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费米能级的设计和金属的接触势差


摘 要：严格来讲，费米 能级等于费米子系统在趋于绝对零度时的化学势，对于金属，电
子的最高占据能级就是费米能级，费米能 级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据
的几率是12。金属接触电势差完全由两金属的脱出功 决定, 不存在由脱出功以外的电子密
度不同这一因素而造成的所谓内接触电势差。

关键词：费米能级，金属接触势差
在固体物理学中，费米能量(Fermi energy) 是表示在无相互作用的费米粒子的体系中加入
一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对 零度时，处于基态的费米粒子体
系的化学势，或者是处于基态的单个费米粒子所具有的最大能量——费米 粒子所占据的最高
能级的能量。

另一方面，按照Fermi- Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上的平均电子数为：

式中的T为绝对温度，k为玻尔兹曼常数，E
F
是该Fermi-Dirac分布函数的一个参 量
（称为化学势）。在绝对零度下，所有能量小于E
F
的量子态都被电子占据，而所有 能量大
于E
F
的量子态都是空着的，则作为化学势的参量E
F
就是电 子所占据的最高量子态的能量，
因此这时系统的化学势也就与费米能量一致。从而，往往就形象地把费米 能量和化学势统称
之为费米能级。虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的费米粒子系统在趋于绝对零 度时
的化学势，但是在半导体物理电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来
使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。
在非绝对零度时，电子可以占据高于E
F的若干能级，则这时Fermi能级将是占据几率
等于50%的能级。处于Fermi能级附近的电 子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重
要的作用。
费米能级的含义：
作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF，具有决定整个系统能量< br>以及载流子分布的重要作用。
①在半导体中，由于Fermi能级（化学势）不是真正的能级， 即不一定是允许的单电
子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可 以处于能
带的任何位置，当然也可以处于禁带之中。
对于金属，其中的自由电子在k空间中将 填充成一个球体，称为Fermi球；Fermi能量
也就是Fermi球面对应的能量，该能量可以采 用Fermi球的半径——Fermi半径k
F
来表示为

式中的
h
是Dirac常数，m是自由电子的质量。因此，金属中的Fermi能级也就是h
k
F
称为Fermi动量，v
F
=
h
kF
m称为Fermi速度。导带中自由电子填充的最高能级。p
F
=
一般 ，金属的Fermi能量约为1.5～15eV。
对于绝缘体和半导体，Fermi能级则处于禁带中 间。特别是本征半导体和绝缘体，因为
它们的的价带是填满了价电子（占据几率为100%）、导带是完 全空着的（占据几率为0%），
则它们的Fermi能级正好位于禁带中央（占据几率为50%）。即使 温度升高时，本征激发而
产生出了电子-空穴对，但由于导带中增加的电子数等于价带中减少的电子数， 则禁带中央
的能级仍然是占据几率为50%，所以本征半导体的Fermi能级的位置不随温度而变化， 始终
位于禁带中央。
②Fermi能级实际上起到了衡量能级被电子占据的几率大小的一个标 准的作用。在EF
时，f(E) >12；在E>E
F
时，f(E) <12；在E=E
F
时，f(E)=12。譬如，当(E–E
F
) >5kT时，
f(E) < 0.07，即比E
F
高5kT的能级被电子占据的几率只 有0.7%。因此，E
F
的高低（位置）
就反映了能带中的某个能级是否被电子所占据 的情况。Fermi能级上电子占据的几率刚好为
50%。
在温度不很高时，E
F< br>以上的能级基本上是空着的（例如，导带就是如此，其中的自由
电子很少），E
F
以下的能级基本上是被电子填满了的（例如，价带就填满了价电子，其中的
自由空穴很少）；在EF
以上、并越靠近E
F
（即E-E
F
越小）的能级，被电子所占 据的几率就
越大。对于n型半导体，因为导带中有较多的电子（多数载流子），则Fermi能级EF
必将
靠近导带底（E
C
）；同时，掺入施主杂质的浓度越高，Ferm i能级就越靠近导带底。
③上述分布函数f(E)是指电子占据能带（导带）中某个能级的几率（电子 的能量越往
上越高）。如果是讨论空穴载流子的话（空穴的能量越往下越高），那么就应当是相应于价< br>带中某个能级所空出（即没有被电子占据）的几率，所以空穴占据能带（价带）中某个能级
的几率 可以给出为

对于p型半导体，因为价带中有较多的自由空穴（多数载流子），则Ferm i能级E
F
在价带顶（E
V
）之上、并必将靠近E
V
；这时 ，价带中越是靠近E
F
的的能级，就被空穴占据的
几率越大；同时，掺入受主的杂质浓 度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。
总之，凡是E
F
靠近导带底的半导体必将 是电子导电为主的n型半导体，凡是E
F
靠近价
带顶的半导体必将是空穴导电为主的p 型半导体。当然，如果E
F
处于禁带中央，即两种载
流子分别占据导带能级和价带能级 的几率相等，则两种载流子的数量也就差不多相等，那么

这就必然是本征半导体，这时的 Fermi能级特称为本征Fermi能级（用E
Fi
表示，与禁带中
央线E
i
一致）。
④由于Fermi-Dirac分布函数是载流子体系处于热平衡状态下的一种统 计分布规律。
因此，也只有在（热）平衡情况下才可采用此分布函数，并且也只有在这时Fermi能级 才有
意义。实际上，Fermi能级本来就是热平衡电子系统的一个热力学函数——化学势。由于在热平衡状态下整个系统具有统一的化学势，因此整个电子系统、即使是复杂的混合体系，在
热平衡时 也必将具有统一的一条Fermi能级。
Fermi能级与温度和掺杂的关系：
①Si和GaAs半导体的Fermi能级与掺杂浓度的关系见图1 。
对于n型半导体，因 为掺入的施主越多，导带电子的浓度就越大，相应地少数载流子
——空穴的浓度就越小，则Fermi能 级也就越靠近导带底。对于p型半导体亦然，掺杂浓度
越高，Fermi能级就越靠近价带顶。当掺杂浓 度高到一定程度时，甚至Fermi能级还有可能
进入到导带或者价带内部。
②Si和GaAs半导体的Fermi能级与温度的关系亦见图2 。
因为当温度升高到一定 程度时，不管是n型半导体还是p型半导体，它们都将转变成
为（高温）本征半导体。从而，半导体中F ermi能级也将是随着温度的升高而逐渐趋近于禁
带中央。即随着温度的升高，n型半导体的E
F
将降低，p型半导体的E
F
将上升。
此外，在图1和图2中也示出了半 导体的禁带宽度（E
g
=E
C
－E
V
）随着温度的变化状况 。
和GaAs等半导体的禁带宽度具有负的温度系数Si
。

金属的接触势差

金属接触电势差完全由两金属的脱出功决定, 不存在由脱出功以外的电子密度不同这
一因素而造成的所谓内接触电势差。
由两种不同金属M1 和M2构成的非闭合回路如下图，在真空中靠近两金属表面处的点a和点
b间存在着因两金属的脱出功不同而产生的外接触电势差U
12
’
U
12
′ =
（W
2
−W
1
）
e
1

其中e为电子电荷的绝对值, W
2
、W
1
分别为M1 和M2的脱出功, 此外, 在两金属相接触处
的点c和点d间, 存在着因两金属单位体积中的自由电子数不同而产生的另一种接触 电势差
一一内接触电势差U
12
’’ , 把金属中的自由电子当作经典理想与体近似处理, 得到

KTn1
U
12
’’=ln

en2
其中n1，n2分别为M1 和M2的自由电子数密度,K为玻尔兹曼恒量, T 为绝对温度。因此总
的接触电势差为
U
12
=
U
12’+U
12
’’=
1
KTn1
（W
2
−W1
）
+
ln

e
en2
此公式为在任意温度T 时外接触电势差的一个近似式。
基于普遍的热力学观点，把相互接触的金属M1、M2看成是可以交换 粒（电子）的两个子
系统, 它们在一定的温度和压强的通常情况下相互接触后，由于电子交换，一开始整个系统
的化学势∅的变化是
d∅=E
f1
dN
1
+E
f2
dN
2

其中E
f1
,、E
f2
和dN
1
、dN
2
分别为第一、二子系统金属M
1
、M
2
的费米能级 和电子数变化。同
时因为 dN
1
=-dN
2
，所以

d∅=dN
1
(F
f1
−E
f2
)
< br>若E
f1
=E
f2
，则d∅=0相当于平衡态。E
f1
≠E
f2
，系统就不平衡；过渡到平衡态，意味着
d∅＜0。设E
f1＞E
f2
，条件d∅∅＜0要求dN
1
＜0，dN
2
= dN
1
＞0；即具有较高的费米能级的子系
统M1的电子数将减少，具有较低费米能级 的子系统M2的电子数将增加，即电子从M1流入
M2直至由于电子转移引起金属M1、M2的电势发生 变化，使两者的费米能级达到一致为止。
因此两种不同金属M1、M2接触后，M1带正电、电势升高， 电子的势能减小；M2带负电、电
视降低，电子的势能增大。也就是说, 由原来的两金属费米能级不同 而引起的电子转移,在
M1、M2间形成了静电场，使金属M1的电势高于金属M2，其电势差即通常所 说的接触电势差。
这时候金属M1,中的电子附加上在正的静电场中的能量（负值） , 同时金属M2 中的电子附
加上在负的静电场中的能量（正值） , 恰好使两金属的费米能级相同, 达到平衡, 电子的
净转移过程也就停止了。
设 φ为两金属接触后产生的电势差附加到两金属中 电子上的能量之差，又由于费米能
级的大小在绝对能量参考系中等于金属的脱出功-E
f
=W，则我们可以得到

φ
e
1
U
12
=
= （W
2
−W
1
）
e
因此可以说，由于金属脱出功的不同而产生了接触电势差。
既然外接触电势差起源于费密能级差, 而费密能级是随温度略有变化的, 所以外接触

电势差也随温度略有变化。在作经典的近似处理时我们把费密分布函数
f

E

=
2
exp

E−E
f
KT

+1
写成
f

E

=2exp
E
f
−E


KT
这意味着对金属中自由电子所有能级 都可以略去分母中的 , 这当然是一种粗略近似,
毋宁说更适合于半导体中的情况。
设金属单位体积中的自由电子数为n, 则
KTn
=1ln

E
f
Z
我们知道金属在不太高的 温度T时的费密能量E
f
与其在绝对零度时的值E
f
0
之间有如下关 系
E
f
=
联立上边两式得
E
f
=E
f
0
π
2
KT
−

12
ln
nZ
E
f
0
π
2
K
2
T
2−

12E
f
因此温度T时外接触电势差可以写成
1
U
12
=

W
2
−W
1


e
2
1
πKT
n1n1n2
00
=

W
2
−W
1

+ln ln ln
e12e
n2ZZ
00
其中
W
2
和W
1
星为金属M1 和M2在绝时零度时的脱出功。从上式可以直接看出,其中和
π
2
KT
温度有关的项
12e

ln
n1

ln
n2

正是两金属的脱出功之差与电子电荷e之比(即外
ln
n1

n2ZZ
接触电势差) 随温度变化的增量部分, 并非如福里斯或目前国内教材中所说, 是由于脱出
功以外的电子密度不同的原因而产生的所谓内接触电 势差。事实是脱出功本身已包含了电子
密度这个因素。严格说来, 金属的脱出功(或费密能级) 除与电子密度有关之外, 还与具体
的能带结构有关, 当然更和温度有关(我们忽略表面状态对脱出功的影响)。
得出结论，金属接触电势差完全由两金属的脱出功决定, 不存在由脱出功以外的电子密
度不同这一因素而造成的所谓内接触电势差。


[1] 孙汪典
，
金属接触电势差问题讨论，暨南大学学报，一九八九年第三期
[2] 王中长, 刘天模, 李家鸣，混合杂质半导体费米能级公式及数值计算，重庆大学学报，
2003 年11 月，第26 卷第11期
[3] 李昱材, 张国英, 魏丹等
，
金属电极电位与费米能级的对应关系 ，沈阳师范大学学报

( 自然科学版)第25 卷第1 期，2007 年1 月
[4] 李书平 王仁智 郑永梅等，自由电子能带中的平均键能与费米能级，固体电子学研究
与进展，2002年2月， Vol.22,No.1
[5] 李书平,王仁智,郑永梅等，一种由自由电子能带模型计算费米能级的方法，发 光 学
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