02 指数对数函数
温柔似野鬼°
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2020年08月10日 07:16
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一、分数指数与根式
1、两组常用等式：
n
（1）当 n uf0ce Z 且 n uf03e 1时， uf028n a uf029 =＿＿＿＿＿
n
（2）当 n （ n uf03e 1）为奇数时， uf028n a uf029 = a ；
n
n uf0ec auf028a uf0b3 0uf029
当 n （ n uf03e 1）为正偶数时， uf028 a uf029 = a uf03d uf0ed
uf0eeuf02d a(a uf03c 0)
2、正数的分数指数幂的意义：
m m
n m uf02d 1
当 a uf03e 0， m 、 n uf0ce N ，且 n uf03e 1时， a n uf03d a ；， a n uf03d 。
n a m
3、幂的运算法则：
若 m 、 n uf0ceQ ， a uf03e 0，b uf03e 0 ，则
n
a m uf0d7 a n uf03d a muf02bn ； a m uf0b8 a n uf03d a muf02dn ； uf028a m uf029 uf03d a mn ； (ab) m uf03d a m uf0d7b m 。
二、对数：
1、定义：如果 a b uf03d N （ a uf03e 0且 a uf0b9 1），那么b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作
（ 且 ）
b uf03d log a N a uf03e 0 a uf0b9 1
2、对数恒等式：
loga N （ 且 ， ）； b （ 且
a uf03d N a uf03e 0 a uf0b9 1 N uf03e 0 log a a uf03d b a uf03e 0 a uf0b9 1
）。
3、对数性质：
负数和零没有对数；1 的对数是零，底的对数是 1；即 ，
log a 1 uf03d 0
。
log a a uf03d 1
4、对数运算法则：
若 a uf03e 0且 a uf0b9 1， M uf03e 0 ， N uf03e 0 则
； M ；
log a (MN) uf03d log a M uf02b log a N log uf03d log M uf02d log N
a N a a
n ； n 1 。
log a uf028N uf029uf03d n log a N log N uf03d log N
a n a
log N
5、换底公式： a （ a uf03e 0 且 a uf0b9 1，b uf03e 0 且b uf0b9 1， N uf03e 0 ）
log b N uf03d
log a b
6、特殊对数：
以 e 为底的对数，叫做自然对数，记作 ln N 。
以 10 为底的对数，叫做常用对数，记作 lg N 。
7、常用公式：
① n ； ② m m ；
log n b uf03d log b log n b uf03d log b
a a a n a
③ ； ④ 。
log a b uf0d7log b a uf03d 1 log a b uf0d7log b c uf03d log a c
三、指数函数与对数函数
名称 指数函数 对数函数
一般
y uf03d a x uf028a uf03e 0,a uf0b9 1uf029 y uf03d log xuf028a uf03e 0,a uf0b9 1uf029
形式 a
y
y
2 y uf03d loga xuf028a uf03e1uf029
x
4 y uf03d a
a uf03e1
y uf03d a x uf028 uf029
x
uf0280 uf03c a uf03c1uf029 0
0 1 2 3
2
图象
-2
y uf03d loga xuf0280 uf03c a uf03c1uf029
0 x
-4 -2 0 2 4
定义
(uf02duf0a5,uf02buf0a5) (0,uf02buf0a5)
域
值域 (0,uf02buf0a5) (uf02duf0a5,uf02buf0a5)
当 a uf03e1时， 当 a uf03e1时，
uf0ecuf03e1(x uf03e 0) uf0ecuf03e 0(x uf03e1)
x uf0ef uf0ef
a uf0eduf03d1(x uf03d 0) loga x uf0eduf03d 0(x uf03d1)
函数 uf0ef uf0ef
值变 uf0eeuf03c1(x uf03c 0) uf0eeuf03c 0(0 uf03c x uf03c1)
化情 当 0 uf03c a uf03c1时， 当 0 uf03c a uf03c1时，
况 uf0ecuf03c1(x uf03e 0) uf0ecuf03c 0(x uf03e1)
x uf0ef uf0ef
a uf0eduf03d1(x uf03d 0) loga x uf0eduf03d 0(x uf03d1)
uf0ef uf0ef
uf0eeuf03e1(x uf03c 0) uf0eeuf03e 0(0 uf03c x uf03c1)
x
当 a uf03e1时， y uf03d a 是增函数； 当 a uf03e1时， y uf03d loga x 是增函数；
单调
x
性 当 0 uf03c a uf03c1时， y uf03d a 是减函 当 0 uf03c a uf03c1时， y uf03d loga x 是减函
数。 数。
x
y uf03d a 的图象与 y uf03d loga x 的图象关于直线 y uf03d x 对称。
典型例题：
A 组：
x 2 x
1、根式 uf02d 3xy uf02b 9y 2 （ y uf0b3 ）化简得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （答：
4 6
x
3y uf02d ）
2
2、给出如下五个式子，（1） 6 (uf02d27) 2 uf03d uf0b13 ；（2） 3 uf02d 2x 2 uf03d 12 16x 8 ；
（3） 10 a 5 uf02b b 5 uf03d a uf02b b ；（4） 4 uf02d a uf03d uf02d8 a 2 ，（ a uf0a3 0 ）；
（5） 6 (uf02d4) 3 uf0d7 x 6 uf0d7 y 9 uf03d uf02d x uf0d7 y uf02d 4y ，（ y uf03c 0 ）其中错误的有（ ）个
A、5 B、4 C、3 D、2
（答：B）
3、求下列各式的值。
3
1 2 3 uf02d
uf02d 2 1
（1） 2 （2） 3 （3） 2 （4）uf0e6 25 uf0f6 。（答：5；9； ；
25 27 49 uf0e7 uf0f7
uf0e8 4 uf0f8 343
8
）
125
4、计算：
1
6
1 1 3 1 1 uf02d3 uf02d
uf02d uf0e6 uf02d uf0f6 uf0e6 8a uf0f6 3
（1） a 2 uf0d7a 4 uf0d7a 8 （2） 2 3 （3） （4）
uf0e7 x uf0d7 y uf0f7 uf0e7 6 uf0f7
uf0e8 uf0f8 uf0e8 27b uf0f8
1 1 2
uf02d uf0e6 1 uf02d uf0f6
2x 3 uf0e7 x3 uf02d 2uf0d7 x 3 uf0f7
uf0e8 2 uf0f8
3 3
（答： a8 ； x3 uf0d7 yuf02d2 ； ab2 ；1uf02d 4xuf02d1 ）。
2
C C
5、图中曲线 、 、 、 分别是指数函数 2 3
C1 C 2 C3 C 4
C1 y C 4
y uf03d a x 、 y uf03d b x 、 y uf03d c x 、 y uf03d d x 的图象，则 1
、 、 、 与 1 的大小关系是（ ）
a b c d x
A、 ＜ ＜1＜ ＜ B、 ＜ ＜1＜ ＜
a b c d a b d c 0
C、b ＜ a ＜1＜ c ＜ d D、b ＜ a ＜1＜ d ＜ c
（答：D）
6、已知函数 y uf03d a xuf02d3 uf02d 2 （ a uf03e 0 且 a uf0b9 1）的图象恒过定点 P，求 P 点的坐
标。
（答：（3， uf02d1））
7、若 ， ，求 2muf02bn 。 （答：
log a 2 uf03d m log a 3 uf03d n a
12）
8、求下列函数的定义域：
1
（1） x ； （2） xuf02d1 ； （3） ；
y uf03d 3 y uf03d 5 y uf03d log 5 (1uf02b x)
（4） 1 ； （5） 1 ； （6） 。
y uf03d y uf03d log 7 y uf03d log 3 x
log 2 x 1uf02d 3x
1
（答：（1
） x uf0b9 0 （2） x uf0b31（3） x uf03e uf02d1（4） x uf03e 0 且 x uf0b9 1（5） x uf03c （6）
3
x uf0b31）
9、计算：
1 1
（1） log 2 uf02b log ； （2） log 18 uf02d log 2 ； （3） lg uf02d lg 25 ；
a a 2 3 3 4
（4） ； （5） ； （6）
2log5 10 uf02b log5 0.25 2log5 25 uf02b 3log2 64
。
log2 (log2 16)
（答：0；2； uf02d2 ；2；22；2。）
10、比较下列各题中两个值的大小：
（1）30.8 ＿＿30.7 ； （2） 0.75 uf02d0.1 ＿＿ 0.750.1 ； （3）1.012 ＿＿1.013.5 ；
（4） 3 ＿＿ 4.5 ； （5） ＿＿ ； （6） ＿＿ ；
0.99 0.99 lg 6 lg8 log 0.5 6 log 0.5 4
（7） ＿＿ ； （8） log 1.6 ＿＿ log 1.4 。
log 2 0.5 log 2 0.6 1.5 1.5
3 3
(答： uf03e ； uf03e ； uf03c ； uf03e ； uf03c ； uf03c ； uf03e ； uf03e )
11、比较 、 log 0.3、 log 0.3 的大小。 （答： log 0.3 ＜ log 0.3＜
log1 0.3 uf070 3 3 uf070
3
）
log1 0.3
3
3
12、若 log uf03c 1，则 a 的取值范围是（ ） （答：
a 4
D）
3 3 3 3
A、 (0, ) B、 ( ,uf02buf0a5) C、 ( ,1) D、 (0, )
4 4 4 4
uf055 (1,uf02buf0a5)
13、图中的曲线是对数函数 的图象，已知 的取值为 、 4 、 2 、
y uf03d log a x a 2
3 5
1 四个值，则相应于曲线 、 、 、 的 的值依
C1 C 2 C3 C 4 a
6 y C1
次为（ ） C 2
4 2 1 4 1 2
A、 2 、 、 、 B、 、 2 、 、 x
3 5 6 3 6 5
C
0 3
4 1 2 4 2 1
C、 2 、 、 、 D、 、 2 、 、 C 4
3 6 5 3 5 6
（答：B）
14、计算
下列各式：
1 2
uf02d 7 2
（1）1.5 3 uf0b4 (uf02d ) 0 uf02b 80.25 uf0b4 4 2 uf02b (3 2 uf0b4 3) 6 uf02d (uf02d ) 3 ；
6 3