北京公安局-上海师范大学商学院

求阴影部分面积
例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这是最基本的方法：
圆面积减去
例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面
积。(单位:厘米)
解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减
去
圆的面积。
设圆的半径为 r，因为正方形

等腰直角三角形的面积，

×-2×1=1.14（平方厘米）
的面积为7平方厘米，所以
=7，

所以阴影部分的面积为：7-
例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：最基本的方法之一。用四个
圆组成
=7-×7=1.505平方厘米
例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：同上，正方形面积减去圆面积，
16-π(
)=16-4π

一个圆，用正方形的面积减去圆的面
积，

所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平
方厘米。

例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：这是一个用最常用的方法解最常见的
题，为方便起见，
我们把阴影部分的每一个小部分称为
“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，
=3.44平方厘米

例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆
半径是小圆的3倍， 问：空白部分甲比乙
的面积多多少厘米？
解：两个空白部分面积之差就是两圆面积
之差（全加上阴影部分）
)×2-16=8π-16=9.12平方厘米

另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。

π(
例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，
求)
正方形面积为：5×5÷2=12.5
-π()=100.48平方厘米

（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）

π
例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：右面正方形上部阴影部分的面积，
等于左面正方形下部空白部分面积，割
补以后为
圆，

所以阴影面积为：π
÷4-12.5=7.125
所以阴影部分面积为：
π(
平方厘米

(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、
增、减变形)

例9.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：把右面的正方形平移至左边的正
方形部分，则阴影部分合成一个长方
形，
所以阴影部分面积为：2×3=6平方厘米
)=3.14
平方厘米
例10.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：同上，平移左右两部分至中间部分，
则合成一个长方形，
所以阴影部分面积为2×1=2平方厘米
(注: 8、9、10三题是简单割、补或平
移)

例11.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一
部分来求。
π(
（π
例12.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：三个部分拼成一个半圆面积．
)÷２＝14.13平方厘米
-π）×=×3.14=3.66平方厘米
例13.求阴影部分的面积。(单位:厘米)


解: 连对角线后将叶形剪开移到右上面
的空白部分,凑成正方形的一半.
所以阴影部分面积为：8×8÷2=32平方
厘米

例15.已知直角三角形面积是12平方厘
米，求阴影部分的面积。
分析: 此题比上面的题有一定难度,这是
叶形的一个半.
解: 设三角形的直角边长为r，则
例14.求阴影部分的面积。(单位:厘
米)
解：梯形面积减去
圆面积，


(4+10)×4-π
=28-4π=15.44平方厘米 .
例16.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
=12，=6

÷2=3π。圆内三角形的面积为



解：
［π＋π－π

］

圆面积为：π
12÷2=6，

=
π(116-36)=40π=125.6平方厘米

阴影部分面积为：(3π-6)×
=5.13平方厘米


例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形
中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的周
长。
解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在
一起为一个半圆弧，
所以圆弧周长为：2×3.14×3÷2=9.42厘
米


例17.图中圆的半径为5厘米,
求阴影部分的面积。(单位:厘
米)
解： 上面的阴影部分以AB为
轴翻转后，整个阴影部分成为
梯形减去直角三角形，或两个
小 直角三角形AED、BCD面积和。
所以阴影部分面积为：5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米

例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的
面积。



解：右半部分上面部分逆时针，下面部分
顺时针旋转到左半部分，组成一个矩形。
所以面积为：1×2=2平方厘米
例20.如图，正方形ABCD的面积是36平
方厘米，求阴影部分的面积。

解：设小圆半径为r，4
=36, r=3，大圆
半径为R，
圆环,
所以面积为:π(
=2=18,

将阴影部分通过转动移在一起构成半个

例21.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴
-)÷2=4.5π=14.13平方厘米
例22. 如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。

影部分的面积。

解：把中间部分分成四等分，分别放在上面
圆的四个角上 ，补成一个正方形，边长为2
厘米，
所以面积为：2×2=4平方厘米









所以阴影部分的面积为:π(
为:π(
之和. π(
解法一: 将左边上面一块移至右边上面,补上
空白,则左边为一三角形,右边一个半圆.
阴影 部分为一个三角形和一个半圆面积
)÷2+4×4=8π+16=41.12平方
厘米

解法二: 补上两个空白为一个完整的圆.
所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积
)÷2-4×4=8π-16

)-8π+16=41.12平方厘米

例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4 个
顶点，，它们的公共点是该正方形的中心，
如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部
分的面积是多少？

解：面积为４个圆减去８个叶形，叶形面积
为：
π< br>例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，
用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，
图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周π率
取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少
平方 厘米？
分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正
-1×1=π-1

方形，各个小圆被切去
个圆，

所以阴影部分的面积为:4π
-8(π-1)=8平方厘米
这四个部分正好合成３个整圆，而正方形中的空白部分合成两
个小圆．
解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和．
为：4×4+π=19.1416平方厘米

例25.如图，四个扇形的半径相等，求
阴影部分的面积。(单位:厘米)

分析：四个空白部分可以拼成一个以
２为半径的圆．
所以阴影部分的面积为梯形面积
减去圆的面积，
4×(4+7)÷2-π
例2 6.如图，等腰直角三角形ABC和四
分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘
米，求图中 阴影部分的面积。
解: 将三角形CEB以B为圆心，逆时
针转动90度，到三角形ABD位 置,阴
影部分成为三角形ACB面积减去
个
=22-4π=9.44平方厘米

例27.如图，正方形ABCD的对角线
AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径
的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD
为半径的圆的一部分，求阴影部分的面
积。
解: 因为2
小圆面积,

为: 5×5÷2-π

÷4=12.25-3.14=9.36平方厘米
例28.求阴影部分的面积。(单位:
厘米)
解法一：设AC中点为B,阴影面
积为三角形ABD面积加弓形BD
的面积,
三角形ABD的面积
==4，所
为:5×5÷2=12.5
弓形面积为:[π
以=2

÷2-5×5]÷2=7.125

以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC
面积，
解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去
小圆面积，其

所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625平方厘米
π-2×2÷4+[π÷4-2]

值为：5×5-π=25-π

=
π-1+(π-1)

=π-2=1.14平方厘米



阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积，为：10×5÷2-
（25-π）=π=19.625平方厘米

例29.图中直角三角形ABC的直
角三角 形的直角边AB=4厘米，
BC=6厘米，扇形BCD所在圆是
以B为圆心，半径为BC的圆，
例30.如图，三角形ABC是直角
三角形，阴影部分甲比阴影部分乙
面积大28平方 厘米，AB=40厘米。
求BC的长度。
解：两部分同补上空白部分后为直
角三角形ABC，一个为半圆，设
BC长为X，则
40X÷2-π
，问：阴影部分甲
比乙面积小多少？

∠CBD=

解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形
BCD，一个成为三角形ABC，
÷2=28

所以40X-400π=56 则X=32.8厘米

此两部分差即为：π
×－×4×6＝5π-12=3.7平
例31.如图是一个正 方形和半
圆所组成的图形，其中P为半
圆周的中点，Q为正方形一边
上的中点，求阴影 部分的面积。

解：连PD、PC转换为两个三
解：三角形DCE的面积为:
例32.如图，大正方形的边长为6厘
米，小正方形的边长为4厘米。求阴
影部分的面积。
方厘米
×4×10=20平方厘米

梯形ABCD的面积为:
(4+6)×4=20平方厘米 从而知
角形和两个弓形，
两三角形面积为：△APD面积+△QPC面积=
道它们面积相等,则三角形ADF面积等于三角形EB F
面积，阴影部分可补成圆ABE的面积，其面积为：

（5×10+5×5）=37.5

两弓形PC、PD面积为：
π-5×5

π
÷4=9π=28.26平方厘米


所以阴影部分的面积为：37.5+
π-25=51.75平方厘
米

例33.求阴影部分的面积。(单位:厘米)


解：两个弓形面积为：π
解:用
大圆的面积减去长方形面积例34.求阴影部分的面积。(单位:厘
米)
再加上一个以2为半径的圆ABE
面积，为

-3×4÷2=π-6

阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为

(π+π)-6

π
+π-（π-6）=π（4+-）+6=6平方
=
×13π-6

=4.205平方厘米
厘米



例35.如图，三 角形OAB是等腰
三角形，OBC是扇形，OB=5厘
米，求阴影部分的面积。

解：将两个同样的图形拼在一起

成为
圆减等腰直角三角
形

[π
÷4-×5×5]÷2

=（






π-）÷2=3.5625平方厘米

求阴影部分面积
例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这是最基本的方法：
圆面积减去
例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面
积。(单位:厘米)
解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减
去
圆的面积。
设圆的半径为 r，因为正方形

等腰直角三角形的面积，

×-2×1=1.14（平方厘米）
的面积为7平方厘米，所以
=7，

所以阴影部分的面积为：7-
例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：最基本的方法之一。用四个
圆组成
=7-×7=1.505平方厘米
例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：同上，正方形面积减去圆面积，
16-π(
)=16-4π

一个圆，用正方形的面积减去圆的面
积，

所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平
方厘米。

例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：这是一个用最常用的方法解最常见的
题，为方便起见，
我们把阴影部分的每一个小部分称为
“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，
=3.44平方厘米

例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆
半径是小圆的3倍， 问：空白部分甲比乙
的面积多多少厘米？
解：两个空白部分面积之差就是两圆面积
之差（全加上阴影部分）
)×2-16=8π-16=9.12平方厘米

另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。

π(
例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，
求)
正方形面积为：5×5÷2=12.5
-π()=100.48平方厘米

（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）

π
例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：右面正方形上部阴影部分的面积，
等于左面正方形下部空白部分面积，割
补以后为
圆，

所以阴影面积为：π
÷4-12.5=7.125
所以阴影部分面积为：
π(
平方厘米

(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、
增、减变形)

例9.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：把右面的正方形平移至左边的正
方形部分，则阴影部分合成一个长方
形，
所以阴影部分面积为：2×3=6平方厘米
)=3.14
平方厘米
例10.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：同上，平移左右两部分至中间部分，
则合成一个长方形，
所以阴影部分面积为2×1=2平方厘米
(注: 8、9、10三题是简单割、补或平
移)

例11.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一
部分来求。
π(
（π
例12.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：三个部分拼成一个半圆面积．
)÷２＝14.13平方厘米
-π）×=×3.14=3.66平方厘米
例13.求阴影部分的面积。(单位:厘米)


解: 连对角线后将叶形剪开移到右上面
的空白部分,凑成正方形的一半.
所以阴影部分面积为：8×8÷2=32平方
厘米

例15.已知直角三角形面积是12平方厘
米，求阴影部分的面积。
分析: 此题比上面的题有一定难度,这是
叶形的一个半.
解: 设三角形的直角边长为r，则
例14.求阴影部分的面积。(单位:厘
米)
解：梯形面积减去
圆面积，


(4+10)×4-π
=28-4π=15.44平方厘米 .
例16.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
=12，=6

÷2=3π。圆内三角形的面积为



解：
［π＋π－π

］

圆面积为：π
12÷2=6，

=
π(116-36)=40π=125.6平方厘米

阴影部分面积为：(3π-6)×
=5.13平方厘米


例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形
中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的周
长。
解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在
一起为一个半圆弧，
所以圆弧周长为：2×3.14×3÷2=9.42厘
米


例17.图中圆的半径为5厘米,
求阴影部分的面积。(单位:厘
米)
解： 上面的阴影部分以AB为
轴翻转后，整个阴影部分成为
梯形减去直角三角形，或两个
小 直角三角形AED、BCD面积和。
所以阴影部分面积为：5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米

例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的
面积。



解：右半部分上面部分逆时针，下面部分
顺时针旋转到左半部分，组成一个矩形。
所以面积为：1×2=2平方厘米
例20.如图，正方形ABCD的面积是36平
方厘米，求阴影部分的面积。

解：设小圆半径为r，4
=36, r=3，大圆
半径为R，
圆环,
所以面积为:π(
=2=18,

将阴影部分通过转动移在一起构成半个

例21.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴
-)÷2=4.5π=14.13平方厘米
例22. 如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。

影部分的面积。

解：把中间部分分成四等分，分别放在上面
圆的四个角上 ，补成一个正方形，边长为2
厘米，
所以面积为：2×2=4平方厘米









所以阴影部分的面积为:π(
为:π(
之和. π(
解法一: 将左边上面一块移至右边上面,补上
空白,则左边为一三角形,右边一个半圆.
阴影 部分为一个三角形和一个半圆面积
)÷2+4×4=8π+16=41.12平方
厘米

解法二: 补上两个空白为一个完整的圆.
所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积
)÷2-4×4=8π-16

)-8π+16=41.12平方厘米

例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4 个
顶点，，它们的公共点是该正方形的中心，
如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部
分的面积是多少？

解：面积为４个圆减去８个叶形，叶形面积
为：
π< br>例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，
用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，
图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周π率
取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少
平方 厘米？
分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正
-1×1=π-1

方形，各个小圆被切去
个圆，

所以阴影部分的面积为:4π
-8(π-1)=8平方厘米
这四个部分正好合成３个整圆，而正方形中的空白部分合成两
个小圆．
解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和．
为：4×4+π=19.1416平方厘米

例25.如图，四个扇形的半径相等，求
阴影部分的面积。(单位:厘米)

分析：四个空白部分可以拼成一个以
２为半径的圆．
所以阴影部分的面积为梯形面积
减去圆的面积，
4×(4+7)÷2-π
例2 6.如图，等腰直角三角形ABC和四
分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘
米，求图中 阴影部分的面积。
解: 将三角形CEB以B为圆心，逆时
针转动90度，到三角形ABD位 置,阴
影部分成为三角形ACB面积减去
个
=22-4π=9.44平方厘米

例27.如图，正方形ABCD的对角线
AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径
的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD
为半径的圆的一部分，求阴影部分的面
积。
解: 因为2
小圆面积,

为: 5×5÷2-π

÷4=12.25-3.14=9.36平方厘米
例28.求阴影部分的面积。(单位:
厘米)
解法一：设AC中点为B,阴影面
积为三角形ABD面积加弓形BD
的面积,
三角形ABD的面积
==4，所
为:5×5÷2=12.5
弓形面积为:[π
以=2

÷2-5×5]÷2=7.125

以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC
面积，
解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去
小圆面积，其

所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625平方厘米
π-2×2÷4+[π÷4-2]

值为：5×5-π=25-π

=
π-1+(π-1)

=π-2=1.14平方厘米



阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积，为：10×5÷2-
（25-π）=π=19.625平方厘米

例29.图中直角三角形ABC的直
角三角 形的直角边AB=4厘米，
BC=6厘米，扇形BCD所在圆是
以B为圆心，半径为BC的圆，
例30.如图，三角形ABC是直角
三角形，阴影部分甲比阴影部分乙
面积大28平方 厘米，AB=40厘米。
求BC的长度。
解：两部分同补上空白部分后为直
角三角形ABC，一个为半圆，设
BC长为X，则
40X÷2-π
，问：阴影部分甲
比乙面积小多少？

∠CBD=

解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形
BCD，一个成为三角形ABC，
÷2=28

所以40X-400π=56 则X=32.8厘米

此两部分差即为：π
×－×4×6＝5π-12=3.7平
例31.如图是一个正 方形和半
圆所组成的图形，其中P为半
圆周的中点，Q为正方形一边
上的中点，求阴影 部分的面积。

解：连PD、PC转换为两个三
解：三角形DCE的面积为:
例32.如图，大正方形的边长为6厘
米，小正方形的边长为4厘米。求阴
影部分的面积。
方厘米
×4×10=20平方厘米

梯形ABCD的面积为:
(4+6)×4=20平方厘米 从而知
角形和两个弓形，
两三角形面积为：△APD面积+△QPC面积=
道它们面积相等,则三角形ADF面积等于三角形EB F
面积，阴影部分可补成圆ABE的面积，其面积为：

（5×10+5×5）=37.5

两弓形PC、PD面积为：
π-5×5

π
÷4=9π=28.26平方厘米


所以阴影部分的面积为：37.5+
π-25=51.75平方厘
米

例33.求阴影部分的面积。(单位:厘米)


解：两个弓形面积为：π
解:用
大圆的面积减去长方形面积例34.求阴影部分的面积。(单位:厘
米)
再加上一个以2为半径的圆ABE
面积，为

-3×4÷2=π-6

阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为

(π+π)-6

π
+π-（π-6）=π（4+-）+6=6平方
=
×13π-6

=4.205平方厘米
厘米



例35.如图，三 角形OAB是等腰
三角形，OBC是扇形，OB=5厘
米，求阴影部分的面积。

解：将两个同样的图形拼在一起

成为
圆减等腰直角三角
形

[π
÷4-×5×5]÷2

=（






π-）÷2=3.5625平方厘米