为自己工作-荷兰郁金香

课题：一次函数

变化的世界

函数



性
质

图
像
一次函数

一元一次方程
一元一次不等式
二元方程组
【变量】
自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量．

常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量．
函数：被变量是自变量的函数．
函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值．
被变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是被变量．

【一次函数和正比例函数的概念】
1．概念： 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y= kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一
次函数（x为自变量），特别地，当b=0 时，称y是x的正比例函数.
（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的 “一次”
意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.
★判断一个等式是否是一次函数先要化简
（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数)
（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.
2. 函数的表示方法： １）解析法，２）列表法，３）图象法．
列表法直观但不完全
解析法准确完全但不直观
图象法直观形象但不够准确也不太完全
图象的画法：一列表二描点三连线（顺次用平滑的曲线）

解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值 二）符合题意

【函数的图象】
把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角 坐标系内描出它的对应点，
所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、 描点、连线．
一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象 是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直
线y=kx+b．
由于两点确定一条 直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交
点（0，b），直线 与x轴的交点（-
b
，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1， k）即可.
k
【一次函数性质】
1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质
（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；
①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k| 越小，直线
与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

函数
y=kx+b
(b≠0)
y=kx+b
(b≠0)
k＞0 b＜0 一三四 Y随x的增大而增大

k
k＞0
b
b＞0
经过的象限
一,二三
Y随x的变化
Y随x的增大而增大

图象

y=kx+b
(b≠0)
y=kx+b
(b≠0)

k＜0 b＞0 一二四 Y随x的增大而减小

k＜0 b＜0 二三四 Y随x的增大而减小

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同 位角，
因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例 函数y=x向上
平移一个单位得到的．
2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；
（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．
y=kx (k>0) y=kx (k<0)


点P（x
0
，y
0
）与直线y=kx+b的图象的关系
（ 1）如果点P（x
0
，y
0
）在直线y=kx+b的图象上，那么x
0
,y
0
的值必满足解析式y=kx+b；
（2）如果x
0
，y
0
是满足函数解析式的一对对应值，那么以x
0
，y
0
为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．
例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1 时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）
不满足解析式y=x+1 ，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．
确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一 个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）
就可求得k的值．
（2）由于 一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，< br>求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．
【一次函数与方程】
1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系
一次函数及其图像与一元一 次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）

中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－
b
，0）是
a
直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+ b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的
值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方 也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的
解．
2. 坐标轴的函数表达式
函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表 示；•函数关系式y=0的图像是x轴，
反之，x轴可以用函数关系式y=0表示．
3. 一次函数与二元一次方程组的关系
一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于 是也就是对应着两条直线，从“数”的角度
看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以 及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方
程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图 像与二元一次方程组有着密切的联系．
4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解
（1）二元一次方程组


yk
1
xb
1
有唯 一的解

直线y=k
1
x+b
1
不平行于直线y=k
2
x+b
2


k
1
≠k
2
．

yk
2
xb
2

yk
1
xb
1
（2）二元一次方程组

无解

直线y= k
1
x+b
1
∥直线y=k
2
x+b
2


k
1
=k
2
，b
1
≠b
2．
ykxb

22
（3）二元一次方程组


5. 待定系数法
先设待求函数关系式（其中含 有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得
到所求结果的方法，叫做 待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定
系数．
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入
（1）设函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值；
（4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题意可知，

y k
1
xb
1
有无数多个解

直线y=k
1x+b
1
与y=k
2
x+b
2
重合

k
1
=k
2
，b
1
=b
2
．

yk
2
xb
2

4

k,

12kb,
45

3
解 ∴此函数的关系式为y=．
x


5
33< br>
3kb,

b.

3

【知 识规律小结 】
1．常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．
①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；
当b=0时，直线经过原点；
当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．
②当k，b异号时，即-
b
＞0时，直线与x轴正半轴相交；
k
当b=0时，即-
b
=0时，直线经过原点；
k
b
﹤0时，直线与x轴负半轴相交．
k
当k，b同号时，即-
③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；
当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；
当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；
当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；
当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；
当k＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．
2． 直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．
直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)
当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；
当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．
3． 直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．
①k1
≠k
2

y
1
与y
2
相交；
②


k
1
k
2
；

y
1
与y
2
相交于y轴上同一点（0，b
1
）或（0，b
2
）

b
1
b
2

③

k
1
k
2
,

k
1< br>k
2
,

y
1
与y
2
平行； ④


y
1
与y
2
重合.

b
1
b
2

b
1
b
2
【做题方 法与技巧】

本单元的知识点比较繁多,而且在初中数学中所占的地位也比较重要．因此,我 用”六个求”来对于本单元进
行复习.

1、求系数(指数)
例1、已知函数y=(k-1)x
k
2
+ m-2
①若它是一个正比例函数,求k , m的植.
②若它是一个一次函数，求 k , m的植．


分析：这类题目是考察同学们对函数解析式的特征的理解，在讲解时要 突出两个疑难：一是一次函数中自变
量的指数等于１，而不是０；二是一次函数解析式中自变量的系数不 为零．
２．求位置：
是指一次函数的图象在坐标系中的位置，包括两种情况：
⑴ 两条直数的位置关系：若两条直线
1
x+b
1
,直线l
2
: x+ b
2
, l
1
l
2
k
1
= k
2
(这里不必要提出b
1
≠b
2
)，l
1
与l
2
相
交 k
1
≠ k
2
．
（２）直线经过的象限：一般的，一条直线都经过三个象限，由于新教材不注重k ，b的符号决定直线 经过
的象限的理解，且加上我班学生的基础较差，成绩一般．而题目又往往出这种知识点，因此我把这个 知识点
编成顺口溜：＂大大一二三，小小二三四，大小一三四，小大一二四＂，意思是当k>0，b>0 是，直线经过
一二三象限，以此类推．（课件中以表格的形式向同学展示）同学们很容易记住并理解，举 一些例子加以说明．特
别地，举下面一个例子：
例２
、
如果函数y=kx+b图象不经过第二象限,则k ,b的符号如何?举这个例子的目的是锻炼同学们的逆向思维,
以加深理解.
３.求交点
：
指一次函数的图象与坐标轴的交点坐标以及两直线交点坐标的求法．直 线y=kx+b与x轴的交点坐标是（－
bb
，０），与y轴的交点坐标是（０,b）,这里要 再次向学生解释一下，－和b是怎样得出来的．两条直线
kk
的交点坐标的求法：是将两直线的 解析式联立成一个二元一次方程组，解这个方程组，将它的解写成一个有
序实数对，就是两直线的交点坐 标．



４．求面积：
指一次函数的图象与两条坐标轴围成的直角三角形面积的求法，这可以用一个公式来表达：
s=
1b
│－│*│b│.
2k
1
x－５．
2
例３
、
已知一次函数y=
①求该函数图象与坐标的交点坐标，并画出其图象．

②求函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．

讲到这里，提出一 个思考题，让同学们课后完成，已知两条直线y=
标轴共同围成的图形的面积．
1
x－５和y=－２x+4，求它们与坐
2
５.求范围
⑴ 求自变 量的取值范围：初中阶段不外乎三种情况：一是当自变量在分母上时，分母的式子不等于零；
二是当自变 量在根号内时，根号内的式子大于等于零；三是当自变量既不在分母上，也不在根号内时，自变
量的取值 为任意实数．
⑵ 根据函数的图象或函数的解析式，给出x的取值范围能判定y的相应的取值范围，或 给出y的取值
范围判定x的相应的取值范围，这是一类较难的问题，讲解时，要特别注意数形结合．
６.求解析式
一般用特定系数法求函数的解析式，特定系数法的一般步骤是＂设→代→解→答 ＂．当然，在一些日常
生活实际问题中，则可以根据题意直接列出解析式
这里应该说明：自变量的取值范围是函数解析式的一部分，但具体求法不作要求．