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数与代数一：基本概念

（一）整数
1、自然数
我们在数物体的时候，用来表示 物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个
物体也没有，用0表示。0也是自然数。
2、整数的意义
自然数和0都是挣正整数。
3、计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4 、数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位（如个位、十
位、百位、 千位、万位......）
5、数的整除
（1）整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a
能被b整除，或者说b能整除a 。
（2）如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a
的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 例如：因为35能被7整除，
所以35是7的倍数，7是35的因数。
（3）一 个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是
它本身。例如：10的因数有1、2、 5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是
10。
（4）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数

有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
6、偶数：
能被2整除的数叫做偶数。
7、奇数：
不能被2整除的数叫做奇数。
注意：0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
8、能被某个数整除的数的特点
（1）个位上是0、2、4、6、8的数， 都能被2整除，例如：202、480、304，
都能被2整除。
（2）个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整
除。
（3）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：
12、108、204都能被 3整除。
（4）一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
注意：能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
（5）一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整
除。例如：16、404 、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
（6）一个数的末三 位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）
整除。例如：1168、4600、500 0、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能
被125整除。
（ 7）一个数的奇数位上数字的和与偶数位上数字的和的差是11的倍数，这
个数就能被11整除。
9、质数

一个数，如果只有1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100
以内的质数有：2、3、5、7、11、13 、17、19、23、29、31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、73、 79、83、89、97。
10、合数
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、
6、8、9、12都是合数。
注意：1不是质数也不是合数，0既不是质数也不是合数 。正整数除了1外，不
是质数就是合数。
11、质因数：
每个合数都可以 写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因
数，叫做这个合数的质因数，例如15=3× 5，3和5 叫做15的质因数。
12、分解质因数
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数 28=2×2×7
13、公因数与最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 其中最大的一个，叫做这几个
数的最大公因数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约 数有1、2、3、
6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公因数。
14、公倍数与最小公倍数
几个数公有 的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个
数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、 6 、8、10、12、 …… 3的倍数有3、6、
9、12、 …… 其中6、12……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。
（1）如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，

较大数就是它们的最小公倍数。如5是25的因数，所以它们的最大 公因数是5，
最小公倍数是25.
（2）如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
（3）几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
15、互质数
公因数只有1的两个数，叫做互质数。
16、成互质关系的两个数，有下列几种情况：
（1）1和任何自然数互质。
（2）相邻的两个自然数互质。如15和16
（3）两个不同的质数互质。 如11和17
（4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。如21和5
（5）两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。如8和9
（6）如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如5、12、17、
121
（7）如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
（二）小数
1、小数的意义
（1）把单位1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分
之几、千分之几…… 可以用小数表示。
（2）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分
之几……
（3）一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做
小数点，小数点左边的数叫做 整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

（4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高
分数单位“十分之一”和整 数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
（1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都
是纯小数。
（2）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26
都是带小数。
（3）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如：
41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
（4）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如：
4.33 …… 3.1415926 ……
（5）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且 位数无限，
这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：∏
（6）循环小数：一个数 的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重
复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
①循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循
环小数的循环节。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环
节是“ 54 ” 。
②纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如：
3.111 …… 0.5656 ……
③混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222 …… 0.03333 ……
④写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并

在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有一个数字，就
只在它的上面点一个点。例如： 3.777 …… 简写作 0.5302302 …… 简写
作 。
（三）分数
1、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单
位。
3、分数的分类
（1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
（2）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假
分数大于或等于1。
（3）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
4、约分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。
5、最简分数：分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
6、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分
比。百分数通常用来表示。百分号是表示百分数的符号。百分数不能带单位。
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