3分钟的家长会发言稿-公司董事长职责

§3.4 狄拉克场和费米子
1. 经典场。
狄拉克场的拉格朗日密度为：
L

(x)i



m

( x)




（1）
正则坐标为

(x)
，相应的正则动量为：

L




(x)i

(x)


（2）
由于
L
中不含有

的导数，所以

不是正则坐标。
狄拉克场的能量，动量，守恒荷

3
H


(x)

i



m


(x)dx


3
pi


(x)

(x)dx

Q


(x)

(x)dx

3












（3）
（4）
（5）


2.量子化
把

(x)
与

(x)i


(x)
看作算符，满足一定的对易关系。
与克莱因- 戈登场不同，克莱因-戈登场描述的是自旋为零的玻色子，而狄拉克场描述的
是自旋为
1
2
的费米子，遵从泡利不相容原理，即同一个量子态只允许有一个粒子。如果将

( x)
与

(x)
的对易关系取成与克莱因-戈登场相同的形式，即


则将有态
a
n


(x),
< br>(x')i

xx'






（6）
(k)0
存在，即n个具有相同能量与动 量的费米子处于同一量子态，这是不允
许的。因此狄拉克场的量子化不能按照（6）式进行，而应另想办 法。该办法就是将

(x)
与

(x)
取成如下对易关系




x,t

,

x',t







3< br>
xx'









x,t

,


x',t


0
，




x,t
,



x',t


0



（7）
与（6）式的差别仅在于将对易子

A ,B

ABBA
换成反对易子

A,B

A BBA
。这差
别是唯一的，也是基本的和十分重要的。由此引出的值次是大不相同的。由于（ 3）式的场

能量算符包含两个3费米算符的乘积，相当于一个玻色算符，故算符运动方程 保持不变，即：



i

H,


，


i

H,



（8）
将H的表达式（3）代入上式得：



x,t

id
3
x'


(x')

i

'

m


(x'),
(x)

t't




利用公式：

AB,C

ABCCABACBACB

A< br>
B,C



A,C

B

则上式可以写成：



x,t

idx'< br>


(x')

i

'

m





(x'),


(x)



3








(x'),


(x)


i

'

m




(x')

i

dx'

< br>
33
t't


xx'

i
'

m




(x')
t't





因此得：
i
t


x,t



i



m



x,t



亦即：

i




m< br>
0


（9）
这就是人们熟知的狄拉克方程，它现在是算符运动方程。
3.一般解
由第一章的讨论我们知道，狄拉克方程（9）有正能解与负能解
e
iPX
，
PXEtpx
，
E


22
p m
（10）
其一般解由其叠加而成，即

m
iPX ipx

(x)c

p,s

u

p ,s

ed

p,s



p,s
e



VE
p,s



m

iPXipx

(x)

c

p,s

u

p,s

ed

p,s



p,s

e


VE
ps


（11）

式中，
u

p,s

是能量为E，动量为
p
，自旋为s的旋量波函 数，


p,s

是能量为-E，动量
为-
p，自旋为s的波函数。
c

p,s

，
c
< br>


p,s

，
d

p,s
，
d


p,s

是展开系数，是算符。
利用
u

p,s

，


p,s

的正交归一化关系
u


p,s

u

p,s'


E
m

ss'




p,s



p,s'


E
m

ss'


< br>




p,s

u
p,s'

u

p,s



p ,s'

0
（12）
以及平面波的正交归一化关系：
1
V

e
V

i

pp'

x


dx

p,p'
3
由（11）式可以推出

m
ipx3

cp,seu

p,s


x

dx


VE



m
ipx3

e

xup,sdx
< br>c

p,s



VE



m

ipx3

d

p,s

e

x

p,sdx


VE

m

ipx3

dp,se

< br>p,s



x

dx


VE

（13）
例如，将

(x)
的展开式（11）代入（13）式第一式得：
m
VE
m
VE'

dxe
3ipx
u

p,s




p',s'

c< br>
p',s'

u

p',s'

e
iP'X

d

p',s'



p',s'

e
ip'x




p ,p'


m
EE'


p',s'
< br>c

p',s'

u

p,s

u

p',s'



d
m

 


p',s'

u


p,s



p',s'

e
i2

t

p,p





cp,s'up,sup,s'dp,s'up,s

p,s'

e< br>
E

s'
i2

t




c

p,s'


s'
ss'c

p,s


4．动量、自旋函数算符
由此可见 ，量子化的狄拉克场，既可以用时空函数算符

(x)
，

(x)< br>描述，亦可用动
量，自旋函数算符
c

p,s

，< br>c



p,s

，
d

p,s

及
d


p,s

描述。它们之 间由（11）与（13）

式相联系。时空函数算符

(x)
，
(x)
满足对易关系（7）式，由该对易关系，我们可以
得到动量函数算符c

p,s

，
c


p,s

，
d

p,s

，
d

< br>p,s

满足如下对易关系：




c

p,s

,c

p',s'



p,p'

ss'



 


d

p,s

,d

p' ,s'



p,p'

ss'



（14）
其余算符都反对易。
例如由（13）式得：


m
c

p,s

,c
p',s'




VE


e
ipx
u


p,s



x,t

d
3
x,




m
VE'

e
ip'x'



x',t

u

p',s'

d
3
x'




p,s


u

p',s '






x,t

,


x',t





m
VEE'
m
V

dxdx'e
33
33i

pxp'x'

u



EE'

dxdx'e

m
VEE'
i

pxp'x'

u


p,s


u

p',s'





3

xx'





dxe
u

3i< br>
pp'

x
u

p,s

u< br>
p',s'



m
EE'



p,s

u

p,s'


p ,p'




p,p'ss'


m
又：

c

p,s

,d

p' ,s'




VE

e
m
i px
u


p,s



x,t

d
3
x,





VE'< br>
e
ip'x'



x',t



p',s'

d
3
x'



m
VEE'
m
V

dxdx'e
33
3 3i

pxp'x'




u
< br>
p,s




p',s'




x,t

,



x',t




EE'

dxdx'e
m
V

i

pxp'x'

u
< br>
p,s




p',s'




3

xx'



EE'

dxe
3i

pp'

x
u< br>

p,s



p',s'


m
E

m
EE'
u


p,s



p,s'


p,p'
u

p,s



p,s'


=0

将（11）式代入狄拉克场的能量，动量，守恒荷表达式（3），（4） ，（5）表达式得：


Ec

p,s

c< br>
p,s

d

p,s

d
< br>p,s

1

H


p,s






ppc

p,s

c

p,s

d

p,s

d

p,s





p,s



Qc

p,s

c

p ,s

d

p,s

d

p,s




p,s



（15）

例如：

3
H


(x)

i



m


(x)dx



dx


p,s
3m
VE


c

p,s

u

p,s

e
ipx
d

p,s




p,s

e
ipx


ip'x

i



m


d

m
VE'

p's'

c
p',s'

u

p',s'

e


p',s'



p',s'

eip'x


ipx


dx

3

p,sp',s'

V
mE'
E

c

p,s

u

p,s

e
< br>ip'x
d

p,s




p,s

e
ipx



c

p',s'

u

p',s'

e

d


p',s'



p',s'
e
ip'x


ipp'

X

dx


ps
3

V

p',s'

mE'
E

c

p,s

c

p',s'

u

p,s

u

p',s'

e



c

p,s< br>
d


p',s'

u

p,s



p',s'

e
i

pp'

X



d

p, s

c

p',s'


d

p,s

d


p,s

u

p ,'s'

e
i

pp'

X

p',s'




p,s

< br>
p',s'

e
i

pp'

X




p,p'


c< br>
m
E'
E

p,sp',s'

c
p,s

c

p',s'

u
< br>p,s

u

p',s'






p,s

d


p', s'

u


p,s



p' ,s'

e
i2Et

p,p'



p,s

u

p',s'

e
i2E t

p,p'
d

p,s

c
p',s'


d

p,s

d






p',s'




p,s



p',s'


p,p'

E



mcp,scp,s 'up,sup,s'

ss'




m
p,s,s'


c


p,s

d


p,s'

u



p,s



p,s'

e
i2Et

d

p,s

c

p,s'


d

p,s

d


p,s

u

p,s'

e
i2Et


p,s'




p,s



p,s'







E
c

p,s

c

p,s

d

p,s

d

p,s




ps

ps

E

c

p,s

c

p,s

d

p ,s

d

p,s

1




将算符

i



m

换成动量算符
i
，亦即在上述计算中，将E换成
p
，其结果就是场的动量算符表达式。
在上面的计算中，去掉算符
i

< br>
m
，即在最后结果中去掉E，并将第二项的“-”
号变成“+”，就可以得到 守恒荷的动量算符表达式。（注意

1
是对所有正，反粒子的电荷

p,s

求和，应为零）
5.粒子性
在场的能量，动量，守恒荷的表达式 中，描述场的基本算符
c

p,s

，
c


p,s

，
d

p,s

，
d


p,s

以组合
N

p,s
c


p,s

c

p,s


N

p,s

d

p,s

d

p,s

（16）
的形式出现，根据对易关系（14）可以证明

N,c

c
,

N,c

c


N,dd,

N,d

d


22NN,NN





（17）
例如：

N,c

c

cccccc1 ccc







N,c

c

cccc

c
N
2
c1cc


c

ccccc1cccccN



在N和
N
的对角表象中，令
Nnnn
，
Nnnn

则
N
2
nN n
，故
n
2
n
n
=0，1

N
2
nNn
，故
n
2
n
n
=0，1
即N或
N
的本征值只有两个，一个为0，另一个为1.
又
Nc

nccNn

n1

cn



Ncn

ccN

n

n1

cn

同理：
Nd

n< br>
n1

d

n

Ndn

n1

dn

由此可见，
c

p,s

，
c


p,s
< br>，
N

p,s

是粒子的消灭算符，产生算符及粒子数算符。 而
d

p,s

，
d


p,s

，
N

p,s

是反粒子的消灭算符，产生算符 与粒子数算符等。正，反粒子
的差别仅在于它们的守恒荷差了一个符号。
§3.5 库仑规范的电磁场和光子
用电磁势
A

描述的电磁场，要在一定的规范条件 下才会有意义，但规范条件却带来了
量子化的困难，因此，电磁场的量子化是比较困难的。这里，我们先 讨论库仑规范条件下电
磁场的量子化。
1.经典场。
电磁场的拉格朗日密度为 < br>L

1
4



A

 

A


AA






（1）
在库仑规范条件

A0
，
A0

0
（2）
的条件下，该拉格朗日密度可以写成（§2.3，14’式）
L
1
2< br>
i
A
j
A
ij
1

iA
i
A

2
（3）
由此可见，
A
i
可以看成是正则坐标，而正则动量为：

i


L

A

i

A
i
i

A
（4）
则场的能量，动量为：
H



A
L
dx
i
i

3
1

i

3


i

i
1
ij
AAAAA< br>i
A

dx


ij


22



1

i

i
< br>3


i

i
1
j
AAAA AA

dx
亦即


i


2 2

H
1
2



A
i

i
A
i
A
i
d
3
x

A









（5）
（6）

i3

i
A
id
3
x

p


i
Adx 

A
2.量子化

i

x',t

看作算符，满足正则对易关系。 将正则 坐标
A
i

x,t

和正则动量
A
< br>


A

x,t

,A
ij
x',t


i

ij

3
xx'





x


A,t

,A
ij



A

x,t

,A
ij

x',t

< br>0



x',t


0


（7）
就完成了量子化手续。这是前面几节行之有效的方法。可是在这里却行 不通，因为对上面第
一式求导可得：

i

3


j

x
i
A

x,t

, A',t

i

ij

i


xx'



亦即：



i

j

x

Ax,t,A',t

i
i

i

3

xx'



i
由于库仑规范条件

i
A0
，故上式 成为：
0i
j

3

xx'

 0


（8）
这显然是错误的。

i< br>（i=1，2，3）中，因规之所以出现这样的问题，是由于三对正则坐标
A
i
，正则动量
A
i
范条件

i
A0
的限制，只有两 对是独立的。上述的量子化方法，对独立的正则坐标和正
则动量是正确的，对非独立的正则坐标的正则动 量就需要修改。为此我们将它们用两对独立
的正则变量作展开。
i

A
x,t




k,

q
k,

(t)


k,


i
e


ikx
V
i



ik x


i

x,t




i

xA,t




k,
< br>p
k,

(t)


k,

e
V
（9）



i
满足库仑其中


k,


，

=1，2是§1.5节 引入的横极化矢量，
k


k,


0
，显然
A
i
A
规范条件

A


k,

ikx


e
q
k,

(t)ik


k,


0
V





A

k,

ikx


e
p
k,
< br>(t)ik


k,


0

V



（10）

i
相应， 就是两对独立的正则算符，满足对易所以
q
k,

(t)
，
p
k,

(t)
（

=1，2）与
A
i
，
A
关系
q
k,

(t),p
k',

'
(t)

i

k

k

'

< br>'


q
k,

(t),q
k',

'
(t)

0


p
k,

(t),p
k',

'
(t)

0
（11）

i
满足对易关系 由（9）与（11）两式可以导出正则变量
A
i
，
A

i
ij


jij


x',t

i


A

x,t

,A
2



i

3





xx'





A

x,t

, A
j

i

x,t

,A

j< br>
x',t


0


x',t


0
，

A

（12）
例如：



j

xA

x ,t

,A',t

i

ikx

e< br>i



q
k,

(t)


k,


,

p
k',

'
(t)


V
k

',

'

k,



j

k',

'

e


ik'x'



V



e



ikxk'x'


k,

k',

'
V


k,



i



ikxk'x'
j

k',
< br>'


q
k,

(t),p
k',

'
(t)


j
(11)式i

< br>k,

k',

'

e

Ve


ik

xx'


< br>k,



i

k',

'


k

,k

'


'< br>
i


k,

V


k,



ij

k',

'


ij
1.5节,P30，(24)式i


k,







ij

ik



xx'

kk

e


2

V
k


ij

i

j
i





2



d
3
k
ik



xx'


e

3



2



i




x
i







ij

i

j
i





2


3





xx'



这里，在倒数第二行，用到了


k


2


Vdk
3
3
或
1
V


k



2


d k
3
3
（14）

其中
Vd
3
k
是相空间的大小，
h
3


2


3

3


2


3
是相格的体积，
Vd
3
k

2


3
就是相格
数，对相格的求和，在连续情 况下就成为对相空间的积分。
容易证明，（12）式所表示的对易关系，满足库仑规范的条件，因为：
ij



jij


x',t
i



i
A

x,t
,A
i

2



i
< br>
3





xx'



3





x x'

=0


左边

i
A

x,t

0
0
i

j

2< br>
j
右边=
i




2

故对易关系（12）与库仑规范条件不矛盾。
象通常一样，正则坐标与正则动量满足正则运动方程。

i
iH,A
i

A


i
iH,A

i

A

（15）
将H的（5）式表达式代入上式得：
 

1

i

x

i

xA,t

iH,A,t

i


2




A
j



j'A
j
'A
j
d
3
x',A

i

xA,t





(12)式i

dx''A
3j
3j

x',t

 '

A
j

x',t

,A
i

x,t




3


< br>

xx'





ij

i

j

i

dx''A

x',t

'i





2


ij

i

j

< br>



2


ij

i

j






2



3j

3



dx' 'Ax',t'i

xx'





AA
j
0A

jjj 2i

2j


A库仑规范条件

亦即： 

2
2

i


A

t
2


x,t

0


或：



A0


（16）
这就是算符的波动方程。即为库仑规范下的势满足的方程。
3.一般解

（16）式是关于
A
的线性齐次方程，其解为如§1.5（31）式所示的平面波解


A
k,

(x)
1
2V



k,


e


ikx
（

=1，2，3）
由其叠加，可得（16）式的一般解为：


A(x)


k,

1
2V
< br>

k,



a

k,


e

ikx
a


k,


e
ikx

（17）

其中极化矢 量


k,


满足如§1.5节（20）（23）（24 ）式正交归一关系。


k,





k,

'




'


k


k,


0

2
ij



ij
1,2


kk


2

k
ij



k,




k,


< br>

1
（18）
平面波因子
f
k(x)
1
2V

e
ikx
（19）
满足如§3.2节（12）式所示的正交关系

3
f(x)if(x) dx

k

,k

'

ktk'

V
（20）
由此不难推得：
a< br>
k,









3
f(x)i
t


k,


A(x)dx


k

3
a
k,






k,


A(x)i
t
f
k
(x)dx
（21）
4.动量，极化函数算符



如前所述，量子化的电磁场可以用 时空函数算符
A(x)
，
A(x)
描述，亦可用动量，极化

函数算符
a

k,


，
a

k,


表示。它们之间通过（17）与（21）式相联系，时空函数算符
A (x)
，




A(x)
满足对易关系（12） 式，由它们可导出动量，极化函数算符
a

k,


，a

k,


满足对
易关系

a< br>
k,


,a


k',
'




k

,k

'< br>

'


a

k,


,a

k',

'


0


a
例如：


k,


,a


k',

'


0


k
（22）

a

k,
< br>
,a


k',

'





jj

ii3
f(x)i
t


k,


A(x)dx,


3


k',

'

A(x')i
t
f
k'
(x')dx'




dx dx'


k,



33ij

i
(x)

k',

'


f
k

(x)A


(x)A
i
(x),

f
k
j

j
(x')f(x')

A(x ')f

k'
(x')A
k'



dxdx'


k,



33i j

i

x,t

,A
j

x' ,t




k',

'

< br>f
k

(x)f

k'
(x')

A


i


j

xf

k
(x)f
k'
(x')A

x,t

, A',t






d
3
x dx'


k,



3ij

k',

'


f
k

(x)f

k'
(x')

3





xx'





(x)f(x')

f
kk'
< br>
ij

i

j
i





2

3ij

ij

i
j


dx'


k,




k',

'

i




2



3ij


dx


k,




k',< br>
'







< br>(x')f


(x)f(x')

f(x)f
k k'kk'



xx'

ij

i j

kk




2

f
k
(x)i
t
f
k'
(x)

k
< br>


由于

k

k0
，故 上式
ii




k,




k',

'


dxf(x)i
t< br>f
k'
(x)

ij3
k
又

i

k,



i

k',
'




k,



< br>
k',

'

，故


a< br>
k,


,a
将（17）式代入（5）式得：
H 
1


k',

'



k

,k

'


'


A
2


i
A

i
 A

i
A

i
d
3
x
< br>



k,



i

k,


ikx

dx

' kk'ak,

e




2
2V
k',

'
1
3


a


k,


e
ikx



k',

'

i
2V

'
3
a

k',

'

e
ik'x< br>a


k',

'

e
ik'x




4V

k,

k' ,

'
1

dx



< br>'kk'


'



k,






k',

'



a

k,


a
< br>k',

'

e
a

i
kk'

X
a

k,


aa


k',

'

e
i

kk'

X


k,


a

k',

'

e
i

kk '

X


k,


a


k',

'

e
i

kk'

X







' kk'


k,

k',

'

'
i2

t



k,





k',

'




a

k,


a

k',

'

ea


k,


a


k',

'

e
i2< br>
t


k

,k

'



a


k,

a

k',

'

a

k,


a


k',

'

< br>
k

,k

'


对于光子：

k

，故上式


< br>




k,






k,

'


a


k,


a

k,

'
a

k,


a


k,

'



k,

2

'




2



'
a

k,


a

k,

'

a

k,


a



k,

'



k,

< br>'




2

a

k,


a

k,


a

k,


a



k,

< br>

k,

H



a



k,


a

k,



1


k,


2



又

p

A

i
A
i
d
3
x



d
3
x






k'

i

k,


a

k,


e
iKX
a

k,


e
iKX


k,

k',

'
2V


i

k',

'

2V

'

a
k',

'

e
iK'X
a


k',

'

e
iK'X


3



1k'

2V

d x




'


k,

k',

'

'


k,





k',


a

k,< br>

a

k',

'

e
i

kk'

X
a


k,


a


k',

'

e< br>i

kk'

X

a

k,< br>

a


k',

'

e
i

kk'

X
a


k,


a

k',

'

e< br>i

kk'

X



< br>

k'

i2

t

< br>k,

k',

'
2

'

k,





k',

'


a

k,


a

k',

'

e


k,k'
a


k,


a


k',
'

e
i2

t


k ,k'
a

k,


a


k',

'



k,k'

a

k,


a

k',

'



k,k'




 
k


2



,k,












,k,

'a

,k,

a

,k,

'

e
i2

t


k,


'

a


,k,


a



,k,

'

e
i2

t
< br>
亦即
23）

（


< br>
k,


k

2


k ,





k,

'


a

k,


a



k,

'

a


k,


a

k,

'





'
上式中第一中括号部分，若



'，

,k,



,k,

' 0
，如图所示。







k,3




,k,1


,k,2







O


k,1





k,2






,k,3





 
当



'
时，由于求和
k
包括
k
与

k
项，而第一中括号中的项对于
k
与< br>k
相等，故求和为零。这样

p


k,< br>

k

2


k,





k,

'


a

k,


a




k,< br>
'

a


k,


a

k,

'




'
由于


k,





k,

'




'

故

p

k

2

a

k,< br>

a

k,


a

k,


a

k,






k,

亦即：
5.光子

p


k,



ka

k,

a

k,


（24）
描述量子化电磁场的动量、极化函数算符
a

k,

，
a


k,


满足对易关系（ 22），并且
以
N

k,


a

k,


a

k,


的 形式出现在哈米顿与动量算符H，
p
中，所以，与克莱因-


戈登 场的情况相似，我们称
a

k,


，
a

k,


，
N

k,

为光子的消灭算符，产生算符，光


子数算符。光子的能量为

k
，动量为
k
，极化为

1,2
，即光子只有横向极 化。