六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十二讲 整除问题(一)(无答案)全国通用
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第十二讲 整除问题（一）
在学习整数除法时，我们已经知道：
被除数＝除数×商数＋余数
这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数 a 和
b（b≠0），a 被 b
除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或者 b 整除
a，也把 a 叫作 b 的
倍数，b 叫 4a 的约数，记作 b｜a。
，
如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a不能被b 整除，或b 不整除a
很显然，1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a，总有 1|a，0 是任何非
零
整数的倍数，a≠0，a 为整数，则 a｜0。
一般来说，整数 a
是否能被整数 b
整除，只要真正作除法就可判断。但是
对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。
一、数的整除的特征
1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被 2
整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2
整除。偶数总
可表为 2k，奇数总可表为 2k＋1（其中 k 为整数）。
2．末位数字为零的整数必被 10 整除。这种数总可表为 10k（其中 k 为整数）。
3．末位数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，可表为 5k（k 为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被 4（25）整除的整数必被 4（25）整除。
如 1996＝1900＋96，因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以
1900 是 4 和 25 的倍
数，只要考察 96 是否 4 或 25
的倍数即可。
由于 4｜96
能被 25 整除的整数，末两位数只可能是
00、25、50、75。能被 4 整除的整
数，末两位数只可能是
00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，
52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被 8（125）整除的整数必能被
8（125）整除。
由于 1000＝8×125，因此，1000 的倍数当然也是 8 和 125
的倍数。
如判断 765432 是否能被 8 整除。
因为
765432＝765000＋432
显然 8|765000，故只要考察 8
是否整除 432 即可。由于 432＝8×54，即 8|432，
所以 8|765432。
能被 8 整除的整数，末三位只能是
000，008，016，024，…984，992。
由于
125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；
125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；
125×7＝875；125×8＝10000
故能被 125
整除的整数，末三位数只能是 000，125，250，375，500，
625，
750，875。
6．各个数位上数字之和能被 3（9）整除的整数必能被
3（9）整除。如
478323 是否能被 3（9）整除？
由于
478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3
＝4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×（9
＋1）＋3
＝（4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3）
前
一括号里的各项都是 3（9）的倍数，因此，判断 478323 是否能被 3（9）
整除，只要考察第二括号的各数之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被
3（9）整除。而
第二括号内各数之和，恰好是原数 478323 各个数位上数字之和。
∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27 是 3（9）的倍数，故知 478323 是 3（9）的倍数。
在实际考察 4＋7＋8＋3＋2＋3 是否被 3（9）整除时，总可将
3（9）的倍数
划掉不予考虑。
即考虑被 3 整除时，划去
7、2、3、3，只看 4＋8，考虑被 9 整除时，由于 7
＋2＝9，故可直接划去
7、2，只考虑 4＋8＋3＋3 即可。
如考察 9876543 被 9
除时是否整除，可以只考察数字和（9＋8＋7＋6＋5＋4
＋3）是否被 9 整除，还可划去
9、5＋4、6＋3，即只考
察 8
如问 3 是否整除
9876543，则先可将 9、6、3 划去，再考虑其他数位上数字
之和。由于
3|（8＋7＋5＋4），故有 3|9876543。
实际上，一个整数各个数位上数字之和被 3（9）除所得的余数，就是这个整
数被
3（9）除所得的余数。
7．一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是 11
的倍数，那么这
个整数也是 11
的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、
千位、百万位……称为偶数位。）
如判断 42559 能否被 11
整除。42559＝4×
10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9
＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）
＋5×（11－1）＋9
＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋
（4－2＋5－5＋9）
＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋
（4－2＋5－5＋9）
前一部分显然是 11 的倍数。因此判断
42559 是否 11 的倍数只要看后一部分
4－2＋5－5＋9 是否为 11 的倍数。
而
4－2＋5－5＋9＝（4＋5＋9）－（2＋5）恰为奇数位上数字之和减去偶数
位上数字之和的差。
由于（4＋5＋9）－（2＋5）＝11 是 11 的倍数，故 42559 是 11
的倍数。
现在要判断 7295871 是否为 11
的倍数，只须直接计算（1＋8＋9＋7）－（7
＋5＋2）是否为 11 的倍数即可。由
25－14＝11 知（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）
是 1 的倍数，故
11|7295871。
上面所举的例子，是奇数位数字和大于偶数位数字和的情形。如果
奇数位数
字和小于偶数位数字和（即我们平时认为“不够减”），那么该怎么办呢？
如 867493 的奇数位数字和为 3＋4＋6，而偶数位数字和为 9＋7＋8。显然 3
＋4＋6 小于 9＋7＋8，即 13 小于 24。
遇到这种情况，可在
13－24 这种式子后面依次加上 11，直至“够减”为止。
由于 13－24＋11＝0，恰为
11 的倍数，所以知道 867493 必是 11 的
倍数。
又如 738292
的奇数位数字和与偶数位数字和的差为
130
（2＋2＋3）－（9＋8＋7）＝7－24
7－24＋11＋11＝5（加了两次 11 使“够减”）。由于 5 不能被 11 整除，故
可立即判断 738292 不能被 11 整除。
实际上，一个整数被 11
除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶
数
位数字和的差被 11
除所得的余数（不够减时依次加 11 直至够减为止）。
同学们还会发现：任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能被 11 整除。
如 186
这个三位数，连写两次成为六位数 186186。由于这个六位数的奇数位
数字和为
6＋1＋8，偶数位数字和为 8＋6＋1，它们的差恰好为零，故 186186 是
11
的倍数。
数位数字和为 c＋a＋b，偶数位数字和为
b＋c＋a，它们的差恰为零，
象这样由三位数连写两次组成的六位数是否能被
7 整除呢？
如 186186 被 7 试除后商为 26598，余数为零，即
7｜186186。能否不做 186186
÷7，而有较简单的判断办法呢？
由于
186186＝186000＋186
＝186×1000＋186
131
＝186×1001
而 1001＝7×11×13，所以
186186 一定能被 7 整除。
这就启发我们考虑，由于
7×11×13＝1001，故若一个数被 1001 整除，则
这个数必被 7 整除，也被 11
和 13 整除。
或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为 1001
的倍数，另一部分为
7（11 或 13）的倍数，那么原数也一定是 7（11 或
13）的倍数。
如判断 2839704 是否是 7 的倍数？
由于
2839704＝2839000＋704
＝2839×1000＋704
＝2839×1001－2839＋704
＝2839×1001－（2839－704）
∵2839－704＝2135
是 7 的倍数，所以 2839704 也是 7 的倍数；2135 不是 11
（13）的倍数，所以 2839704 也不是 11（13）的倍数。
实际上，对于 283904 这样一个七位数，要判断它是否为 7（11 或
13）的
倍数，只需将它分为 2839 和 704 两个数，看它们的差是否被 7（11 或
13）整
除即可。
132
又如判断 42952
是否被 13 整除，可将 42952 分为 42 和 952 两个数，只要看
952－42＝910 是否被 13 整除即可。由于 910＝13×70，所以 13|910，
8．一个三位以上的整数能否被 7（11 或
13）整除，只须看这个数的末三位
数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被
7（11 或
13）整除。
另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶<
br>数段各三位数之和的差若被 7（11 或 13）整除，则原多位数也被 7（11 或 13）整除。
如 3546725 可分为 3，546，725 三段。奇数段的和为
725＋3＝728，偶数段
为 546，二者的差为
728－546＝182＝7×26＝7×2×13
二、整除的几条性质
整除的以下性质是最基本的，也是最常用的。
（1）
a｜a（a 为非零整数）；
（2）若 a｜b，且
b｜a，那么 a＝b；
133
（3）若 c｜b，且
b｜a，那么 c｜a；
（4）若 c｜a，且 c｜b 那么 c｜（a＋b）；若
a≥b，那么 c｜（a－b）；
（5）若 m 是非零整数，且 b｜a，则必有
bm｜am；反之，若 bm｜am，则必
有b｜a；
（6）如果
b｜a，c｜a，且 b、c 没有除 1 以外的公共约数（此时称 b、c 互
质），那么
bc｜a。
对于（3），如由 2｜4，4｜12，可推出 2｜12。
对于（4），如由 4｜36，4｜16，可推出
4｜（36＋16），4｜（36－16）。
对于（5），如由 3｜9 可推出
3×4｜9×4。反之，由 3×4｜9×4 可推出 3｜
9。
对于（6），如由 3｜24，2｜24，且 3 和 2 之间没有 1 以外的公共约数（即 3
与
2 互质），可推出 3×2｜24。这一性质在很多情况下将被多次使用。
例 1 求一个首位数字为 5 的最小六位数，使这个数能被 9
整除，且各位数字均不
相同。
分析：由于要求被 9
整除，可只考虑数字和、又由于要求最小的，故从第二位起
应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为 9 的倍数。
解：一个以 5 为首位的六位数 5×××××，要想使它最小，只可能是
501234（各
位数字均不相同）。
134
但是
501234 的数字和为 5＋0＋1＋2＋3＋4＝15，并不是 9 的倍数，故只能
将末位数字改为 7。这时，5＋0＋1＋2＋3＋7＝18 是 9 的倍数，故 501237 是
9 的倍数。
即 501237 是以 5 为首位，且是 9
的倍数的最小的六位数。
例 2 老师买了 72 本相同的书，当时没有记住每本书的价
格，只用铅笔记下了
用掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字
吗？
（□13.7□元，□中为看不清的数字）。
分析：首先将□13.7□
元化为分，这样总钱数就是□137□分（整数分）。由于每
本书价格相同，所以
72｜□137□。但 72＝8×9，所以 8 和 9 都应整除□137
□。
由于 8 整除□137□，所以 8｜37□。由此可知，当 37□＝376 时，才有
8｜
376。故原数为□1376。
又由于 9
整除□1376，所以其数字和□＋1＋3＋7＋6 必为 9 的倍数。
即
9｜（□＋17）。而□只能是 1 到 9 中的某个数，所以□只能是 1。
因此，原数为
11376 分，即 113.76 元。
例 3 在 568
后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3、4、5 整除，
且使这个数尽可能的小。
数分别被 3、4、
135
5
整除，故它应满足如下三个条件：
136
（1）数字和（5＋6＋8＋a＋b＋c）是 3 的倍数；
（3）末位 c 为 0 或 5。
又因
3｜（5＋6＋8＋a＋b＋c），即 3｜（5＋6＋8＋a＋b＋0），所以
当
b＝2 时，3｜（5＋6＋8＋a＋2），a 可为 0，3，6，9。
当 b＝4
时，3｜（5＋6＋8＋a＋4），a 可为 1，4，7。
当 b＝6
时，3｜（5＋6＋8＋a＋6），a 可为 2，5，8。
当 b＝8
时，3｜（5＋6＋8＋a＋8），a 可为 0，3，6，9
当 b＝0
时，3｜（5＋6＋8＋a＋0），a 可为 2，5，8。
例 4 求能被
26 整除的六位数□1993□。
分析与解：由于
26＝2×13，所以所求六位数□1993□应分别被 2 和 13 整除。
被 2
整除的数个位只能是 0，2，4，6，8；所求六位数被 13 整除，必有□19
与
93□的差（93□－□19）是 13 的倍数。
137
（1）当原数个位为 0 时，930＝71×13＋7，故□19 也应满足被 13
除余 7。
□19＝100×□＋13＋6＝7×13×□＋9×□＋13＋6
＝13（7×□＋1）＋9×□＋6 即
9×□＋6＝13K＋7
∴ 9×□－1
应是 13 的倍数，故□只能是 3。即六位数为 319930。
（2）当原数个位数为 2 时，932＝71×13＋9，故□19 也应满足被 13 除余
9。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K＋9，故
9×□－3 应是 13 的倍数，□只能是 9。即六位
数为 919932。
（3）当原数个位数为 4 时，934＝71×13＋11，故□19 也应被 13 除余
11。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴ 9×□＋6＝13K＋11，即
9×□－5 应是 13 的倍数，故□只能是 2。
即六位数为 219934。
（4）当原数个位数为 6 时，936＝72×13，所以□19 也应被 13
整除。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
138
∴9×□＋6＝13K，9×□－7＋13＝13K，故 9×□－7 应是 13
的倍数，□只
能是 8。即六位数为 819936。
（5）当原数个位数为
8 时，938＝72×13＋2，故□19 也应被 13 除余
2。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K＋2，即
9×□＋4 应是 13 的倍数，□只能是 1。即六位
数为 119938。
综合以上情况，满足条件的六位数有：
319930，919932，219934，819936，119938，共五个。
例 5 将自然数 1，2，3…依次写下去组成一个数
111213…。如果
写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被 72
整除，问这个自然数是多
少？
分析与解：由于要求恰好第一次能被 72
整除，因此，应以从前往后的顺序去寻找。
如果先考虑被 8
整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应是
8 的倍数。
因而依次看三位数
234，456，678，810，112，314，516，718，192，920，202，
21
2，122，222，
232，324，242，252，526，262，272，728，282
，930，132，334，536，738，
394…中哪些是 8 的倍数。
139
如知 456、112 为 8 的倍数，就要再看 123456
以及 1112 是否
为
9 的倍数。由于 123456 的数字和为 21，1112
的数字和为 56，都不是
9 的倍数，所以不满足题目的条件。满足条件的数要在其它 8
的倍数中寻找。
象这样试验三位偶数能否被 8 整除，速度较慢，由于被 8
整除的数一定能
被
4 整除，故只须对被 4 整除的数（这种数极易看出）进行检验即可。
经检验，形如 123456…，末三位为
516，192、920，232、272、728 的自然
数都不是 9 的倍数。而当末三位为
536 时，才满足题目的条件，即
1112…33343536
恰被 72 整除，故所求自然数为 36。
现在换一种方法，先考虑被 9
整除，再考虑被 8 整除，由于数
1112…18192021…前九个数字之和为 45，是 9
的倍数，故在考察位
数超过九的数是否被整除时，前九个数字可不再看；
接下来，由于 161718 的数字之和为 45，是 9 的倍数，故在
考
察位数超过 27 位的数是否被 9 整除时，前 27 个数字可不再看；
1926 的数字之和为 36，是 9 的倍数，因而在考察位数超过
43
位的数是否是 9 的倍数时，前 43 个数字可不再看；
272829303
的数字的之和为 36，是 9 的倍数，因而在考察位数超过 52 位的数
140
是否被 9 整除时，前 52 个数字可不再看；
141
1323 的数字和为 9，因而在考察位数超过 56 位的数是否被 9
整除时，前 56
个数字可不再看；
33343536 的数字和为
27，因而在考察位数超过 63 位的数是否被 9 整除时，
前 63 个数字可不看。
以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为
9
的倍数，即
123456789｜161718｜1926｜27｜2829303｜
132333435｜36｜…
然后从中再看各段末三位数字组成的三位数是否为
8 的倍数。
789、718、526、627、303、435 都不是 8
的倍数，但 536 是 8 的倍数。
即写到 36 时，第一次恰好是 72
的倍数。
这样做比先考虑被 8 整除，后考虑被 9 整除要快速简单得多。
习题十二
1．一个数是任何自然数的倍数，问这个数是几？一个数是任何自然数的约数，问这个
数是几？
2．四位数 5□5□能被 5、6、7 整除，问这样的四位数应该是多少？
3．写出能被 3、4、5 整除的最大三位数和最小的四位数。
140
4．一个无重复数字的五位数
3□6□5，千位与十位数
字看不清了，但知这个
数是 75
的倍数。问这种五位数有哪几个？
5．求一个能被 11 整除且首位数字为
7，其余各位数
字各不相同的最小六位
数。
6．六位数□1993□能被 33 整除，这样的六位数是
多少？
7．前若干个自然数 1，2，3…的乘积的最末 13
位数
都是零，问最后一个自然数最小应该是多少？
8．在一个两位数的两个数字中间加一个 0，所得三位
数比原数大 8 倍。求这个两位数。
9．从 1，2，3，4，5
中任取三个数，组成没有重复
数字的三位数，在这些三位数中找出能同时被 2 和 9
整
除的数来。
10．四个小朋友恰好一个比一个大 1 岁，他们年龄的乘积等于
3024。
问这四个孩子年龄各是多少？