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一、从十进制到二进制

如果有人问：
10＋10＝？
您可能会不加思索地回答：“等于20。”这样的回答对不
对呢？可 以说对，也可以说不对，这要进行具体的分析。说
对，是因为我们平时都是用十进制，也即用逢十进一的 方法
来进行计算的。但如果从下面即将介绍的二进制，即逢二进
一的观点来看，那么，上述回答 则是错的。
我们的祖先，很早以前就创造了十进制，并将它作为计数
的基础，这是因 为人类有十个手指和十个脚趾这个天生的计
算工具。几千年来，人类一直沿用十进制，这是因为在一般< br>情况下，使用十进制比用其他进制要方便得多。
但是，在日常生活中，并不是全都采用 十进制来计数的。
例如，一年有十二个月，这是十二进制；一小时等于六十分
钟，一分钟等于六 十秒，这是六十进制；一公尺等于三市尺，
这是三进制；鞋、袜都是以双来计算的，一双等于两只，这< br>是二进制。等等。
计算机作为一种计算工具，采用哪一种进制计数呢？计算
机 是由大量的电子器件组成的，在这些电子器件中，电路的
通和断、电位的高和低，用两种数字符号“１” 和“０”分别表

示，容易实现。二进制的运算法则很简单，加法法则四个，
乘法 法则四个，即：
0＋0=0,0＋1=1,1＋0=1,1＋1=10；
0×0 =0,0×1=0,1×0=0,1×1=1
考虑到运算简便、节省器件、容易实现、经济、 可靠等因
素，因此，在计算机内部通常用二进制代码来作为内部存储、
传输和处理信息的计数方 法。
二、十进制
十进制数计数的特点是“逢十进一”。为了表示十进制的 某
位数，需要10个数字０，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
就是说十进制的基数为1 0。
在十进制数中，不同数位上的数字所表示的值是不相同
的。例如在十进制数16 3和1267中，数字6都出现在十位
数的位置上，因此，这两个数中的数字６的值都是60。通
常，我们把某一固定位置上的计数单位叫做位权，例如：

个位数的位权为10
0
＝１ (基数10的０次方）
十位数的位权为10
1
＝10 （基数10的1次方）

百位数的位权为10
2
＝10×10＝10 （基数10的2
次方）
千位数的位权为10
3
＝10×10×10＝1000 （基数10的
3次方）
……
由上述可见，在十进制计 数中，各位上的位权值是基数
10的若干次方。因此，任何一个十进制数都可以用横式展
开式（ 位权表示法）来表示。例如：
(7852)
10
＝7×10< br>3
＋8×10
2
＋5×10
1
＋2×10


０
三、二进制
１．二进制的计数
所谓二进制计 数，即每一位只有两个数，要么是０，要么
是１，而且顾名思义，是“逢二进一”。因此，二进制计数的
基数为２。
在十进制中，每个数可以用横式分解成个、十、百、千，……
各位数之和相加，例如：
(163)
10
＝1×100＋6×10＋3×1

同样，在 二进制中，我们也可以用横式来分解二进制数。
例如，二进制数1010等于十进制数的多少呢？
(1010)
2
＝ (1000)
2
＋ (10)
2

对应十进制的２×２×２＝８ 对应十进制
的２

在这里，二进制的10包括两个二进制位，因为是逢二进
一，每增加１位就乘以２。同 样，二进制1000包括二进制
的４个位，每增加１位也乘以２，所以，二进制的1000等
于 十进制的２×２×２＝８。因此，二进制的1010等于十进
制的10，即(1010)
2＝(10)
10
。按照这个原则，要表示十进制
的10，需要有４个二进制位，它 们之间的对应关系如表2-1
所示。
十进制
数
0
1
2
二进制
数
0000
0001
0010

3
4
5
6
7
8
9
10
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
表2-1 二进制的计数

２．二进制数转换成十进制数
与二进制计数类似 ，根据位权表示法，在二进制数中的每
一位数字在不同位置上具有不同的值，而且二进制各位上的
位权值是基数２的若干次方，例如：
2
0
＝１
2
1
＝２×１＝２

2
2
＝２×２＝４
2
3
＝２×２×２＝８
……
将二进制数转换成十进制数的方法是：
(1)把这个二进制数的最低一位（第０位）乘以２的 ０次方
（即2
0
）,倒数第二位（第１位）乘以２的１次方（即2
1
），……，
一直到最高位（第n位）乘以２的n次方（即2
n
）。
(2)最后将各项乘积相加，得到的结果就是二进制数所对应
的十进制数。
例2-1 把二进制数1101101转换成十进制数。
解：(1101101)
2
＝1×2
6
＋1×2
5
＋0×2
4
＋1×2
3＋1×2
2
＋
0×2
1
＋1×2
０

＝64 ＋32＋0＋8＋4＋0＋1
＝109
∴ (1101101)
2
＝(109)
10


３．十进制数转换成二进制数

将十进制数转换成二进制数的方法是：
(1)将这个十进制数除以２，得到一个商数和余数；再 将得
到的商数除以２，又得到一个商数和余数；这样一直继续下
去，直到商数等于０为止。
(2)第一次得到的余数是对应二进制数的最低位，最后一次
得到的余数为对应的二进制 数的最高位，其它余数依次类
推。
这种转换方法称为“除２反向取余法”。
例2-2 把十进制数163转换成二进制数。
解：用竖式：

然后按从高位到低位顺序排列取其余数，便为这个十进制
数所对应的二进制数。即(1 63)
10
＝(10100011)
2

二进制数，也可以用英文字母Ｂ来表示，例如(10100011)
2
＝10100011B

我们可以将这个二进制数转换成十进制来验算。
(10 100011)
2
＝1×2
7
＋1×2
5
＋1×2
1
＋1×2
0
＝(163)
10

例2-3 将十进制1023转换成二进制数。
解：

∴ (1023)
10
＝(1111111111)
2

这个例 子说明，用十位数二进制，就能表示最大值可到
1023的十进制数，也即能表示０～1023共102 4个十进制
数。这就解答了前面提到的为什么计算机用二进制作为数的
最基本单位比用十进制作 为数的最基本单位要更加节省元
件的问题。
四、八进制
１．八进制的计数

在计算机中，所有的信息都是以二进制的方式来加以储存< br>和运算的。但是，二进制数位数太多，冗长难记，所以人们
常常将它写成八进制和十六进制的方式 。
在八进制计数中，为了表示八进制的某位数，需要８个数
字０，1，2，3，4， 5，6，7。因此，八进制的基数为８，
它的计数特点是“逢八进一”。

２．八进制数转换成十进制数
将八进制数转换成十进制数，与二进制数转换成十制进制
数类似，可以用横式展开式（位权表示法）来完成。
例2-4 将八进制数653转换成十进制数。
解：(653)
8
＝6×8
2
＋5×8
1
＋3×8
0


＝384＋40＋3
＝427
∴ (653)
8
＝(427)
10


３．十进制数转换成八进制数

将十进制数转换成八进制数，与十进制数转换成二制进制
数类似，可以用“除８反向取余法”来完成。
例2-5 把十进制数427转换成八进制数。
解：用竖式：

然后按从高位到低位顺序排列取其余数，便为这个十进制
数所对应的八进制数。也即( 427)
10
＝(653)
8

八进制数，也可以用英文字母Ｑ来表示，例如(653)
8
＝
653Q

五、十六进制
１．十六进制的计数
十六进制，顾名思义 是逢十六进一，它在计算机上的作用，
是用来缩短冗长的二进制数，以便于阅读和使用。在计算机
中，十六进制常用来缩写二进制地址。十六进制的数除０～
９以外，还用Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ等６ 个字母来对应表

示十进制的10、11、12、13、14、15这六个数字。因此，< br>十六进制的基数为16，它的计数特点是“逢十六进一”。
表2-2列出了十进制、十六进制、八进制和二进制的计数。
十进制
数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
十六进
制数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
八进制
数
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
二进制
数
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010

11
12
13
14
15
16

B
C
D
E
F
10
13
14
15
16
17
20
1011
1100
1101
1110
1111
10000
２．十六进制数转换成十进制数
将 十六进制数转换成十进制数，与二进制数转换成十制进
制数类似，可以用横式展开式（位权表示法）来完 成。
例2-6 将十六进制数47A转换成十进制数。
解：(47A)
16
＝4×16
2
＋7×16
1
＋10×16
0< br>

＝1024＋112＋10
＝1146
∴ (47A)
16
＝(1146)
10

３．十进制数转换成十六进制数

将十进制数转换成十六进制数，与十进制数转 换成二制进
制数类似，可以用“除16反向取余法”来完成。
例2-7 把十进制数1146转换成十六进制数。
解：用竖式：

然后按从高位到低位顺序排列取其余数，便为这个十进制
数所对应的十六进制数。也即(1146)10
＝(47A)
16

十六进制数，也可以用英文字母H来表示，例如(1146)
10
＝47AH。

六、 二进制、八进制、十六进制之间的关系
1.二进制与八进制之间的转换
由于8=2×2×2，即8=2
3
。可知一位八进制数相当于３位
二进制数。
(1)二进制数转换成八进制数

将一个二进制数转换成八进 制数，只要把二进制数从右往
左每三位计算出对应的一位八进制数（不足三位的，前面添
加“０ ”补足三位）。
例2-8 将二进制数转换成八进数。
解：二进制数： 011 011 010 101
↓ ↓ ↓ ↓
八进制数： ３ ３ ２ ５
∴（）
2
＝(3325)
8

(2)八进制数转换成二进制数
将一个八进制数转换成二进制数，只要把每位八进制数用
对应的三位二制数来代替。
例2-9 将八进制数3675转换成二进制数。
解： 八进制数： ３ ６ ７ ５
↓ ↓ ↓ ↓
二进制数： 011 110 111 101
∴(3675)
8
＝()
2

在将八进制数转换成二进制数时，最后得到的二进制数最
高位的“０”往往都可以去掉。

２．二进制与十六进制之间的转换
由于16=2×2×2×2，即16=2
4
。因此，一位十六进制数相
当于４位二进制数。
(1)二进制数转换成十六进制数
将一个二进制数转换成十六进制数的方法是：只要把二进< br>制数从右往左每四位为一组计算出对应的一位十六进制数
（不足四位的，前面添加“０”补足四位 ）。
例2-10 将二进制数1转换成十六进制数。
解： 二进制数： 0100 1100 1111
↓ ↓ ↓
十六进制数：４ Ｃ Ｆ
∴(1)
2
＝(4CF)
16

(2)十六进制数转换成二进制数

将一位十六进制数转换成二进制数，只要把每位十六进制
数用对应的四位二制数来代替。
例2-11 将十六进数3B4C转换成二进制数。
解：十六进制数： ３ Ｂ ４ Ｃ
↓ ↓ ↓ ↓
二进制数： 0011 1011 0100 1100
∴(3B4C)
16
＝(111)
2

在将十六进制数转换成二进制数时，最后得到的二进制数
最高位的“０”往往都可以去掉。
需要说明的是，表示一个数，如果是十进制数，则不必特
别注明果是二、八、十六进制数，则要用下标或 字母来说明。