广州出入境管理局-黄冈中考

《多项式乘以多项式》典型例题
例1 计算
(3x
4< br>3x
2
1)(x
4
x
2
2)

例2 计算

(3x1)(x1)(2x1)(x1)3x(x2)2x(3x)

例3 利用
(xa)(xb)x
2
(ab)xab
，写 出下列各式的结果；
（1）
(x5)(x6)

（2）
(3x2)(3x5)

例4 计算
(x1)(x1)(x
2
1)

例5 已知
x< br>2
x10
，求
x
3
2x4
的值。
例6 计算题：
（1）
(2x5y)(3x4y)
； （2）
(x
2
y)(x
2
y)
；
11
（3）
(2x3y)(3x4y)
（4）
(x4)(x3)
．
22
例7 已知计算
(x
3
mxn)(x
2
5x3)
的结果不含
x
3
和
x
2
项，求m，n的值。
例8 计算
（1）
(x7)(x9)
； （2）
(x10)(x20)
；
（3）
(x2)(x5)
； （3）
(xa)(xb)
。
1

参考答案
例1 解：原式
3 x
8
3x
6
6x
4
3x
6
3x< br>4
6x
2
x
4
x
2
2


3x
8
8x
4
7x
2
2

说明：多项式乘法在展开后合并同类项前，要检查积的项数是否等于相乘的
两项式项数的积，防止“重 ”、“漏”。
例2 解：原式
3x
2
3xx1(2x
2
2xx1)3x
2
6x6x
2


3x
2
3xx12x
2
2xx13x
2
6x6x
2


4x
2
13x

说明：本题中
(2x1)(x1)
前面有“－”号，进行多项式乘法运算时，应把结
果写在括号里，再去括号，以防出错。
例3 解：（1）
(x5)(x6)


x
2
(56)x5(6)


x
2
x30

（2）
(3x2)(3x5)

(3x)
2
 (25)(3x)25
9x21x10
2

说明：（2）题中的
(3x)
即相当于公式中
x

例4 解：
(x1)(x1)(x
2
1)

[x
2
(11)x(1)1](x
2
1)

(x
2
1)(x
2
1)
(x)(11)x (1)1
x
4
1
222

说明：三个多项式相乘，可先把两个多项式相乘，再把积与剩下的一个多项
式相乘。
例5 分析：已知
x
2
x10
，而不知
x
值 但要求
x
3
2x4
的值时，可把
x
2
x1
看成一个整体，把
x
3
2x4
化成含
x
2x1
的形式。
2

解：
x
3
2x4


x
3x
2
xx
2
x12x
2
2x23< br>

(x
3
x
2
x)(x
2x1)(2x
2
2x2)3
x(xx1)(xx1) 2(xx1)3
222

∵
x
2
x10

∴
x(x
2
x 1)(x
2
x1)2(x
2
x1)33

即
x
3
2x43

说明：把
x
3
2x4
化成含有
x
2
x1
的形式变换过程中，逆向 运用了同底
数幂的运算：
x
3
x
2
x
，也逆向 运用了乘方对加法的分配律及添括号法则。
例6 分析：第（1）小题，先用
2x
分 别与
3x
与
4y
相乘，再用
5y
分别与
3x与
4y
相乘，再把所得的积相加；第（2），（3），（4）小题同上。相乘时注意乘< br>积中各项的符号的确定。
解：（1）
(2x5y)(3x4y)2x(3x4 y)5y(3x4y)


6x
2
8xy15 xy20y
2
6x
2
7xy20y
2

（2）
(x
2
y)(x
2
y)x
2
(x2
y)y(x
2
y)


x
4
x
2
yx
2
yy
2
x
42x
2
yy
2

（3）
(2x3y)(3x4y)2x(3x4y)3y(3x4y)


6x
2
8xy9xy12y
2
6x
2
 17xy12y
2
.

11111
（4）
(x4)(x3)x(x3)4(x3)

22222
13411

x
2
xx12x
2
x12.

42 242
说明：两个多项式相乘，应注意防止“漏项”，计算过程中的一个多项式的第
一项应“遍 乘”另一个多项式的第一项，在计算时要注意确定积中各项的符号；如
有同类项，则应合并同类项，得出 最简结果。
例7 分析：首先按多项式乘法法则，进行计算并按降（或升）幂排列，因
3

不含
x
3
和
x
2项，所以这两项的系数均为0，从而列出关于m，n的方程，从而求
解。
解：原式
x
5
mx
3
nx
2
5x
4
5 mx
2
5nx3x
3
3mx3n


x
5
5x
4
(mx)x
3
(n5m) x
2
(3m5n)x3n

∵ 不含
x
3
和
x
2
项，


例8 解：（1）
(x7)(x9)
x
2
7x9x6 3x
2
16x63.

（2）
(x10)(x20 )
x
2
10x20x200x
2
10x200.
（3）
(x2)(x5)
=
x
2
5x 2010x
2
7x10.

（4）
(xa)(x b)
x
2
axbxabx
2
(ab)xab.
说明：含有一个相同字母的两个一次二项式（一次项系数都是1）相乘，得
到的积是同一 个字母的二次多项式，它的二次项系数是1，一次项系数是两个因
式中常数项的和，常数项是两个因式中 的常数项的积。用公式表示就是
(xa)(xb)x
2
(ab)xab< br>（
a,b
是常数）。记住这个公式会帮助我们在某些
∴
m30
，且
n5m0
， ∴
m3
，
n15
。
类似问题中提高运算速度和运算准确率。


4