盛大推广员-自检自查报告


不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，不定积分是定积分、 二重积分等的基础，学好不定积分十分
重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章 可循”。本文
论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。
关键词：不定积分；总结；解题方法

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是 毫无解题规律可言。本文所总
结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。

1.利用基本公式。（这就不多说了~）
2.第一类换元法。（凑微分）
设f(μ)具有原函数F(μ)。则

f[

(x)]

'(x)dx

f[

(x)]d

(x) F[

(x)]C

其中

(x)
可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，
同时为下一步积分做准备 。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中
拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种 启迪。如例1、例2：
例1：

ln(x1)lnx
dx

x(x1)
111


x1xx(x1)
【解】
(ln(x1)lnx)'
ln(x1)lnx1
2
dx(l n(x1)lnx)d(ln(x1)lnx)(ln(x1)lnx)C

x(x1)

2
例2：

1lnx
dx

(xlnx)
2
【解】
(xlnx)'1lnx

1 lnxdxlnx1
dx

x(x1)
2

(xl nx)
2
xlnx
C

3.第二类换元法：
设
x

(t)
是单调、可导的函数，并且

'(t)0.又设f[

(t)]

'(t)
具有原函数，
则有换元公式

f(x)dx

f[

(t)]

'(t) dt

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记 会
用。主要有以下几种：
(1)a
2
x
2
：xasi nt；xacost
(2)x
2
a
2
：xatant；xa cott；xasht

(3)x
2
a
2
：xase ct；xacsct；xacht
n
(4)
n
axb：axbt< br>(5)
n
axb
n
axb
：t
cxdcx d

1
(6)当被积函数含有x
m
ax
2
bx c，有时倒代换x也奏效。
t
（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用
t
代去根号。

sin
xdxt

x
2

t
sin
tdt
 2(
t
cos
t


cos
tdt
)
2
t
cos
t
2sin
t

C
2
x
cos
x
2sin
x

C< br> 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

x




dx
x
12
1
1
x

1< br>t

t

1
1
t
t
6
1
t
1
12
12
1

1




t
2


dt

t
dt


dt
6
t
5
1
t< br>12
dt

1
6

1
t
121
arcsin
x
6

c
6
（7）当根号内 出现单项式或多项式时一般用
t
代去根号。

sin
xdxt
x
2

t
sin
tdt
2(
t
cos
t


cos
tdt
)

2
t
cos
t
2sin
t

C
 2
x
cos
x
2sin
x

C
但当根号内出现高次幂时可能保留根号，


x




dx
x
12
1
1
x

1
t

t

1
1
t
t
6
1
t
1
12
12
1

1





t
2


dt
t
dt


dt
6
t
5
1
t
12
dt

1
6

1
t
1 2
1
arcsin
x
6

c
6
4.分部 积分法.
公式：


d





d


分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分 的部分先做，最终完成
不定积分。具体选取

、

时，通常基于以下 两点考虑：
（1）降低多项式部分的系数
（2）简化被积函数的类型
举两个例子吧~！
例3：

x
3
arccosx
1x
2
dx

【解】观察被积函数，选取变换
tarccosx
,则

x3
arccosx
1x
2
cos
3
t
dx

t(sint)dt

tcos
3
tdt

sint
1
32
t(sint1)dsinttd(
< br>3
sintsint)
11
tsin
3
tsint< br>
(sin
3
tsint)dt
33
11
tsin
3
tsint

(sin
2
t1)dc ost
33
121
tsin
3
tsintcostcos< br>3
tC
339
121
x
3
x(x
2
2)1x
2
arccosxC
933
例4：
arcsin
2
xdx

【解】
22
arcsinxd xxsinx

x2arcsinx

1
1x
2dx

xarcsinx

2arcsinxd1x
2

xarcsinx21x
2
arcsinx
< br>1x
2
xarcsinx21x
2
arcsinx2xC< br>上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。
在


d< br>





d

中，

、

的选取有下面简单的规律：
(1)

P
m
(x)，

e
ax
,sinax,cosax
(2)< br>
lnx,arctanx,arcsinx，

P
m
( x)
(3)

e，

cos

x,sin
x
ax
2
1x
2
dx

(3)会出现循环，注意

，

选取的函数不能改变。
将以上规 律化成一个图就是：





（lnx
arcsinx）
Pm(x
)
（a^x
sinx)
μ

ν

但是，当

lnx，

arcsinx
时，是无法求解的。
对于（3）情况，有两个通用公式：
e< br>ax
I
1


esinbxdx
2
(a sinbxbcosbx)C
ab
2

e
ax
ax< br>I
2


ecosbxdx
2
(acosbx bsinbx)C
ab
2
ax
（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉 及lnx的不定积分》中，常可以看到
分部积分）

5 不定积分中三角函数的处理
1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。
被积函数


1
dx
上下同乘
sin
x
变形为
22
s in
x
cos
x

1cos
xd

co s
x


dx


sin
x
 cos
x
1cos
2
x

1cos
x


令
u
cos
x
，则为

u du
111
(

1
u
2

1< br>u


2

1
u

2
4

1
u

4

1
u

)
du
111cos
x
ln
c

2< br>
1cos
x

41cos
x
1
x1
x
lntan
2
sec
2

c


2242
2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意
si n
2
x
cos
2
x
1
的使
用。 sin
x
cos
x
1

sin
x
c os
x

1
dx

dx

sin
x
cos
x
2

sin
x
cos
x

1

dx


sin
x
co s
x




2

2sin(
x


4)

2

1
x



sin
x
cos
x


1
lntan


2

8



c
2
22

三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简 单可能题目会越难，
适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。
3. 函数的降次
①形如

sin
m
x
cos
n
xdx
的
积分（m，n为非负整数）
当m为奇数时，可令
u
cos
x
，于是


sin
x
cos
xdx


sin

s in
m
mnm
1
x
cos
xd
cos
x


1
u
n

2

m
1
2
u
n
du
，
转化为多项式的积分
当n为奇数时，可令
u
sin
x
，于是
x
cos
xdx

n

sin
m
x< br>cos
n
1
xd
sin
x


u

1
u

m
2
u
1
2
du
，
同样转化为多项式的积分。
当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：
1
sin2
x
,
2
1cos2
x
2
x
,

sin
2
1cos2
x
2
cos
x
,
2
s in
x
cos
x

不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

② 形如

t an
n
xdx
和

cot
n
xdx
的积分 （n为正整数）

令
u
tan
xdx
，则< br>x
arctan
u
，
dx

du
，从而
1
u
2


tan
n
xdx


u
n
du
,

2
1
u
已转化成有理函数的积分。
类似地，

cot
n
xdx
可通过代换
u
cot
x转为成有理函数的积分。

③形如

sec
n
xdx
和

csc
m
xdx
的积分（n为正整数）
当n为偶数时，若令
u
tan
x
，则
x
arctan< br>u
,
dx

du
，于是
2
1
u


sec
n
xdx



1tan
x

dx
2
2
n



1
u

n
2
2
1
du

2
1
u


1
u

2
2
1
n
du

已转化成多项式的积分。
类似地，

csc
n
xdx
可通过代换
u
cot
x
转化成有理函数的积分。
当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。

4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。
2

x
s in
xdx

1
2
1
x

44
1 1

x
2

44

1cos2
x
11
dx

x
2


x
cos2
xdx
242
1
2
11

xd
sin2
x

x

x
sin2
x
sin2
xd x


444

1
x
sin2
x
cos2
x

c
8

x



5.几种特殊类型函数的积分。
（1）有理函数的积分
有理函数
P(x) P*(x)P*(x)
先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干
Q(x)Q(x)Q(x)
dx
(a
2
x
2
)
n
个部分分式之和。 （对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现
I
n


时，记得用递 推公式：
I
n

x2n3
I
n1
）
222n12
2a(n1)(xa)2a(n1)

1.有理真分式化 为部分分式之和求解
①简单的有理真分式的拆分



1dx

4
x
1
x


1
x
3





x

1
x
4

dx


1
ln1
x
4

c
4
②注意分子和分母在形式上的联系
dxx
6dxdt
7

t

x

x
3
x
7

x
7
3
x
7

t
3
t

ln
x




1
3

11

ln
t
ln

3
t



dt

c




3
t

33

t

ln
x
7
ln3
x
7

c
3
此类题目一般还有另外一种题型：




x
11
dx

2
x
2
2
x
5

1
ln
x
2
2
x
5
c
2

2
x
2
dx
2
x2
x
5

2.注意分母（分子）有理化的使用

dx
2
x
32
x
1


2
x
3
4
2
x
1
33
11

2
x
3

2


2
x
3
2

C

1212
x
6
x
4
4x
2
2
例5：

dx

x3
(x
2
1)
2
x
6
x
4
4x
2
2x
6
x
4
4x
2
2x 4x
2
2
【解】

32

32
2

32322222
x(x1)x(x1)x(x1)x1x(x1 )

x1
2
dxln(x1)C
2

x12

222
4x24x22x1
22
dxxdx

x
3
(x
2
1)
2

x
4
(x< br>2
1)
2

x
4
(x
2
1)< br>2
dx

x
2

1(

1)
2


2


2
(

 1)
2
d




2
(

1)
2
d



11111
()d

CC
22


2
(

1 )
2

1

x(x1)
故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分
x

2tan
2

sinx
x

1tan
2

2
万能公式：

x

1tan
2
2

cosx

2
x
1tan

2
P(sinx,cosx)x
dx可用变换ttan化为有理函数
的积分，但由于计算较 烦，

Q(sinx,cosx)2
应尽量避免。
对于只含有tanx（或 cotx）的分式，必化成
sinxcosx
或
。再用待定系数
cosxs inx
A(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)
来做。（注：没举 例题并不代表不重要~）
acosxbsinx

（3）简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现
x和1x
时，可令
xtan
2
t
；同时
出现
x 和1x
时，可令
xsin
2
t
；同时出现
1x
2
和arcsinx
时，可令x=sint；
同时出现
1x
2< br>和arccosx
时，可令x=cost等等。
（4）善于利用
e
x
，因为其求导后不变。
e
x

x
1


e
x
x
1
xe
x
dx

1
t
t

xe
x
dt
ln
c
t

1
t

1< br>t
x
1
dx

x
x
1
xe

1
x
dxe
xe
x
1
x e
x




xe
x
ln
c
x
1
xe
这 道题目中首先会注意到
xe
x
，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导
后 为
e
x

xe
x
与分母差
e
x
， 另外因为
e
x
求导后不变，所以容易想到分子分母同
乘以
e
x
。
（5）某些题正的不行倒着来




lnsin
x
1
u
2
ln
u
dx
sin
x


2
u
sin
x
1
12

1



u
2

du

u

u
ln
u
u
2
1
2
du

2
ln
udu
1

u
1ln
u


u
2
1
du
u


u
2
1tan
y
duu
se c
y

sec
y
tan
ydy

u< br>sec
y
2
tan
ydy
tan
y
y

c

原式

sin
xd
< br>cot
x

cot
x
lnsin
x
< br>cos
x
cos
x

sin
x
sin
x
dx
cot
x
lnsin
x


cot
2
xdx
cot
x
lnsin
x
cot
x
lnsin
x
cot
x

x< br>
c

cot
xd

lnsin
x


这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用
u
sin< br>x
，然而这样的
换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”， 当
u
sin
x
这类一般的换元法行不通时尝试下
题中的反证法。
（6）注意复杂部分求导后的导数
1
u
sin
x
。这种 思路类似于证明

ln
x
2
t
2
dxt
ln
xdt


22
t
x
ln
x12
x
ln
xt
12
te

注意到 :
16
t
2
e
t
2
t
3
e
t
y
1

t
2
t
3
e
t
t
2
t
3
e
t

y
2

3
t
t
2
te
12
t
2
e
t
y
3

t
12
t
2
et


t
2

y
1
-
y
2
3
y
3

t
12
t
2e
t


t
2


dt
2
t
t
12
te
3
t


ln

t
2
te


t
3ln
t

c
16
t
2
e
t
2
t
3
e
t
dt

3
t
t2
te
t
2
t
3
e
t
12t
2
e
t

t
2
t
3
e< br>t
dt
3

t
12
t
2
et
dt

lnln
x
2

ln
x

e
ln
x
ln
x
3lnln
x< br>
c
3


本题把被积函数拆为三部分：
y
1
,
y
2
,
y
3
，
y
1
的分子为分母的导数，
y
2
的值为1，
y
3
的分子为分母因 式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛
中出现。
dx
(
a

（7）对于

R
(
x
,
ax
2

bx

c
)
考虑

b
2< br>4
ac
的符号来

0)
型积分，
确定取不同的变换 。
如果
0
，设方程
ax
2

bx

c
0
两个实根为

,

，令

可使上述积分有理化。
如果
0
，则方程
ax
2

bx

c
0
没有实根，令

ax
2

bx

c

t

x


，
ax
2

bx

c

ax

t
，
可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设
ax
2

bx

c

xt

c
，
至于采用哪种替换，具体问题具体分析。