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个性化教案
抽样方法
适用学科
适用区域
知识点
数学
新课标
简单随机抽样及其优缺点
抽签法和随机数法
系统抽样及其优缺点
系统抽样的方法及适用对象
分层抽样及其优缺点
分层抽样的方法及适用对象
适用年级
高3
课时时长（分钟）
60
教学目标
1．理解随机抽样的必要性和重要性．
2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方
法．
教学重点
教学难点
构造抽样模型、识别模型、选择适当的抽样方法抽取样本
构造抽样模型、识别模型、选择适当的抽样方法抽取样本


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教学过程
一、复习预习
我们生活在一个数字化的时代，时刻都在与数据打交道，比如产品的 合格率，电视台
的收视率 等，你知道这些数据是怎么来的吗？实际上它们是通过调查获得的，怎样调查呢？
是对考察对象进行全面 的调查吗？很明显，这个既不可能，也没有必要，实践中，由于所考
察的总体中的个体往往很多，而且许 多考察带有破坏性，因此，我们通常只考察总体中的一
个样本，通过样本来了解总体。那么，怎样从总体 中提取样本？这正是本节课所要解决的问
题。


2 29

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二、知识讲解
考点1 简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，
如果每次 抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽
样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．

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考点2 系统抽样(等距抽样或机械抽样)的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体进行编号．
NN
(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当
是整数时，取k＝
.
nn
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个样本编号l(l≤k)．
(4)按照 一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l+k，再加k
得到第3个个体编号l +2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

4 29

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考点易错点3 分层抽样
(1)定义：将总体按 其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占
比例随机抽取一定的样本．这种抽 样方法通常叫做分层抽样，有时也称为类型抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样.

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三、例题精析
【例题1】
【 题干】某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多
参加其中一组．在参 加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.
1
登山组的职 工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占
4
10%.为 了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加
活动的全体职工中抽取 一个容量为200的样本．试确定
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．












【 解析】(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、
x·40%＋ 3xbx·10%＋3xc
b、c，则有
＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10 %.故a＝100%－
4x4x
50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年 人各占比例分别为40%、50%、10%.
33
(2)游泳组中，抽取的青年人数为200 ××40%＝60(人)，抽取的中年人数为200××50%
44
3
＝75(人)； 抽取的老年人数为200×
×10%＝15(人)．
4

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【例题2】
【题干】为了考查某校的教 学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试
成绩．为了全面反映实际情况，采取以下三种 方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个班，
并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定 该校每班学生的人数相同)：①从高
三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生 ，考察他们的学习成绩；
②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分 成优秀、良好、
普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知该校高三学生共1000人， 若按成绩
分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据上面的叙述，试回 答
下列问题：
(1)上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取 的样本中，
样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？
(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.








【解析】(1)这三种抽取方式的总体都是指该 校高三全体学生本年度的考试成绩，个体
都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方 式的样本为所抽取的20名
学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的 20名学生本年
度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度 的考
试成绩，样本容量为100.
(2)三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法； 第二种采用的是系统抽样法和
简单随机抽样法；第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．
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(3)第一种方式抽样的 步骤：第一步，用抽签法在这20个班中任意抽取一个班；第二步，
从这个班中按学号用随机数表法或抽 签法抽取20名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：第一步，用简单随机抽样法从第 一个班中任意抽取一名学
生，记其学号为a，第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，加上 第一个班中
的一名学生，共计20人．
第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层．因为若按 成绩分，其中优秀生共150人，
良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全 体学生分成三个层次；第
二步，确定各个层次抽取的人数．因为样本容量与总体的个数之比为＝，所150600250
以在每个层次中抽取的个体数依次为，，，即15,60,25；第三步，按层 次分别抽
101010
取．在优秀生中用简单随机抽样法抽15人；在良好生中用简单随机抽法 抽取60人；在普通
生中用简单随机抽样法抽取25人．

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【例题3】
【题干】某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实
施．




















【解析】(1)将每个人随机编一个号由0001至1003.
(2)利用随机数法找到3个号，将这3名工人剔除．
(3)将剩余的1 000名工人重新随机编号0001至1000.
1 000
(4)分段，取间隔k＝
＝100，将总体均分为10段，每段含100名工人．
10
(5)从第一段即为0001至0100号中随机抽取一个号L.
(6)按编号 将L,100＋L,200＋L，…，900＋L共10个号码选出，这10个号码所对应工人
组成样本 ．

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【例题4】
【题干】某班共有60名学生，领到10张电影票．现在用抽签法和随机数表法把 10张
电影票分下去，试写出过程．







【解析】(1)抽签法．
第一步，先将60名学生编号．编号为01,02,03，…，60.
第二步，准备抽签工具 ．把号码写在形状、大小相同的号签上，将这些号签放在同一个
不透明箱子里．
第三步，实施 抽签．抽签前先将放在箱子里的号签搅拌均匀，抽签时每次从中抽出一号
签，连续抽10次，根据抽到的 10个号码对应10名学生，10张电影票就分给10名被抽到
的学生．
(2)随机数表法．
第一步，先将60名学生编号，分别为00,01,02,03，…，59.
第二步，由于总 体的编号为两位数，在随机数表中选取两列组成两位数．从随机数表中
的任意一个位置，按一定顺序开始 读数．如果读到的数小于59，则将它取出；若读到的数
大于59，则舍去；重复的数字只取一个，直到 取满10个不超过59的数为止．将10张电影
票分给抽到10名相应编号的学生．
比如，从 随机数表第6行的第3列和第4列开始读数，从上至下分别是
35,11,48,77,79,64,5 8,89,31,55,00, 93,80, 46, 66, 12,11,10，….其中11重复出现，
77,79,64,89,93,80,66超过59不能取，这样选取的10个样本号码分别为
35,11,48,58,31,55,00,46,12,10.由此，可把10张电影票分给编号为上述号 码的10名学生．

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四、课堂运用
【基础】
1．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况， 从参加考试的学生中随机地
抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中下列说法正确 的是( )
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．个体指的是1 000名学生中的每一名学生
C．样本容量指的是1 000名学生
D．样本是指1 000名学生的数学升学考试成绩





















[答案] D
[解析] 因为是了解学生的数学成绩的情况，因此样本是指1 000名学生的数学成绩，
而不是学生，故选D.

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2．(教 材改编题)在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，则分
层抽样、简单随机抽样、 系统抽样中，为不放回抽样的有( )
A．1个
C．3个



























[答案] C
[解析] 三种抽样都是不放回抽样．


B．2个
D．0个
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3．某校高三年级有男生500 人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生
中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人 进行调查．这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样法
C．随机数表法
























[答案] D
[解析] 本小题主要考查抽样方 法．若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层
抽样的方法进行抽样，故选D.

B．抽签法
D．分层抽样法
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4．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从 中
抽取容量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．






























[答案]
1

6
201
[解析] 每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即
＝
.
1206

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【巩固】
5 ．(1)某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家
庭120 户，为了了解有关家用轿车购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本；
(2)从10名 同学中抽取3名参加座谈会．
Ⅰ.简单随机抽样方法；Ⅱ.分层抽样方法．
问题和方法配对正确的是( )
A．(1)Ⅰ(2)Ⅱ
C．(1)Ⅰ(2)Ⅰ



















[答案] B
[解析] (1)中各类家庭差异明显，故应用分层抽样．
(2)中总体容量较小，可采用抽签法，故应用简单随机抽样．

B．(1)Ⅱ(2)Ⅰ
D．(1)Ⅱ(2)Ⅱ
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6．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人 ．按男女比例用分层抽样的
方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数 是________．



























[答案] 12
[解析] 本题考查了统计中的分层抽样方法．
282
∵
＝，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为98－56＝42，
987
2
∴应抽取女运动员人数为42×
＝12(人)．
7

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7．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n
的样本．如果 采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，
则在采用系统抽样时，需要 在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.





















[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36(人)．
36n
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的 间隔为，分层抽样的比例是，抽取工程
n36
nnnnnn
师人数为
×6＝< br>人，技术员人数为
×12＝
人，技工人数为
×18＝
人，所以n应是6 的
366363362
倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
3535
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是
n＋1n＋1
整数，所以n只能取6.即样本容量为n＝6.

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【拔高】
8．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：

女生
男生
初一年级
373
377
初二年级
x
370
初三年级
y
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．





x
[解析] (1)∵
＝0.19，∴x＝380.
2 000
(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
＝12名．
(3)设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生、男生数记为(y，z)
由(2)知y＋z＝500，且y、z∈N，
基本事件空间包含的基本事件有：(245,2 55)、(246,254)、(247,253)，…，(255,245)共11
个，
事 件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246) 、(255,245)共5
5
个，∴P(A)＝
.
11
48
×500
2 000

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课程小结
1．三种抽样方法的共同点是 等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，
体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样 本容量为n，总体的个体数为N，则用这三
n
种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是.
N
NN
2．系统抽样中为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k，当< br>是整数时，k＝；
nn
NN′
当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下 的个体数N′能被n整除，这时k＝
.
nn
3．三种抽样方法各有其特点和适用范围 ，在实际应用时，要灵活选取恰当的抽样方法，
然后按照它的操作步骤进行抽样．
4．抽样方 法在高考中不会出解答题，不会出难题，理解三种抽样方法的定义及操作步
骤，解决有关抽样的一些简单 问题即可．
5．三种抽样方法的比较：


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个性化教案
课后作业
【基础】
1．某校选修乒乓球 课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽
样的方法在这70名学生中抽取一个 样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二
年级的学生中应抽取的人数为( )
A．6
C．10





















[答案] B
h
[解析] 本题考查分层抽样．“每一层都按
的比例抽取”．
N
高一年级学生的抽取比例为

66
，则高二年级抽取的学生数为40×＝8人．
3030
B．8
D．12
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个性化教案
2．从2 007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用
简单随机抽样从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入
选的概率( )
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为

























[答案] C
[解析] 三种抽样方法的共同点是总体中每个个体被抽到的概率相等．

501
D．都相等，且为
2 00740
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个性化教案
3. 老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名， 女
同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被
抽到的概率为( )
1111
A.
B. C. D.

501054

























[答案]
[解析]
P＝
101
50
＝
5
.


C
在分层抽样中，任何个体被抽取的概率均相等，所以某女同学甲被抽到的概率

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个性化教案
4．采用系统抽样方法从960 人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，
960，分组后在第一组采用简单随机 抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区
间[1,450]的人做问卷A，编号落入区 间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到
的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9 C．10 D．15























[答案] C
[解析] 本小题考查了系统抽样方法．采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整
体分 成32组，每组30人，即l＝30，第k组的号码为(k－1)30＋9，令451≤(k－1)30＋9≤7 50，
而k∈Z，解得16≤k≤25，则满足16≤k≤25的整数k有10个．系统抽样的重点是等 距抽样．

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个性化教案
5．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干
人，若抽取的 男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．

























[答案] 6
[解析] 本题主要考查了分层抽样
男运动员的抽样比为
8
56
＝
1
7
.
故女运动员抽取42×
1
7
＝6人．


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个性化教案
【巩固】
6．某单位共有老、中、青年职 工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年
职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采 用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有
青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )
A．9 B．18 C．7 D．36




















[答案] B
[解析] 本小题主要考查分层抽样等基础知识．
由题意知青、中、老年职工的人数分别为160、180、90，
∴三者比为16:18:9，
∵样本中青年职工32人，
∴老年职工人数为18，故选B.

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个性化教案
7．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品．其相应产品 数量之比为2:3:5，现用分
层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型产品有16件，那么此 样本的容量n＝
________.

























[答案] 80
235
[解析] 设分别抽取B、C型号产品m
1
，m
2
件，则由分层抽样的特点可知＝＝，
16m
1
m
2< br>∴m
1
＝24，m
2
＝40，
∴n＝16＋m
1
＋m
2
＝80.

26 29

个性化教案
8. 某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3 000件，现要用分层抽
样的方法从中抽 取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，则甲类
产品共有_______ _．

























[答案] 200
[解析] 设抽取的150件中甲有a件，则有a＋aq＋aq
2
＋aq
3< br>＝150，aq＋aq·q
2
＝100，
①
①，∴a(1＋q
2
)＝50②，
，得q＝2，∴a＝10，
②
10
∴甲类产品共有3 000×
＝200(件)．
150

27 29

个性化教案 < br>9．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人
20人 ．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用
何种方法抽取，请 具体实施抽取．















[分析] (1)机构改革关系到各种人不同的利益；(2)不同层次的人员情况有明显差异，故
采用分层抽样．
[解析] 用分层抽样方法抽取．
具体实施抽取如下：
(1)∵＝，
107020
∴
＝2，＝14，＝4，
555
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． (2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号，1～20编号，然后采
用抽 签法分别抽取2人，4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机
数表法 抽取14人．
(3)将2人，4人，14人的编号对应的人汇合在一起就取得了容量为20的样本．

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个性化教案
【拔高】
10．某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2012年应届毕业生报名的18名志愿者
中 ，选取6人组成志愿小组，请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．
















[解析] (1)将18名志愿者编号，编号为1,2,3，…，18.
(2)将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签．
(3)将18个号签放入一个不透明的盒子，充分搅匀．
(4)从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号．
(5)所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．
随机数表法
(1)将18名志愿者编号，编号为01,02,03，…，18.
(2)在随机数表中任选 一数作为开始，按某一确定的方向读数，例如选出第8行第1列
的数7.
(3)从数7开始， 向右读，每次取两位，凡不在01～18中的数，或已读过的数，都跳过
去不作记录，依次可得18,0 6,15,03,09,01.
(4)找出以上号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
29 29