开
5
根出水管，则需
6
小时才能排尽池内的水．若要 在
4.5
小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？






【例 10】 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水 管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的
速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后 ，有人想把出水管也打开，使池内的水再全
部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的 水排光；而若仅打开3根出水管，
则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要 打开几根出水管？






【巩固】 火车 站的检票处检票前已有一些人等待检票进站，假如每分钟前来检票处排队检票的人数一定，那
么当开一个 检票口时，27分钟后就无人排队；当开两个检票口时，12分钟就无人排队．如果要在6
分钟后就无人 排队，那么至少需要开 个检票口．





【例 11】 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出 仓，如
果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存< br>货若用1辆汽车运则需要多少天运完？








【巩固】 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半 就把水池水放空，如果打开8
个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时 间才能把水放空？






【巩固】 一只 船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6
人淘水16 分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？





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【巩固】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同 的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，
则
30
分钟能把水池的水排完，如果同 时打开进水阀及两个排水阀，则
10
分钟把水池的水排完．问：
关闭进水阀并且同时打 开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？





【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果 打开9
个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水 ，
打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空．





【例 12】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在 匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的
壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水， 已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，
如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水 库水量达到原来的标准，如果同时打开
册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准 ，如果24小时使官厅水库水量达
到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?






【例 13】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着 数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时
可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台 皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙
仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把 丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工
人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相 同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面
粉)





【例 14】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一 样多，如果
开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一 个观众
到达的时间。





【巩固】 画展 9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开
3个入场口 ，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众
到达的时间．





【例 15】 假设地球上新生成的资源增长速 度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；
或供90亿人生活210年。为了使 人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？
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6-1-10.牛吃草问题（一）


教学目标



1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.
2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系
知识精讲


英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题， 即牛在牧场上吃草，
牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问 题”．
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也 在按不变
的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
解“牛吃草”问题的主要依据：
① 草的每天生长量不变；
② 每头牛每天的食草量不变；
③ 草的总量

草场原有的草量

新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④ 新生的草量

每天生长量

天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度

(对应牛的头数

较多天数

对 应牛的头数

较少天数)

(较多天数

较少天数)； < br>⑶原来的草量

对应牛的头数

吃的天数

草的生长 速度

吃的天数；
⑷吃的天数

原来的草量

( 牛的头数

草的生长速度)；
⑸牛的头数

原来的草量

吃的天数

草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检 票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解
题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问 题．
例题精讲
模块一、一块地的“牛吃草问题”

【例 1】 牧场上 有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃
18周？





【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头 牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20
天？






【巩固】 牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头
牛96天可以把草吃完．
6-1-10.牛吃草问题（一） 学生版 page 1 of 6

【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生 长量每日相等，每头牛
每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?




【例 2】 青青一牧场，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。 改养廿三 只，九周走他方；若养二十一，
可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。） 题目翻译过来是：一牧场长满青
草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是 21头牛，要几个星期才可
以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）






【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10 头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供
25头牛可吃几天？





【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在 减少．已知某块草地上的草
可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃 10天？






【巩固】 由于天气逐渐 冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供
25头牛吃4天，或 可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天
？







【例 4】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少． 经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，
或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？






【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧 场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供
25头牛吃4天，或可供16头 牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天
？




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模块二、牛羊一起吃草的“牛吃草问题”
【例 5】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？







【巩固】 有一片草场，草每天的生长速度相同 。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4
只羊一天的吃草量相当于1头牛一天 的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?







【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头 牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如
果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88 只羊一起吃可以吃几天？







【巩固】 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100 只
羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃
多少天?







【例 6】 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；
如果 让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让
马、牛、羊 一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？






【巩固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完 ，于是
牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少
时间?



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模块三、“牛”吃草问题的变例
【例 7】 林子里有猴子喜欢吃的野果，2 3只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4
周吃光野果，则需有多少只猴子一 起吃？（假定野果生长的速度不变）





【例 8】 早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备
进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完
旅 客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口?






【巩固】 某超市平均每小时有60人排队付款，每一个收银台每小时能应付80人，某天某时段内，该 超市只
有一个收银台工作，付款开始4小时就没有顾客排队了，如果当时有两个收银台工作，那么付款开
始__________小时就没有人排队了。






【巩固】 2006年夏天，我国某地区遭遇了严重干旱，政府为了解决村名饮水问题，在山 下的一眼泉水旁修了
一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动5台抽水机2.5小时 就把一池水抽完，
接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。后来由于旱情严重，开动13 台抽水机同时供
水，请问几小时可以把这池水抽完？





【例 9】 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6 台同样的抽水机连续
15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？





【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如 果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，
8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？






【巩固】 北京密云水库建有
10
个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度
增加，为了 防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪
闸，
30
个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，
10
个小时后水位降至安全线． 根据
抗洪形势，需要用
2
个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的 数目为多少个？


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【巩固】 有一个蓄水池装了
9
根相同的水管，其中一根是进水管，其 余
8
根是出水管．开始时，进水管以均
匀的速度不停地向蓄水池注水．后来，想打开出 水管，使池内的水全部排光．如果同时打开
8
根出
水管，则
3
小时可 排尽池内的水；如果仅打开
5
根出水管，则需
6
小时才能排尽池内的水．若要 在
4.5
小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？






【例 10】 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水 管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的
速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后 ，有人想把出水管也打开，使池内的水再全
部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的 水排光；而若仅打开3根出水管，
则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要 打开几根出水管？






【巩固】 火车 站的检票处检票前已有一些人等待检票进站，假如每分钟前来检票处排队检票的人数一定，那
么当开一个 检票口时，27分钟后就无人排队；当开两个检票口时，12分钟就无人排队．如果要在6
分钟后就无人 排队，那么至少需要开 个检票口．





【例 11】 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出 仓，如
果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存< br>货若用1辆汽车运则需要多少天运完？








【巩固】 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半 就把水池水放空，如果打开8
个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时 间才能把水放空？






【巩固】 一只 船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6
人淘水16 分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？





6-1-10.牛吃草问题（一） 学生版 page 5 of 6

【巩固】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同 的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，
则
30
分钟能把水池的水排完，如果同 时打开进水阀及两个排水阀，则
10
分钟把水池的水排完．问：
关闭进水阀并且同时打 开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？





【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果 打开9
个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水 ，
打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空．





【例 12】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在 匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的
壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水， 已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，
如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水 库水量达到原来的标准，如果同时打开
册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准 ，如果24小时使官厅水库水量达
到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?






【例 13】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着 数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时
可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台 皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙
仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把 丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工
人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相 同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面
粉)





【例 14】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一 样多，如果
开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一 个观众
到达的时间。





【巩固】 画展 9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开
3个入场口 ，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众
到达的时间．





【例 15】 假设地球上新生成的资源增长速 度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；
或供90亿人生活210年。为了使 人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？
6-1-10.牛吃草问题（一） 学生版 page 6 of 6