东平湖-四川二本院校排名

负数乘以负数得正数的意义
为什么负数乘以负数得正数？你能举出实际例子解释吗

为什么“负负得正”？对于这个问题，也许你根本没有考虑，也许你的解释
是“课本 规定如此”。这个回答不能满足具有好奇心和求知欲的大家，请大家了解
一下“负负得正”的发展史。
众所周知，负数概念最早出现在中国，在《九章算术》中方程章给出正负
数的加减运算法则，而 负负得正直到13世纪末才由数学家朱士杰给出。在《算
学启蒙》（1299）中，朱士杰提出：“明乘 除法，同名相乘得正，异名相乘得负”。
公元7世纪，印度数学家婆罗笈多（brahmayup- ta）已有明确的正负数概念，
及其四则运算法则：“正负相乘得负，两负数相乘得正，两正数得正。”
直到18世纪还有一些西方数学家认为“负负得正”这一运算法则是个谬论。
甚至到了19世纪 ，英国还有一些数学家不接受负数，如英国数学家弗伦得
（1757—1841）抨击那些谈“负负得正 ”的代数学家，认为负数有悖常理，“只有
那些喜欢信口开河，厌恶严肃思维的人才支持这种数得使用。 ”
事实上直到19世纪中叶以前，负负得正的运算，则在学习代数课本中并没
有得到正确的解 释，法国文豪司汤达（1783—1843）在学生时代就曾被这个法则
困扰了很久，他的两位数学教师 迪皮伊先生和夏倍尔都未能给他一个令他信服的
解释，司汤达因而对数学和数学教师产生了不信任感，他 说：“到底是我的两位
老师在骗我呢还是数学本身就是一场骗局呢？”显然为了减少学生学习负数乘法< br>运算的理解困难，利用生硬的“规定”的方法直接引入负负得正的法则是不可取
的。下面是引入方 法帮助同学们理解。
每个孩子都是听着故事长大的。所以，他们应当对故事有着更多的兴趣和
热情。而对于学生来说。对比较强烈的概念会给他们留下较为深刻的印象，如好
与坏、善与恶等。下面这 个模型应该可以给学生以更直观的感受。
故事模型：
好人（正数）或坏人（负数）进城（正 数）或出城（负数）好（正数.）与
坏（负数），如果好人（+）进城（+）对于城镇来说是好事（+） 。所以（+）×（+）
=+：如果好人（+）
出城（-），对于城镇来说是坏事（-），如果 坏人(-)进城（+）对城镇来说是
坏事（-）即（-）×（+）=-所以如果坏人(-)出城(-)对 于城镇来说是好事(+)，所以
（-）×（-）=+
“负债”模型：

M．克莱因认为，“如果记住物理意义，那么负数运算以及负数和正数混合
运算是很容易理解的”。他 解决了困扰人们多年的“两次负债相乘的结果是神奇的
收入”的问题。
一人每天欠债5美元， 给定日期（0美元）3天后欠债15美元。如果将5
美元的债记成-5，那么每天欠债5美元欠债3天可 以数学来表达：3×（-5）=-15。
同样一人每天欠债5美元，那么给定日期（0美元）3天前，他 的财产比给定的
日期的财产多15美元，如果我们用-3表示3天前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况可表示为（-3）×（-5）=15

运动模型
一个人沿着 公路散步，规则如下：选定向右的方向为正方向，那么向左的
方向为负方向。即向右走为正数，向左走用 负数表示，依照时间的顺序，将来的
时间用正值，过去的时间为负值，人的初始位置在零点。
+4 × -3 = -12

测量型模型：
某气象站测得海拔每升高1 千米，温度降低0.6度，观察地的气温是零度。
问在观察地点以下3千米的地方气温是多少度？我们规 定，气温升高为正，气温
下降为负。观察地点以下为负，观察地点以上为正。易得上述问题的算式为(- 0.6)
×（-3）=1.8

动手模型：
在这个模型中我们需要摄像 机作为道具，也希望同学们从自己动手的过程
中理解“实践出真知”的道理
假设一个干净的塑 料水箱有一个透明的排水管，排水管的排水速度为每分
钟3加仑。用摄像机拍下排水管前几分钟的排水过 程（这里的“排水”看作为负数，
如果我们播放时放2分钟，可以看出水箱里的水减少6加仑，而3分钟 后，水减
少9加仑，假设我们现在将录像带到放2分钟（这里的“倒放”看作负数），那么
水箱 的水会增加6加仑的水。
如何解释“负负得正”
现实模型不足以让司汤达这样的聪明孩子完 全信服。这时候，我们还可以
用如下方法来解释为何“负负得正”。
第一种是直接用运算律的方法：
（-1）×（-1）=（-1）×（-1）+0×(-1)
=（-1）×（-1）+[(-1)+1] ×1
=（-1）×（-1）+(-1) ×1+1×1
=(-1) ×(-1+1)+1
=1
第二种是反证法：假设负负得正，则由假设: （-1）×（-1）=[2+(-1)]
=(-1) ×2+(-1) （1）
另一方面： （-1）×（+1）=[1+(-2)] ×（+1）=1+(-2) ×1 （2）
若正负得负，则由（1）得-1=-3，不可能：若正负得 正，则由（2）得1=3

也不可能。也就是说，无论一个正数与一个负数的乘积是正数还 是负数，上面的
结论都是不成立的。因此-1×（-1 ）= —1的假设是错误的。必有（-1）×（-1）
=1
上面的“证明”严格地说不过是两种解释 而以。因为我们的依据是正数和零
所满足的运算律包括：0+a=a，0×a=0;a+b=b+a；a ×b=b×a;等。19世纪德国数学家
汉克尔早就告诉我们。在形式化的算术中。“负负得正”是不能 证明的，大数学家
克莱恩。也提出忠告：不要试图地去证明符号法则的逻辑必要性，“别把不可能
的证明讲得似乎成立”。实际上面的“证明”表明：当我们把非负整数所满足的运
算律用于负数时，两 个负数相乘的结果只能是正数。数集扩充所遵循的原则之一
就是运算律的无矛盾性，诚然，你可以规定“ 负负得正”，但是这样做时，你至少
必须放弃正整数集所满足的其中一个运算律。这大概是我们能向汤姆 达亮出的最
后一张底牌了。然而，数学教育研究结果表明:孩子知识的建构并不是通过演绎
推理 ，而是通过经验收集、比较结果、一般化等手段来完成的，仅仅向学生讲述
运算率并不能收到你所期望的 效果，因为学生并不情愿利用这些运算率。这与历
史的启示是一致的，无疑，现实模型是我们不可缺的教 学方法。

负数乘以负数得正数的意义
为什么负数乘以负数得正数？你能举出实际例子解释吗

为什么“负负得正”？对于 这个问题，也许你根本没有考虑，也许你的解释
是“课本规定如此”。这个回答不能满足具有好奇心和求 知欲的大家，请大家了解
一下“负负得正”的发展史。
众所周知，负数概念最早出现在中国， 在《九章算术》中方程章给出正负
数的加减运算法则，而负负得正直到13世纪末才由数学家朱士杰给出 。在《算
学启蒙》（1299）中，朱士杰提出：“明乘除法，同名相乘得正，异名相乘得负”。
公元7世纪，印度数学家婆罗笈多（brahmayup- ta）已有明确的正负数概念，
及其四则运算法则：“正负相乘得负，两负数相乘得正，两正数得正。”
直到18世纪还有一些西方数学家认为“负负得正”这一运算法则是个谬论。
甚至到了19世纪 ，英国还有一些数学家不接受负数，如英国数学家弗伦得
（1757—1841）抨击那些谈“负负得正 ”的代数学家，认为负数有悖常理，“只有
那些喜欢信口开河，厌恶严肃思维的人才支持这种数得使用。 ”
事实上直到19世纪中叶以前，负负得正的运算，则在学习代数课本中并没
有得到正确的解 释，法国文豪司汤达（1783—1843）在学生时代就曾被这个法则
困扰了很久，他的两位数学教师 迪皮伊先生和夏倍尔都未能给他一个令他信服的
解释，司汤达因而对数学和数学教师产生了不信任感，他 说：“到底是我的两位
老师在骗我呢还是数学本身就是一场骗局呢？”显然为了减少学生学习负数乘法< br>运算的理解困难，利用生硬的“规定”的方法直接引入负负得正的法则是不可取
的。下面是引入方 法帮助同学们理解。
每个孩子都是听着故事长大的。所以，他们应当对故事有着更多的兴趣和
热情。而对于学生来说。对比较强烈的概念会给他们留下较为深刻的印象，如好
与坏、善与恶等。下面这 个模型应该可以给学生以更直观的感受。
故事模型：
好人（正数）或坏人（负数）进城（正 数）或出城（负数）好（正数.）与
坏（负数），如果好人（+）进城（+）对于城镇来说是好事（+） 。所以（+）×（+）
=+：如果好人（+）
出城（-），对于城镇来说是坏事（-），如果 坏人(-)进城（+）对城镇来说是
坏事（-）即（-）×（+）=-所以如果坏人(-)出城(-)对 于城镇来说是好事(+)，所以
（-）×（-）=+
“负债”模型：

M．克莱因认为，“如果记住物理意义，那么负数运算以及负数和正数混合
运算是很容易理解的”。他 解决了困扰人们多年的“两次负债相乘的结果是神奇的
收入”的问题。
一人每天欠债5美元， 给定日期（0美元）3天后欠债15美元。如果将5
美元的债记成-5，那么每天欠债5美元欠债3天可 以数学来表达：3×（-5）=-15。
同样一人每天欠债5美元，那么给定日期（0美元）3天前，他 的财产比给定的
日期的财产多15美元，如果我们用-3表示3天前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况可表示为（-3）×（-5）=15

运动模型
一个人沿着 公路散步，规则如下：选定向右的方向为正方向，那么向左的
方向为负方向。即向右走为正数，向左走用 负数表示，依照时间的顺序，将来的
时间用正值，过去的时间为负值，人的初始位置在零点。
+4 × -3 = -12

测量型模型：
某气象站测得海拔每升高1 千米，温度降低0.6度，观察地的气温是零度。
问在观察地点以下3千米的地方气温是多少度？我们规 定，气温升高为正，气温
下降为负。观察地点以下为负，观察地点以上为正。易得上述问题的算式为(- 0.6)
×（-3）=1.8

动手模型：
在这个模型中我们需要摄像 机作为道具，也希望同学们从自己动手的过程
中理解“实践出真知”的道理
假设一个干净的塑 料水箱有一个透明的排水管，排水管的排水速度为每分
钟3加仑。用摄像机拍下排水管前几分钟的排水过 程（这里的“排水”看作为负数，
如果我们播放时放2分钟，可以看出水箱里的水减少6加仑，而3分钟 后，水减
少9加仑，假设我们现在将录像带到放2分钟（这里的“倒放”看作负数），那么
水箱 的水会增加6加仑的水。
如何解释“负负得正”
现实模型不足以让司汤达这样的聪明孩子完 全信服。这时候，我们还可以
用如下方法来解释为何“负负得正”。
第一种是直接用运算律的方法：
（-1）×（-1）=（-1）×（-1）+0×(-1)
=（-1）×（-1）+[(-1)+1] ×1
=（-1）×（-1）+(-1) ×1+1×1
=(-1) ×(-1+1)+1
=1
第二种是反证法：假设负负得正，则由假设: （-1）×（-1）=[2+(-1)]
=(-1) ×2+(-1) （1）
另一方面： （-1）×（+1）=[1+(-2)] ×（+1）=1+(-2) ×1 （2）
若正负得负，则由（1）得-1=-3，不可能：若正负得 正，则由（2）得1=3

也不可能。也就是说，无论一个正数与一个负数的乘积是正数还 是负数，上面的
结论都是不成立的。因此-1×（-1 ）= —1的假设是错误的。必有（-1）×（-1）
=1
上面的“证明”严格地说不过是两种解释 而以。因为我们的依据是正数和零
所满足的运算律包括：0+a=a，0×a=0;a+b=b+a；a ×b=b×a;等。19世纪德国数学家
汉克尔早就告诉我们。在形式化的算术中。“负负得正”是不能 证明的，大数学家
克莱恩。也提出忠告：不要试图地去证明符号法则的逻辑必要性，“别把不可能
的证明讲得似乎成立”。实际上面的“证明”表明：当我们把非负整数所满足的运
算律用于负数时，两 个负数相乘的结果只能是正数。数集扩充所遵循的原则之一
就是运算律的无矛盾性，诚然，你可以规定“ 负负得正”，但是这样做时，你至少
必须放弃正整数集所满足的其中一个运算律。这大概是我们能向汤姆 达亮出的最
后一张底牌了。然而，数学教育研究结果表明:孩子知识的建构并不是通过演绎
推理 ，而是通过经验收集、比较结果、一般化等手段来完成的，仅仅向学生讲述
运算率并不能收到你所期望的 效果，因为学生并不情愿利用这些运算率。这与历
史的启示是一致的，无疑，现实模型是我们不可缺的教 学方法。