安县中学-美国留学必备物品

最新小学六年级数学培优训练含详细答案

一、培优题易错题
1． 甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商
场累计购物超过1 00元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元
后，超出50元的部分按9 5%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x>100.

（1）根据题意，填写下表(单位：元)：

（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？

（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？

【答案】（1）271；0.9x＋10；278；0.95x＋2.5

（2）解： 根据题意，有0.9x＋10＝0.95x＋2.5，解得x＝150，∴当x＝150时，小红在
甲、 乙两商场的实际花费相同。

（3）解：由0.9x＋10<0.95x＋2.5，解得x>1 50，由0.9x＋10>0.95x＋2.5，解得x<150.

∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少．

当小红累计购物超过1 00元而不到150元时，在乙商场的实际花费少．当小红累计购物
150元时，甲、乙商场花费一样

【解析】【解答】解：(1)在甲商场：271，0.9x＋10；在乙商场：278，0. 95x＋2.5.【分析】
（1）根据提供的方案列出代数式；

（2）根据（1）中的代数式利用费用相同可得关于x的方程，解方程即可；

（3）列不等式得出x的范围，可选择商场.


2．纽约、悉尼与上海的时 差如下表（正数表示同一时刻比上海时间早的时数，负数表示同
一时刻比上海晚的时数）：

城市

悉尼

纽约

时差时

+2

-12

（1）当上海是10月1日上午10时，悉尼时间是________.

（ 2）上海、纽约与悉尼的时差分别为________（正数表示同一时刻比悉尼时间早的时数，
负数表 示同一时刻比悉尼晚的时数）.



（3）王老师2018年9月1 日，从纽约Newwark机场，搭乘当地时间上午10:45的班机，

前往上海浦东国 际机场，飞机飞行的时间为14小时55分钟，问飞机降落上海浦东国际机
场的时间.

【答案】（1）12


（2）-2，-14


（3）解：10时45分+14时55分+12时=37时40分.

故飞机降落上海浦东国际机场的时间为2018年9月2日下午1:40

【解析】【 解答】（1）10+（+2）=12时，即当上海是10月1日上午10时，悉尼时间是
12时.

（ 2 ）12-10=2；

-12-2=-14；

故上海、纽约与悉尼的时差分别为-2，-14.

【分析】（1）根据表格得到悉尼时间是10+（+2）；（ 2 ）由表格得到上海与悉尼的时差是2，纽约与悉尼的时差-12-2；（3）根据题意得到10时45分+14时55分+12时，得到飞< br>机降落上海浦东国际机场的时间.


3．如图，半径为1个单位的圆片上有一 点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直
径．（结果保留π）


（1 ）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是
________数（填“ 无理”或“有理”），这个数是________；

（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是________；

（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依< br>次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3

①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？

②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？

【答案】（1）无理；﹣2π

（2）4π或﹣4π

（3）解：① ∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记
为负数，依次运动情况记录如 下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3，

∴第4次滚动后，A点距离原点最近；第3次滚动后，A点距离原点最远；

②∵|+2|+|﹣1|+|+3|+|﹣4|+|﹣3|=13，

∴13×2π×1=26π，

∴A点运动的路程共有26π；

∵（+2）+（﹣1）+（+3）+（﹣4）+（﹣3）=﹣3，

（﹣3）×2π=﹣6π，

∴此时点A所表示的数是：﹣6π

【解析】【解答】解：（1）把圆片沿数轴向左滚 动1周，点A到达数轴上点C的位置，
点C表示的数是无理数，这个数是﹣2π；

故答案为：无理，﹣2π；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点
D表示的数 是4π或﹣4π；

故答案为：4π或﹣4π；

【分析】（1）利用圆的半 径以及滚动周数即可得出滚动距离；（2）利用圆的半径以及滚
动周数即可得出滚动距离；（3）①利用 滚动的方向以及滚动的周数即可得出A点移动距
离变化；②利用绝对值的性质以及有理数的加减运算得出 移动距离和A表示的数即可．


4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，1 0，…这样的数称为“三角形数”，而把1，
4，9，16，…这样的数称为“正方形数”.



（1）第5个“三角形数”是________，第n个“三角形数”是_ _______，第5个“正方形数”是
________，第n个“正方形数”是________.

（2）除“1”以外，请再写一个既是“三角形数”，又是“正方形数”的数________.

（3）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看做两个相邻“三角形数”之和. 例如：①4=1+3；②9=3+6；③16=6+10；④________；⑤________；…请 写出上面第4
个和第5个等式.

（4）在（3）中，请探究n
2
=________+________。

【答案】（1）15；
（2）36

（3）25=10+15；36=15+21

（4）2n；1

【解析】【解答】解：（1）15， ，25，n
2
；（2）1+2+3+4+5+ 6+7+8=36，
；25；n
2

6
2
=36，所以36 是三角形数，也是正方形数。（3）25=10+15，36=15+21；（4）
，

∵右边=
=


=n
2
+2n+1=（n+1）
2
=左边，

∴原等式成立．

故答案为15， ，25，n
2
；25=10+15，36=15+21．

【 分析】（1）由“三角形数”得意义可得规律：第n个数为，把n=5代入计算即可
求解；根据“正方形 数”的意义可得：第n个数为，把n=5代入计算即可求解；

（2）通过计算可知，36既是三角形数，也是正方形数；

（3）由题意可得④25=10+15，⑤36=15+21；

（4）由（3）中的计算可得：
。

；，，

5．有 、 、 三种盐水，按 与 数量之比为
与 数量之比为 混合，得到浓度为
混合成的盐水浓度为
混合，得到浓度为 的盐水；按
， 的盐水．如果 、 、 数量之比为
，问盐水 的浓度是多少？

【答案】 解：B盐水浓度：

（14%×6-13%×3）÷（4-1）

=（0.84-0.39）÷3

=0.45÷3

=15%

A盐水浓度：14%×3-15×2=12%

C盐水浓度：[10.2%×（1+1+3）-12%×1-15×1]÷3

=（0.51-0.27）÷3

=0.24÷3

=8%

答：盐水C的浓度为8%。

【解析】【分析】 与按数量之比为2：4混合时，浓度仍为14%， 而这样的混合溶液也
相当于A与B按数量之比为2： 1混合后再混入（4-1）份B盐水，这样就能求出B盐水
的浓度。然后求出A盐水的浓度，再根据混合 盐水的浓度计算C盐水的浓度即可。


6．十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为 和 ，浓度分别为
（ ），将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为 ，求证：
和
．

【答案】 证明： 甲溶液中溶质的质量为
液中的溶质质量为
以
见


， 即
。

， 乙溶液中的溶质质量为 ， 则混和溶
， 所
， 可
， 所以混合溶液的浓度为
，
【解析】【分析】溶液的浓度=溶质的质量÷溶液的质量 ，溶质的质量=溶液质量×浓度。根

据计算方法分别表示出两个容器中溶质的质量和混合 后的浓度，得到等式后用十字交叉法
证明这个等式即可。


7．甲、乙、丙 三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数
天做完，若按乙、丙、甲的顺 序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮
流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独 做完这件工作要 天，且三个人的工作效率
各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？

【答案】 解：
=
=



=（天）

答：要用天才能完成。

【解析】【分析】 首先 应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成。如果按甲、
乙、丙的顺序去做，最后一天由丙完成 ，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去
做时用的天数将都与按甲、乙、丙的顺序做用的天数相 同，这与题意不符；如果按甲、
乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的顺序去做， 最后由甲做了半
天来完成，这样有
做，最后由乙做了半天来完成，这样有
么
， 可得 ；而按丙、甲、乙的顺序去
， 可得 ． 那
， 即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合。所以按甲、乙、丙的顺序去
， 可做，最后一天是由甲完成的。那么有
得 ， 。这样就可以根据工作效率之间的关系分别 求出乙和丙的工作效
率，用总工作量除以三队的工作效率和即可求出一起做完成的时间。


8．甲、乙、丙三队要完成 ， 两项工程， 工程的工作量是 工程工作量再增加 ，如
果让甲、乙、丙三队单独做，完成 工程所需要的时间分别是 天， 天， 天．现在
让甲队做 工程，乙队做 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做 工程若
干天，然后再与甲队合做 工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？

【答案】 解： 三队合作完成两项工程所用的天数为：

（天），

18天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为：
剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在 工程上用了：
答：丙队与乙队合做了15天。

【解析】【分析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，< br>数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，
我们不妨 设工程的工作总量为单位“1”，那么工程的工作量就是“ ”。用两项工程总工作
量除以三队的工作 效率和即可求出共同完成的时间。用乙的工作效率乘共同完成的时间即
可求出乙完成的工作量，那么B工 程剩下的工作量就由丙来做，这样用丙帮助乙完成的工
作量除以丙的工作效率即可求出丙队帮助乙的时间 ，也就是丙与乙合做的天数。

，

（天）。


9．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程要12天，二队完成< br>乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降
两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？



【答案】 解：原来一队比二队的工作效率高：
提高后的工作效率二队比一队高：

，

，二队的工作效率要下降 ．结果

=

=

， 则3个晴天5个雨天，两队的工作进度相同，共完成：
，

5÷=10（天）

答：工作时间内下了10天雨。



【解析】【分析】先表示出原来两队的工作效率，然后计算出工作效率下降后两人的工作效率，写出前后工作效率差的比，化简后确定3个晴天和5个雨天的工作进度是相同的，
然后计算出 3个雨天与5个晴天完成的工作量，再求出下雨的天数即可。

10．一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的
倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 倍，下午这批工人中有
天，那么这批工人有多少人？

【答案】 解：设这批工人有12x人。

上午去甲工地的人数：12x÷（3+1）×3=9x（人）， 去乙工地的人数：12x-9x=3x（人）；

下午去甲工地的人数：12x×=7x（人），去乙工地的人数：12x-7x=5x（人）；

甲工地：（9x+7x）÷2=8x（人），乙工地：（3x+5x）÷2=4x（人）；

假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量是2份，

8x人一整天完成3份，4x人一整天完成份，

乙工地还剩下：（份），

（人），即8x=24，x=3，

12×3=36（人）。

答：这批工人有36人。




的人去甲工地．其
他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 名工人再做
【解析】【分析】“ 下午这批工人中有 的人去甲工地”，所以这批工人的人数一定是12
的倍数，所以设这批工人有12x人。根据人员分配确定上午去两个工地的人数和下午去两
个工地的人数 ，这样就可以求出甲工地相当于8x人做一整天，乙工地相当于4x人做一整
天；根据甲乙两个工地工作 量的倍数关系假设甲工地有3份，乙工地的工作量是2份。然
后求出乙工地还剩下的工作量，求出甲工地 做一整天需要的人数，然后求出x的值，就可
以求出工人的总人数。