华裔和华人的区别-19届三中全会

高一上学期数学讲义

1.1集合及其表示法
一、教学内容分析
集合是一种数学语言，是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内 容中，甚至在今后的数学学习中，
将集合的概念和理论渗透到数学的各类分支中，会有利于提高学生的数 学素养。
本章是高中数学的第一个章节，学习集合的有关概念和表示方法，以及集合之间的关系和基本 运算，初步掌
握基本的集合语言，了解集合的基本思想方法和集合的发展历史，能用集合的思想去观察、 思考、表述和解决
一些简单的实际问题。
二、教学目标设计
知道集合的意义，理解 集合的元素及其与集合的关系符号；认识一些特殊集合的记号，会用“列举法”和“描
述法”表示集合； 体会数学抽象的意义.
三、教学重点及难点
教学重点：集合的基本概念；
教学难点：用“列举法”和“描述法”表示集合。
四、教学流程设计




五、教学过程设计
一、数学史引入
（1）“物以类聚，人以群分”（2）我校高一年级的全体学生；（3）这间教室里所有的课桌；
（4）所有的正有理数； （5）……
二、学习新课
1．概念辨析
（1）集合的有关概念：
集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；
集合的分类：有限集、无限集；
集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”；“无序性”；
（2）集合的表示方法：
集合的符号表示：集合常用大写英文字母
A
、B
、
C
…表示，集合中的元素常用小写英文字母
a
、
b
、
c
…表示
元素与集合的关系：属于

与不属于

（注意方向和辨析）； 列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法
描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共 同
具有的特性，即：
Axx满足的性质p
，这种表示集合的方法叫做描述法.
（3）特殊集合的表示：
常用的集合的特殊表示法：实数集
R
（正实数集< br>R
）、有理数集
Q
（负有理数集
Q
）、整数集
Z（正整数
集
Z
）、自然数集
N
（包含零）、不包含零的自然数集
N
；
*
实例引入 概念辨析 巩固练习
拓展与思考
作业及反馈 总结提炼




空集

（例：方程
x
2
20
的实数解集为

）.
[说明] 描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以通过一些例题来加深对描述法这种表示方法的理解。
2．例题分析

例1、判断下列各组对象能否组成集合：
（1）不等式
3x20
的解；
（2）我班中身高较高的同学；
（3）直线
y2x1
上所有的点；
（4）不大于10且不小于1的奇数。
例2、用符号

或

填空：
（1）2______
N

（4）0______

0


（2）
2
______
Q

（5）
b
______

a,b,c


（3）0____


（6）0______
N

*
例3、写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：
（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 答：

2


例4、用描述法表示下列集合：
（2）大于10而小于20的合数组成的机荷 答：

12,14,15,16,18


（1）被5除余1的正整数所构成的集合 答：

x|x5k1,kN


（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 答：

(x,y)|xy0,xR,yR


2
（3）函数
y2xx1
的图像上所有的点 答：

x,y

|y2x
2
x1,xR,yR< br>

（4）


12345

,,,,< br>

34567


答：

x x


n

,nN
*
,n5

n2

例5、用列举法表示下列集合：
（1）
2
2

（3）

xx2x30,xR



12

（2）
xx2x30,xR

（3）

x
答：


0,5

,

1,4

,

2,3

,

3 ,2

,

4,1

,

5,0





x,y

|xy5,xN,yN


答：

3,1


答：


答：

7,1,1,3,4


（2）
3____xxn1,nN


2
N,xZ


x

5

例6、用符号或

填空：


（1）
23____xx11

2
（3）

1,1

____yyx









（4）

1,1

____


x,y

y x


2*

[说明]例4－例6都涉及到了集合的描述法表示， 这也是本节课的最大的难点，题目不宜过多，可以从中选
取一些；在例题中渗透有限集和无限集的概念.
三、巩固练习：课本P7练习1.1
四、课堂小结：
集合的概念、表示方法

五、作业布置
（必做题）课本P7习题1.1
六、教学设计说明
（选做 题）已知集合
Axxa2b,a,bZ
，若
x
1
,x
2
A
，判断：
x
1
x
2
A
是否成 立．
1．通过许多实际的例子来让学生感知概念，然后在通过文字的归纳叙述让学生形成概念，再 通过具体的例
子来让学生理解文字描述的概念，由此层层深化概念。
2．由于本节课文字 信息量较大，因此用制作课件,以简化板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的
活动空间和思维 空间，努力提高单位教学效益。
一、教学目标设计
理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念
二、教学重点及难点
教学重点：子集的概念
教学难点：辨析元素与子集、属于与包含的关系
三、教学流程设计


拓展与思考
作业及反馈 总结提炼
复习引入 概念辨析 巩固练习

1.2集合之间的关系

五、教学过程设计
一、复习：（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法。
（2）集合中元素的特性是什么？
二、引入： 观察和比较下列各组集合，说说它们之间的关系（共性）：
（1）
A
（2）
AN
，
B

1,2,3

，
B
< br>1,2,3,4,5

；
Q
；
（3）
A
是××中学高一年级全体女生组成的集合，
B
是××中学高一年级全体学生组成的集合．
[说明] 给出几个具体的集合，从元素角度观察它们之间的关系，引出子集、真子集、集合相等的概念。
三、学习新课
1．概念辨析
记作:
A
定义1：对于两个集合< br>A
与
B
，如果集合
A
的任何一个元素都属于集合
B< br>，那么集合
A
叫作集合
B
的子集，
．．
B
或
BA
（读作：
A
包含于
B
或
B
包含A

注1：（1）
AB
有两种可能：①
A
中所有元素 是
B
中的一部分元素；②
A
与
B
是中的所有元素都相同；
（2）空集

是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；
（3）判 定
A
是
B
的子集，即判定“任意
xAxB
”. 定义2：对于两个集合A与B，如果
AB
且
BA
，那么叫做集合A
等于集合
B
，记作
A
=
B
（读作
集 合
A
等于集合
B
）；
注2：（1）如果两个集合所含的元素完全相 同，那么这两个集合相等；（2）判定
AB
，即判定“任意
xAxB
，且任意
xBxA
”.
定义3：对于两个集合
A
与< br>B
，如果
AB
，并且
B
中至少有一个元素不属于
A
，那么集合
A
叫做
B
的
真子集，记作：
AÜB或
BÝA
，读作
A
真包含于
B
或
B
真 包含
A
.
注3：（1）空集是任何非空集合的真子集，
ÜA
；
（2）判定
AÜB
，即判定“任意
xAxB
，且存在
x
0
Bx
0
A
”；
（3）子集与真子集符号的方向；
（4）易混符号：①“

”与“

”②
2．例题分析
1、写出数集
N
、
R
、
N
、
Z
、
Q
的包含关系；
2、写出集合
x,y,z
的所有真子集；
*

0

与




1 ,3,5,7,9

，写出符合下列条件的
M
的子集：
（1） 以集合
M
中的所有质数为元素；
（2） 以集合
M
中所有能被3整除的数为元素；
（3） 以集合
M
中所有能被2整除的数为元素。
4、设集合
A

x|x1,xR

，
B

x|x5,xR
< br>；
（1）判断2分别与
A
、
B
的关系 （2）确定
A
、
B
之间的关系
3、已知集合
M
5、确定下列两个集合关系：
（1）
A{x|x2k1,kZ}
，
B{x|x2m1,mZ}

（2）
A{x|x2k1,k N}
，
B{x|x2m1,mN}

（3）
A{x|x4k1,kZ}
，
B{x|x2k1,kZ}

四、巩固练习：课本P11练习1.2
五、课堂小结
理解集合之间的包含关系，掌握子集、集合相等、真子集概念之间的区别与联系 ，掌握他们的各种符号表示
及证明方法。对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A叫做集合B的子集，
记作
AB
，规定空集是任何集合的子集。当集合A 是集合B的子集时，进一步详细讨论，若集合B中至少有
一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子 集；若集合B也是集合A的子集，那么集合A与集合B相等。
两个集合之间也不一定存在包含关系，如 集合A中任何一个元素都不属于集合B，集合B中任何一个元素都
**


不属于集合A，等等，这些在集合运算中能得到体现。
六、作业布置
（必做题）课本P11习题1.2
（选做题）设集合
AB,AC,且B{0,1,2,3,4,5}
，
C{0,2,4,6,8}
，求集合
A
的个数.
七、教学设计说明
本节内容是集合这个章节的第二节，是继第一节集合概
念后的又一 节概念课，通过集合与集合之间的关系，比较元素与集合的关系，使同学们加深对集合概念的理解。
另一 方面，用定义的方法来判定集合与集合的关系，也是本节课的难点之一，需要对概念在理解的基础上进一
步熟练掌握。因此，本节课内容较多，需要同学们通过简单而直观的实例来区分概念，从而达到熟练掌握的效果。

1.3 (1)集合的运算（交集、并集）
一、教学内容分析
本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。
可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程

的解集，则是求方程

和

的解集的并集。
本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。突破难点的关键是掌握有关集合的术语
和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，
要注意灵活运用．
二、教学目标设计
理解交集与并集的概念; 掌握有关集合运算 的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的
交集与并集；知道交集、并集的基本运 算性质。发展运用数学语言进行表达、交流的能力。通过对交集、并集
概念的学习，提高观察、比较、分 析、概括等能力。
三、教学重点及难点：交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用；
概念
四、教学流程设计
符号

图示
五、教学过程设计
一、复习回顾
思考并回答下列问题
1、子集与真子集的区别。
2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。
3、空集的特殊意义。
二、讲授新课：关于交集
1、概念引入
（1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课p12）
A=
{xx为10的正约数}
B=
{xx为15的正约数}
C=
{xx为10与15的正公约数}

解答：A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}
[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素是A与B 中公共元素。
（2）用图示法表示上述集合之间的关系

2、概念形成
 交集定义
2，10 1，5 3，15
B
A
课堂小结并布置作业
运用与深化(例题解析、巩固练习)
交集与并集概念、符号之间的区别与联系。
实例引入
交集
（并集）

性质

一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合，叫 做A与B的交集。记作A∩B（读作“A交B”），
即：A∩B={x|x∈A且x∈B}（让学生用描 述法表示）。



交集的图示法


ABA,ABB

3、概念深化
交集的性质（补充）


ABAB
AB

请学生通过讨论并举例说明。
由交集的定义易知，对任何集合A，B，有：
A∩（B∩C）；⑤A∩B=A

A

B。
4、例题解析
A∩A=A，A∩U=A ，A∩φ=φ；②A∩B

A，A∩B

B；③A∩B=B∩A；④A∩B∩C=（A∩B）∩C=
例1：已知
A{x1x2 }
，B=
{x2x0}
，求
AB
。(补充)
解：
AB{x|1x0}

[说明]①启发学生数形结合，利用数轴解题。②求交集的实质是找出两个集合的公共部分。
例2：设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求
A∩B。（补充）
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}
[说明]：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B
例3：设A、B两个集合分别为
A(x,y)2xy10
，
B{(x,y) 3xy5}
，求A∩B，并且说明它的
意义。（课本p11例1）
解：
AB

(x,y){



2xy10


={（3，4）}
3xy5

[说明]
AB
表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集合。
例4（补充）设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}，
求（A∩B）∩C， A∩（B∩C），A∩B∩C。
解：（A∩B）∩C=（{1，2，3 }∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}； A∩（B∩C）={1，2，3 }
∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A∩B∩C=（A∩B ）∩C= A∩（B∩C）={2}。
三、巩固练习 练习1.3（1）
关于并集
1、概念引入
引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示
A=
{xx20
}， B=
xx30
， C=
{x(x2)(x3)0}

答：A=

2

， B={-3} ，C={2，-3}
[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素由A或B的元素构成。
2、概念形成
 并集的定义：一般地，由所有属
于A或属于B的元素组成的集合，叫做A
与B的并 集，记作A∪B（读作“A并B”），
即A∪B={x|x∈A或x∈B}。


并集的图示法





AB
< br>A,
AB

B,

ABB,

AB

B,

A,
AB

 请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化
①A∪A=A，A∪U=U ，A∪φ=A；②A

（A∪B），B

（A∪B）；
 并集的性质（补）
③A∪B=B∪A；④A∩B

A∪B，当且仅当A=B时，A∩ B=A∪B；⑤
A∪B=A

B

A.
[说明] 交集与并集的区别（由学生回答）（补）
交集是属于A且属于B的全体元素的集合。
并集是属于A或属于B的全体元素的集合。
x∈A或x∈B的“或”代表了三层含义：即下图所示。
4、例题解析
例5：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。（补充）
解：∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。
[说明] ①运用文恩解答该题。②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的 一一找
出写在大括号中即可。
例6：设A={a,b,c,d}，B={b，d，e，f}，求A∩B ,A∪B。
（课本p12例2）
解：A∩B={b,d}，则A∪B={a,b,c,d,e,f }。
例7：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角}，求A∪B。（补充）
解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。
例8：设A={x|-21或x<-1}，求A∪B。（课本P12例3）
解：A∪B=R
[说明] 本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分 利用数形结合思想，体现抽象与直
观的完美结合。
例9、已知A={x|x=2k, k∈Z或x∈B}, B={x|x=2k-1, k∈Z},求A∪B。（课本P12例4）
[说明] 解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。
三、巩固练习：1.3（2）
补充练习
1、设A={ x |-1< x <2}, B={ x |1< x <3}，求A∪B.
解析:利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求.
解：将A={ x |-1< x <2}及B={ x |1< x <3}在数轴上表示出来，如图阴影部分即为所求。
A∪B={ x |-1< x <2}∪{ x |1< x <3}={ x |-1< x <3}
-2
-1
2
0
1
2
3
x
2、A={1，3，x}，B={
x
,1},且 A∪B={1，3，x}。 求x？
3、{0，1} ∪A={0，1，2}，求A的个数？
4、A ={x|-2四、课堂小结
1.交集、并集的概念；交集并集的求法；交集并集的基本性质，以及有关符号的正确使用.
2.求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，求两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示或利用韦恩图表示，有助于解题.
3、区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集 的问题时，常常从这两个字出发去揭示、
挖掘题设条件，进而用集合语言表示，从而解决问题。
五、课后作业
1、书面作业：习题1.3----4,5,6,7,8,9

2、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩ P”的什么条件？（“x∈M或x
∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件）
3、思考题： 设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A∩B={9},求实数m的值. < br>解：∵A∩B={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，∴2m-1=9 或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.
若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与A∩B={9}矛盾；
若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾；
若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足A∩B={9}.∴m=-3。
六、教学设计说明
1、注重数形结合，从集合A和B的文氏图中引出交集、并集的概念在引出 交集、并集的概念时，最好不要
直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A和集合 B的文氏图中，寻找它们之间的联系，
学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行集合之间的交并 运算打下基础。
2、注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力。教材对于交 集、并集的概念还给出

了它们各自的符号语言表示，①
①中的“且”字，它说明
公共子集，即：
②式中的“或”字的意义，“
，且
元素在 中只出现一次。因此，
的任一元素
。
”这一条件，包括下列三种情况：
构成的集合就是
是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合。
都是A，B的子集，可得下面的关系式：

3、运用对比教学的方法，使学生区分交、 并集的概念，能正确对集合之间求交与求并。教师在讲解了交集、
并集的概念后，可以涉及一个表格，让 学生填写内容。见下表：
名 称
定义
记 号
简 而
言 之

图 示
（一般情形）
（阴影为

）
，
性
质
,
，
，


（阴影为

）
，



交 集
由所有属于集合A且属于集合B的元
（读作“A交B”）
A与B的公共元素组成的集合即

且


并 集
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的
（读作“A并B”）
A与B的所有元素组成的集合即

或


，
）。还要注意，A与B的公共（很明显，适合第三种情况的元素
的子集，联系到
②
都是A与B的公共元素。由此可知，
即：
必是A与B的
对于符号语言的表示 要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”。
由定义可知，A与B都是
素所组成的集合，叫做A与B的交集。 集合，叫做A与B的并集。
,
，

。

，
。
4、可是当补充用图示法（即文氏图 ）表示集合之间的关系的问题。用图示法表示集合之间的关系有两层意思：
一方面给定一个集合或集合之 间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；另一方面给出一个维恩图，会用
集合表示图中指定的部分 （如阴影部分）。作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又
可提高学生数形结 合的能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力。
5、适当地运用集合关系进行简单推理。运用 集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力
的学生不失为一种良好的思维训练，有助于 提高抽象思维能力。

1．3(2)集合的运算（全集、补集）
一、教学内容分析
子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集 的概
念。而与这些子集相对应的某个确定的集合就是全集。
正确理解子集的概念有助于理 解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表
示，所以子集和真子集的符号要 提醒学生注意这些符号的方向不要搞错。
补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概 念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三
个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集 的概念。
正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以 使学生更好地
理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研 究、处理数学问题。
因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这些概念，符号比较容 易混淆，这些因素可能给
学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在 于个体与整体、整体与整体的
关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析， 培养学生正确应用概念和使用术语、
符号的能力。
二、教学目标设计
了解全集与补 集的意义；掌握补集符号“C
U
A”，会求一个集合的补集；知道有关补集的性质。
三、教学重点与难点
补集的概念及有关运算。补集的有关性质。
四、教学流程设计





五、教学过程设计
一、复习回顾
1、集合的子集、真子集概念、求法？
2、两个集合相等应满足的条件是什么？
二、讲授新课
1、概念引入
事物都是相对的，集合中的部分元素与集合中所有元素之间关系就是部分与整体的关系。
回答下列问题
例:A={班上所有参加足球队的同学}
U
A
课堂小结并布置作业
运用与深化(例题解析、巩固练习)
概念
符号
图示
实例引入

性质
全集
补集

B={班上没有参加足球队的同学}
U={全班同学}
那么U、A、B三集合关系如何？
集合B就是集合U中除去集合A之后余下来的集合。即图中阴影部分。
2、概念形成
 全集定义
如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U。 [说明]①在研究集合与集合之间关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合就是全集。
②解决某些数学问题时，有时把实数集R看作全集U，有时把有理数集Q看作全集U，有时把正整数集合 看作
全集U。
一般地，设U为全集，A是U的一个子集（即A

U），则由 U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A
在全集U中的补集，记作CuA，即CuA={x|x ∈u，且x

A}，读作“A补”。
（上图阴影部分即表示A在U中补集CuA。）
 举例说明：解决某些数学问题时，如果把实数集看作是全集U，那么有理数集Q的补集CuQ就是全 体
无理数的集合。
3、概念深化
补集的性质(补)
① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu（CuA）=A
[说明]A的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集。
4、例题解析
例1、 若U={2，3，4}，A={4，3}，则C
U
A=_________。
例2：设U=R，A=
x1x2
，写出CuA。（课本P14例5）
解：CuA=
xx1或x2

 补集定义




[说明] ①通过例题巩固补集的概念，并养成“图解”的 好习惯。②强调补集何时在端点处可以取得等号，
何时不能取得等号。
例3：若集合A=
xx2
，当全集U分别取下列集合时，写出CuA。（补充）
① U=
{xxR}
② U=
{xx0}
③U=
{xx2}
(画数轴)
解：① CuA=
{xx2}
② U=
{x0x2}
③U=
{xx2}

[说明]补集 是相对于某个确定全集而言的，因此讨论补集的前提就是全集是什么？全集不同，导致补集不同。
例4：设U={a，b，c，d，e}，A={a，b}，B={b，c，d}，
① 求CuA∩CuB，Cu(A∩B)，Cu(A∪B)，CuA∪CuB(课本P14例5)
②从上述结论中，你发现有什么结论？（补）
③对任意的集合A，B，请你用集合的图示法说明是否有以上结论。
（习题1.3（3）第2题）
[说明]①通过练习，引导学生发现如下结论：CuA∩CuB =Cu(A∪B),CuA∪CuB=Cu(A∩B) 。②结合实例及图示
帮助学生理解结论。③提高符号表达能力。
三、巩固练习
（1 ）U={高一（1）班的所有学生}，A={高一（1）班的女生}，B={高一（1）班的学生干部}，求A， B，
AB
的补集并说明其实际意义。（课本P15习题1.3（3））
(2) 若U={三角形}，B={锐角三角形}，则CuB= 。
（3）若U={1，2，4，8}，A=ø，则CuA= 。
（4）若U={1，3，a
+2a+1}，A={1，3}，CuA={5}，则a= 。
2

(5) 已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，CuB={-1，0，2}，求B= 。
解答：
（1）：CuA={高一（1）班的男生}，CuB={高一（1）班的所有不是学生 干部的学生}，Cu（
AB
）={高一（1）

班所有除了学生干部的 女生的同学}
（2）：CuB={直角三角形或钝角三角形}。
（3）：CuA=U
（4）：a
+2a+1=5；a=-1±
2
（5）：利用文恩图，B={1，4}。
四、课堂小结
5
1、全集与补集的概念、全集与补集的表示。
2、能熟练求解一个给定集合的补集。
3、注重一些特殊结论在以后解题中应用。
五、课后作业
1、课本P15 习题1.3——8，9，10
2、思考题：已知全 集U={x
1x10,xN}
,A={x
0x10,x为偶数}

B={x
0x10,x为奇数}
,求
C
U
(AB)
的所有元素之积及
C
U
(AB)
的所有元素之和。
六、教学设计说明
（1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐 明概念的意义。全集、补集这些重
要概念的教学，首先可以通过一些实例来引入，并分析它们各自所具有 的特征，然后把它一般化，概括出定义。
其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明全集、补集， 这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且
还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要 性质。
（2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；例如，“
U
A
是A在全集U中的补集”，不能把它简单地
说成
U
A
是A的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的。
（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。
本单元中引进的数学符号、记号 比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说
明其意义，配备适当的例题、习 题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。
--------------------- -------------------------------------------------- ------------------------------------------
举例如下，请同学们思考其结果。
填充：
⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则C
S
A=_________。
⑵若S={三角形}，A={锐角三角形}，则C
S
B=_________。 ⑶若S={1，2，4，8}，A=

，则C
S
A=_________ 。
⑷若U={1，3，
a
+2
a
+1}，A={1，3}，则C
u
A={5},则
a
=_______。
2
⑸已知A={0，2，4}，C
u
A={-1，1}，则C
SB={-1，0，2}，求B=_______。
⑹设全集U={2，3，
m
+2
m
-3}，A={|m+1|,2}，则C
u
A=5,求m= _______。
2
⑺设全集U={1，2，3，4}，A={
x
|
x
-5
x
+m=0，
x
 U}，求C
U
A、m。
2
评析：
例⑴解：C
S
A={2}
主要是比较A及S的区别。
例⑵解：C
S
B={直角三角形或钝角三角形}
注意三角形分类
例⑶解：C
S
A=S 空集的定义运用
例⑷解：
a
+2
a
+1=5，
a
=-1± 5 利用集合元素的特征。
2
例 ⑸解：利用文恩图由A及C
u
A先求U={-1，0，1，2，3}，再求B={1，4}
例⑹解：由题
m
+2
m
–3=5且|m+1|=3 解之m=4或m=2
2
例⑺解：将
x
=1，2，3，4代入
x
-5
x
+m=0中，得m=4或m=6
2
当m=4时，
x
-5
x
+4=0，即A={1，4}
当m=6时，
x
-5
x
+6=0，即A={2，3}
2
2

故满足条件：即C
U
A={1，4}，m=4； C
U
B={2，3}，m=6。 此题解决过程中渗透分类讨论思想。
课堂练习：课本P
10
练习1、2。
一、教学内容分析
命题的有 关概念在初中平面几何中已学过，本章在此基础上对命题作较深入的研究，特别强调要确定命题真
假都必 须证明。举反例既可以确定一个命题是假命题，同时它又是一个重要的数学思想。
推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。教材用比较通俗的说法给出了推出关系的意义及符号。 教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的< br>等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。
本小节首先从初中数学的命题知 识入手，给出推出关系，等价关系的概念，接着，讲述四种命题的关系，最
后，在初中的基础上，结合四 种命题的知识，进一步讲解反证法。
二、教学目标设计
理解四种命题之间的相互关系，能由 原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假
与其他三个命题真假间的关系；掌 握等价关系的概念，初步掌握反证法。
三、教学重点及难点
理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备：
多媒体

五、教学流程设计
巩固练习
六、教学过程设计
一、 复习回顾
在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。
命题：表示判断的语句。真命题：正确的命题。
假命题：错误的命题。
命题 “全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？
本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。
[说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下 位概
念的同化和顺应提供最近发展区。
二、讲授新课
1．命题
例1 ：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本
例 题）
1.个位数是5的自然数能被5整除； 2.凡直角三角形都相似；
3.上课请不要讲话； 4.互为补角的两个角不相等；
5.你是高一学生吗？
解：1.真命题： 它可以写成10k+5的形式（k是非负整数），而10k+5=5（2k+1），所以10k+5能被5整除。
2.假命题： 取三个角分别是90
、45、45的直角三角形，它与三个角分别是90、 60、30的直角三
000000
1.4 (1)命题的形式及等价关系
复习引入
推出关系
等价关系
概念
解释
例题
解析
课堂小结并布置作业
角形不相似。
3.不是命题 不是判断语句。
4.假命题： 取一个角为900，另一个角也为9000，它们是互补的，但它们相等了.

5.不是命题 是疑问句，不是表示判断的陈述句。
结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。
②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）
[说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段。
③真命题的确定：作出证明，方法
[说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法.
2、推出关系：


直接证明



反证法

间 接证明



同一法

一般地，如果α这件事成立可以推出 β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α
推出β”。换言之，α⇒β 表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角 相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？（补充例
题）
解：α⇒β关系成立，但反过来不行。
例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“
< br>”把α、β这两件事联系起来。（补充例题）
1. α：实数
x
满足
x9
，β：
x3
或
x3
。 （“α

β”）
2. α：
ABU< br>，β：
AU或BU
（
U
为全集）。（“α⇒β”）
3. α：
AB
，β：
ABA
。（“α

β”）
4. α：
ab0
，β：
a0
。（“β⇒α”）
3、α与β等价：
如果α⇒β，β⇒α，那么记作



，叫做α与β等价
4、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ
三、巩固练习：课本P17 练习1.4（1）——1，2
四、课堂小结：
本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系.
五、作业布置：
1、书面作业：P20，习题1.4——1
2、拓展作业：在下列各题中，用符号“⇒”或“ ⇒”或“

”把α、β这两件事联系起来：
（1）
（2）
（3）
α：
x
适合方程
x
5
x
6< br>
0
，β：
x2或x3
；
2
2
α：
x3
，β：
x3
；
α：
AB
，β：
ABB
；
（4） α：集合
MN
，β：
MNNA
。
六、教学设计说明（1） 命题的有关概念在初中平面几何中已经学过,因此可以通过具体的例子帮助学生回顾旧
知,为以后进一步 研究命题做好铺垫。在推出关系的教学中,要强调命题的条件和结论,要结合并集的概念强调
“或”的三 层含义。
（2）理解推出关系具有传递性，为以后学习充要条件做好准备。
（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。
本单元中引进的数学符号、 记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，
说明其意义，配备适当的例题 、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。
1.4 (2)命题的形式及等价关系
一、教学内容分析
教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题 为真（假）命题可转化该命题的
等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。
本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。接着，通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，提供了一种证明的方法，并通过具体
的例题给出反证法。

二、教学目标设计
（1）理解四种命题的概念；
（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；
（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；
（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想 方法。
三、教学重点及难点
理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备
多媒体教室

五、教学流程设计



六、教学过程设计
一．复习提问：
（1）什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？
（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？
（3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么？
二．讲授新课：
关于四种命题
1、概念引入
在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论 是“四边形的对角互补”。 如
果我们把以上命题作以下变化：
（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作为结论，
则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。
我们把原来命题中的结论作为条 件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。并且
它们互为逆命题。
（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对< br>角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。
像这种将命题的条 件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为
否命题。 （3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形
不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。
像这种将命 题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命
题互为否 命题。
2、概念形成
由以上例子归纳出四个命题的一般形式：
原命题：
如果

，那么


逆命题：
如果

，那么


否命题：
如果

，那么


逆否命题：
如果

，那么


并在四种命题之间的相互关系如下：
3、概念运用（例题分析）
例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。（课本例题）
命题A：如果两个三角形全等，那么它们面积相等；
命题B：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等。
（过程略）
否命题
如果

，那末


复习引入
概
念
四种命题
(等价命题)
例
题
巩固练习
课堂小结并布置作业
原命题
如果

，那末


互逆
逆 逆
逆命题
如果

，那末


互否
否 否

互逆
互否
逆否命题
如果

，那末


[说明] 我们从以上的 实例中发现：原命题与逆否命题是同真同假的；逆命题与否命题是同真同假的。我们可
以用证明一个命题 的逆否命题来证明原命题。
4、巩固练习 课本P19，练习1.4(2)
5、概念深化（拓展练习）
写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性。（补充）
①负数的平方是正数；
②正方形的四条边相等；
③若a=0，则ab=0；
④若a=b，则ac=bc；
⑤全等三角形一定相似；
⑥末位数字是零的自然数能被5整除；
⑦对顶角相等；
⑧过半径的端点不与半径垂直的直线，不是这个圆的切线；
[说明] 1、原命题为真，它的 逆命题不一定为真。2、原命题为真，它的否命题不一定为真。3、原命题为真，
它的逆否命题一定为真 。并可由此引入等价命题。
关于等价命题
1、概念引入（见上）
2、概念形成
如果
A
,
B
是两个命题，
AB,
3、概念运用
已知
BD
、
CE
分别是
ABC
的
B
，
C
的角平分线，
BDCE
。求证：
ABAC
。（课本 P19）
（过程略）
[说明]1、 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数 学命题时，如果运用直接证明法比较困难
或难以证明时，可运用反证法进行证明。
2、反证法 证题的步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推
理，得出 矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
4、巩固练习
课本P20，练习1.4(3)
三、课堂小结：
1、四种命题的概念及形式
2、四种命题之间的关系及同真同假性。

四种命题的真假关系：原命题为真

四、作业布置 课本P20，习题1.4—2，4，8，10。
五、教学设计说明
1）由命题的条件、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否 命题和逆否命题。四种命题形
式的构成虽然不难理解，但给出一种命题形式，要正确写出它的另外三种命 题形式却不容易。解决这个难点
的关键是分清命题的条件和结论。必要时可先将命题改写成“如果…，那 么 …”的形式。
2）另外，在写一个已知命题的否命题或逆否命题时，要把一个断语
正确地变成它的否定断语

，初
学者在这些地方时常出错。一般地，“是”的否定 断语为“不是”；“

”的否定断语为“

”；“

”的否 定
断语为“<”；“都是”的否定断语为“不都是”或“至少有一个不是”；等等。具体解题时，不要生 搬硬套，
要仔细思考，以保正确。

BA
，那么
A
,
B
叫做等价命题。
1.5 （1）充分条件与必要条件
一、教学目标设计
通过实例理解充分条件、必要条件的意义。

能够在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性。
二、教学重点及难点
充分条件、必要条件的判断；充分条件、必要条件的判断方法。
三、教学流程设计
拓广

引申





四、教学过程设计
复习引入
充分条件
必要条件
例题
解析
巩固练习
课堂小结并布置作业
一、概念引入
早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话“有之则必然，无之则未必不然，是为大故”“无之则必不然，有之则未必然，是为小故”。

今天，在日常生活中，常听人说：“这充分说明……”，“ 没有这个必要”等，在数学中，也讲“充分”和
“必要”，这节课，我们就来学习教材第一章第五节—— 充分条件与必要条件。

二、概念形成
1、 首先请同学们判断下列命题的真假
(1)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。
(2)若三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形。
(3)若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数。
(4) 若ab=0，则a=0。
解答：命题（2）、（3）、（4）为真。命题（4）为假；
2、请同学用推断符号“”“⇏”写出上述命题。
解答：（1）两三角形全等 两三角形的面积相等。
(2) 三角形有两个内角相等 三角形是等腰三角形。
（3） 某个整数能够被4整除则这个整数必是偶数；
（4）ab=0 ⇏ a=0。
3、充分条件与必要条件
继续结合上述实例说明什么是充分条件、什么是必要条件。
 若某个整数能够被4整除则 这个整数必是偶数中，我们称“某个整数能够被4整除”是“这个整数
必是偶数”的充分条件，可以解释 为：只要“某个整数能够被4整除”成立，“这个整数必是偶数”就一定
成立；而称“这个整数必是偶数 ”是“某个整数能够被4整除”的必要条件，可以解释成如果“某个整数
能够被4整除” 成立，就必须要“这个整数必是偶数”成立
 充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α 这件事成立，可以推出β这件事也成立，即α⇒β，
那么α叫做β的充分条件。[说明]：①可以解释为 ：为了使β成立，具备条件α就足够了。②可进一步解释为：
有它即行，无它也未必不行。③结合实例解 释为：
x
= 0 是
xy
= 0 的充分条件，
xy
= 0不一定要
x
=
0.）

必要条件：如果β
⇒
α，那么α叫做β的必要条件。
[
说明
]
：①可以解释为若β
⇒
α，则α叫做β的必要条件，β是α的充分条件。
②
无它不行，有它也不一定行
③
结
合实例解释为：如 xy = 0是 x = 0的必要条件，若xy≠0，则一定有 x≠0；若xy = 0也不一定有 x = 0。
回答上述问题（1）、（2）中的条件关系。
（1）中：“两三角形全等”是“两三角形的面 积相等”的充分条件；“两三角形的面积相等”是“两三角形全
等”的必要条件。
（2）中： “三角形有两个内角相等”是“三角形是等腰三角形”的充分条件；“三角形是等腰三角形”是“三
角形 有两个内角相等”的必要条件。

4、拓广引申
把命题：“若某个整数能够被 4整除,则这个整数必是偶数”中的条件与结论分别记作α与β，那么，原命题与
逆命题的真假同α与β 之间有什么关系呢？
关系可分为四类：
（1）充分不必要条件，即α⇒β,而β⇏α;
(2)必要不充分条件，即α⇏β,而β⇒α;
(3)既充分又必要条件，即α⇒β，又有β⇒α;
(4)既不充分也不必要条件，即α⇏β，又有β⇏α。
三、典型例题（概念运用）
例1：（1）已知四边形ABCD是凸四边形，那么“AC=BD”是“四边形ABCD是矩形”的什么条件？ 为什么？（课
本例题p22例4）
（2）
xy
是

xy

的什么条件。
22
（3）“a+b>2”是“a>1,b>1”什么条件。
解：（1）“AC=BD”是“四边形ABCD是矩形”的必要不充分条件。
（2）充分不必要条件。
（3）必要不充分条件。
[说明]①如果把命题条件 与结论分别记作α与β，则既要对“α⇒β”进行判断，又要对“β⇒α”进行判断。
②要否定条件的充 分性、必要性，则只需举一反例即可。
例2：判断下列电路图中p与q的充要关系。其中p：开关闭合；q：灯亮。（补充例题）



p





q
p
q


p
q
p
q





[说明]①图中含有两个开关时，p表示其中一个闭合，另 一个情况不确定。②加强学科之间的横向
沟通，通过图示，深化概念认识。
例3、探讨下列生活中名言名句的充要关系。（补充例题）
（1）头发长，见识短。 （2）骄兵必败。
（3）有志者事竟成。 （4）春回大地，万物复苏。
（5）不入虎穴、焉得虎子 （6）四肢发达，头脑简单
[说明]通过本例，充分调动学生生活经验，使得抽象概念形象化。从而激发学生学习热情。
四、巩固练习1、课本P22——练习1.5（1）
2：填表（补充）
p q p是q的
什么条件

q是p的
什么条件






x0

xy0






两个角相等

两个角是对顶角

x20
两直线平行
四边形是平行边形
ac=bc
(x2)(x3)0
内错角相等
四边形对角线相等
a=b

[说明]通过练习，及时巩固所学新知，反馈教学效果。
五、课堂小结
1、本节课主要研究的内容：
推断符号，⇏
充分条件的意义 命题充分性、必要性的判断。
必要条件的意义
2.充分条件、必要条件判别步骤：① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
3、充分条件、必要条件判别技巧：① 可先简化命题。② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
六、课后作业 书面作业：课本P24习题1.5——1，2，3。
七、教学设计说明
1、充分条件、必要 条件以及下节课中充要条件与集合的概念一样涉及到数学的各个分支，用推出关系的形式
给出它的定义， 对高一学生只要求知道它的意义，并能判断简单的充分条件与必要条件。
2、由于“充要条件”与命题 的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题
的真假入手，来分析命题 的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条
件”的概念。 3、教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性， 在
教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为 逆否命
题的等价性来引出“必要条件”的概念。
4、由于这节课概念性、理论性较强，一般的 教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键。
教学中始终要注意以学生为主，结合相关 学科及学生生活经验让学生在自我思考、相互交流中去给概念“下定
义”，去体会概念的本质属性。
1.5（2）充分条件，必要条件（充要条件）
一、教学目标设计
理解充要条 件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分必要性；掌握判断命题的条件的充要性的方法；
在充要 条件的学习过程中，形成等价转化思想。
二、教学重点与难点
理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价（充要）关系的判断既是本节重点，也是本节难点。
三、教学流程设计



四、教学过程设计
一、复习引入
问：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？

答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。
练习： 判断下列各命题条件的充分性和必要性
(1)若x>0则x>0（充分不必要条件）。
(2 )若两个角相等，则两个角是对顶角。（必要不充分条件）。(3)若三角形的三条边相等，则三角形的三个角< br>相等。(充分必要条件)
(4)若x是4 的倍数，则x是6的倍数（既不充分又不必要条件）
（5）若a，b为实数，
ab
，则
ab
。(充分必要条件)
二、概念形成
22
2
复习引入
概念
解释
充要条件
(概念形成)
巩固练习
例题
解析
1、结合 问题进行说明：命题（3）中：因为三角形的三条边相等三角形的三个角相等，所以“三角形的三

条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相等三角形的三条边相等 ，所以
“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的必要条件。因此“三角形的三条边相等” 是“三角形
的三个角相等”既充分又必要的条件。
2、充要条件定义
一般地，如果 既有α⇒β，又有β⇒α，就记作：α⇔β（“⇔”叫做等价符号），那么α既是β的充分条件，又是β
的必要条件，我们称为α是β的充分而且必要条件，简称充要条件。
[
说明
] ①< br>可以解释为α
⇔
β，α与β互为充要条件。
②
可以进一步解释为：有它 必行，无它必不行。
③
可以结合
实例解释为：如
|x| = |y|
与
x
2
= y
2
互为充要条件，即若
|x|=|y|
，则一定有
x
2
= y
2
；若
|x|
≠
|y|
，则 一定有
x
2

≠
y
2
。

三、概念运用与深化（例题解析）
例1： 指出下列各组命题中，α是β的什么条件（在“充 分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、
“既不充分也不必要条件”中选出一种）？ （补充例题）
（1）α：(x-2)(x-3)=0；β：x-2=0.
（2）α：同位角相等；β：两直线平行。
（3）α：x=3； β：x
=9。
2
（4）α：四边形的对角线相等；β：四边形是平形四边形。
解：（1）因x-2=0 (x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0⇏x-2=0.
所以α是β的必要而不充分条件。
（2）因同位角相等⇔两直线平行，所以α是β的充要条件。
（3）因x=3x
=9,而x=9⇏x=3，所以α是β的充分而不必要条件。
2 2
（4）因四边形的对角线相等⇏四边形是平行四边形，又四边形是平四边形⇏四边形的对角线相等。所 以α是β
的既不充分也不必要条件。
[说明]①可组织学生通过讨论解答各题。②等价关系与 推出关系一样具有可传递性，充要条件间的关系即等
价关系，可通过多次等价关系传递性得证，这也是证 明充要条件问题的一种基本方法。
22
例2：已知实系数一元二次方程
axbx c0
（
a0
），“
b4ac0
”是“方程
ax bxc0
有
两个相等的实数根”的什么条件？为什么？（课本例题P21例5）
2
2
解：方程
axbxc0
变形为
(x
b
)
2

b4ac
.
2
2a4a
∵
b
4
ac
0
∴
x
1
x
2

2
∴“
b4ac0
”是“方程
axbxc0
有两个相等的实数根”的充分条件。
反过来 ，方程
axbxc0
有两个相等的实数根
x
1
x
2
，那么根据方程根与系数关系得
2
22
b

2a
b

xx2x
21

1
2a
∴
b
2
4ac0


c

x
1
x
2
x
1
2

a

22< br>∴“
b4ac0
”是“方程
axbxc0
有两个相等的实数 根”的必要条件。
综上所述“
b
4
ac
0
”是“方程
axbxc0
有两个相等的实数根”的充要条件。
22
[说明]充分性证明：条件⇒结论；必要性证明：结论⇒条件。
四、巩固练习
课本P22——练习1.5（2）1，2
补充练习
1、判断下列各命题条件是否是充要条件：
(1)x是6的倍数，则x是2的倍数。（充分不必要条件）
(2)x是2的倍数，则x是6的倍数。（必要不充分条件）
(3)x既是2的倍数也是3的倍数，则x是6的倍数。(充要条件)

(4)x是4的倍数，则x是6的倍数。（既不充分又不必要条件）
2、完成下列表格
α
ab≠0
(x+1)(y-2)=0
方程ax
+bx+c=0(a≠0)有
2
β
a≠0
x=-1或y=2
△=b-4ac>0
x+2x-3=0
a=0
m是2的倍数
2
2
α是β的什么条件






两个不相等实根
x=1或x=-3
a-b=0
m是4的倍数
五、课堂小结
内容小结
本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果α⇒β，又有β⇒α，则α是β的充要条件。
方法小结：如何判断充要条件
判别步骤：
① 认清条件和结论。② 考察p⇒q和q⇒p的真假。
判别技巧：
① 可先简化命题。② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
六、课后作业
1、书面作业：习题1.5 ----4,5,6,7,8,9
2、完成下列表格
α
n是自然数
x>5
m、n是奇数
a>b
β
n是整数
x>3
m +n是偶数
a>b
22
22
α是β的什么条件




3、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“ x∈M∩P”的什么条件？（“x∈M或x∈P”
是“x∈M∩P”的必要不充分条件）
七、设计说明
1．在理解充要条件意义时，应明确若α是β的充要条件，则β也是α的充要条件。
2．由于 “充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”紧密相关。而学生在这之前已经学习了原命
题与 逆否命题、否命题与逆命题是等价的。为此，在实际教学中，可通过等价命题进行判断。
3．回答α是 β的什么条件时，应从α是β的充分但不必要条件，必要但不充分条件，充要条件，即不充分又不必
要条 件4个方面进行明确叙述。
4．由于这节课概念性、理论性较强。一般的教学使学生感到枯燥无味。为 此，激发学生的学习兴趣是关键。
把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学生为主，让学生自己构造数 学题，自我感知数字美，从而培养学生
的数学能力。

1.6 子集与推出关系
一、教学内容分析
《子集与推出关系》是上海市新课程改革推行以来，试验本教材中新增加的一节教学内容，它安排在第
一章的最后一节，以往上海的教材中是没有这部分内容的。这节内容的增加对第一章中集合、条件推出等 知识
作了一个系统的整合，使教学内容更为完善，也让学生初步了解了集合知识在现代数学中的重要作用 。
二、教学目标
1、理解集合的包含关系与推出关系的等价性，并掌握用集合间的包含关系进行推理的方法；

2、逐步形成逻辑思维能力及等价转化思想，了解集合知识的广泛应用性；
3、进一步树立辩证唯物主义观点，增强热爱家乡，热爱祖国的民族情感。
三、教学重点及难点
教学重点：集合间的包含关系与推出关系的理解与运用
教学难点：子集与推出关系等价性
四、教学过程设计
一、 课程引入 1．复习充分、必要条件
2．引例：
用“

”，“

”，“

”，“

”填空：
(1)｛
xx
是奉贤人｝________｛
xx
是上海人｝ 我是奉贤人 ________ 我是上海人
(2)x>5 ________ x>3 {x|x>5} ________ {x|x>3}
(3){x|x=1}_______{x|x=1} x=1 _______ x=1
3．讨论
从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？
α

β；反之，若α

β，则A

B。
二、学习新课
1。概念辨析
(1)定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。
(2) 一般地，证明：
①充分性（“A

B”

“α

β” ）
②必要性（“α

β”

“A

B” ）
(3)进一步剖析引例中的条件关系。
2. 例题分析
例1：请同学们四人一组， 每人举出α、β，然后利用集合与推出关系共同讨论α是β的什么条件？(学生自行给
出，小组研究)
结论：
(1)
(3)
设A＝{a|a具有性质α}，B＝{b|b具有性质β}，
我们可以发现，将符合具有性质 α的元素的集合记为A，将符合具有性质β元素的集合记为B，若A

B，则
22借
助
图
示
法



(2)

A

B

α是β的必要条件；

A B

α是β的充分非必要条件；
(4)

A B

α是β的必要非充分条件；
(5) A＝B

α是β的充要条件。
例2：设α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，α是β的充分条件，求实数m的范围。
3．问题拓展
若上题中α是β的必要条件，求实数m的取值范围。
三、巩固练习 课本P24 练习1.6(1.2)
四、课堂小结
1、在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手：
方法一：逻辑推理
方法二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题
2、通过本节课的学习 ，我们把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来，同时我
们用到了等价转化 思想，这充分体现了集合论在现代数学中的基础作用。
五、作业布置 习题册P9(习题1.6 A组)
六、教学设计说明
为了达到预期的教学目标，本堂课主要采用启发引导式的教学方式 ，以教师的设问为开始，以学生的探究
为主线，将“问题探索”的过程还给学生，结合师生、生生的互动 交流，在学生的“最近发展区”启发引导他
A

B

α是β的充分条 件；

们去分析问题，发现规律，使他们真正成为学习的主人，主动地和生动地进行认知 建构，从中体验到知识的获
得过程。
为了突破教学难点，我首先通过引例中的三个问题让学生 复习集合的包含关系及条件等知识，为子集与推出
关系的研究作好必要的知识准备。
由引例学 生感性、直观地得出了具体问题中子集与推出关系的联系，并进一步通过归纳猜测得到了子集与推
出关系 等价的一般结论。在思考的过程中，培养了学生锲而不舍的科学研究精神，并渗透了热爱家乡、热爱祖
国 的民族精神教育，进一步激发了他们的学习热情。
等价性的证明对学生而言，既抽象又难以理解，为了 降低难度，在具体教学中我适当设置了坡度，先由教师
示范充分性的证明，再通过教师的引导由学生模仿 完成必要性的证明，提供学生亲身感受和体验的机会，把学
知与学做紧密结合起来。学生对等价性的认识 顺利地由感性认识上升到了抽象的理性认识的层面。
在对课堂教学理念的理解和实施上，我以一种开放 的形态展示于学生之前，努力创设“自主、合作、体验、
发展”的课堂研究氛围。以例1为载体，通过学 生思考，分组讨论自行解决问题，并通过对概念的进一步剖析，
将子集与推出关系的等价转化为子集与条 件关系的等价，使学生对集合的包含关系与条件推出关系有了更为确
切的理解。
通过例2的研 究，进一步加深了学生对子集与推出关系的认识，体现了数学训练的发展性。同时通过问题变
式，让学生 课后去思考，不仅是对课堂40分钟的延续，而且有助于培养学生锲而不舍的科学研究精神和追求完
美、 超越自我的学习态度。
一、教学内容分析
这节内容是本教材新增内容，探讨集合的包含关系 与命题的推出关系之间的联系。在第一章中，继集合的有
关内容、四种命题形式、充分条件与必要条件之 后进行学习，将集合与命题加以沟通，融为一体，是对本章知
识的一个完善，体现了数学知识的统一性， 并有助于学生更深刻地领会有关概念，提高综合运用能力。
二、教学目标设计
了解集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；领会集合与命题之间的对应关系，学会运用。
三、教学重点及难点
集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；集合与命题之间的关系在解决问题中的灵活运用。
集合的表示
方法及包含
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习引入
1、复习：
（1）集合的表示方法以及集合之间的关系。
（2）命题与推出关系。
2、思考： 集合与命题之间有什么联系。
[说明]复习相关知识，从本章的课题“集合与命题”引入新课。
二、学习新课 1．建立联系
（1）集合与命题
集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反 过来，给定一个明确的性质，则
符合这一性质的对象可以组成一个集合。在这里，描述元素特征性质的语 句可以看作是命题。因此，集合与表
集合与命题
子集与推出关系
运用及深化理解
命题与推出
关系
1.6子集与推出关系

述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。
集合



题的推出关系之间的联系。
因为“
x 5
”可推出“
x3
”，所以，若
xA
，则
xB
，即
AB
。 反之，如果
AB
，即若
xA
，
则
xB
，那么可由“
x5
”推出“
x3
”。
因此，“
AB
”与“
x5x3
”等价。（填入上表）
集合


元素的性质（命题）
（2）子集与推出关系

[说明]启发学生发现集合与命题的联系，并用表格的形式表示。在此基础上，进一步探讨集合的包含关 系与命
A

xx5

元素的性质（命题）
x5

x3

B

xx3
A

xx5

x5

B

xx3

AB

x3

x5x3


把上述结论推广到一般性，设
Aaa具有性质

，
Bbb具有性质

，则“
AB
”与“


”
等价。（证明略）
集合


Aaa具有性质

Bbb具有性质

AB

AB

AB


元素的性质（命题）

















[说明]引导 学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，再把包含关系与推
出关系 进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。
2．例题分析
例1：判断命题

:x1
，

:
x
1
之间的推出关系。
1
，
B

1,1< br>
，
AB
因此



。
解 ：设
Axx1
，
Bxx
2

1
，
 A


*
例2：判断集合
Ann5k,kN
，< br>Bnn的个位数是5,nZ
之间的关系。



2



解：设

:n5k,kN
，< br>
:n是个位数是5的整数
，




，< br>BA
。
[说明]通过例1、例2，让学生初步体会判断集合之间的包含关系或判断 命题之间的推出关系可以相互转化，
互为所用。
例3：设

:1x3< br>，

:m1x2m4,mR
，

是
的充分条件，求
m
的取值范围。
解：设
Ax1x3
，
Bxm1x2m4,mR
，



是

的充分条件，



，
AB
，

*


m11,
1

1

解得
m0
。所以
m

,0

。


2

2


2m43.
[说明 ]透彻理解“子集与推出关系”，集合、命题、充分条件与必要条件等知识的综合运用。

3．问题拓展
思考：求集合的交集、并集、补集的运算与命题有什么联系？
[说明]进一步完善集合与逻辑用语的联系，为学有余力的学生创设一个发展空间。
三、巩固练习 练习1.6
四、课堂小结
理解集合与命题的关系，领会集合的包含关系与命题的推出关系之 间的联系，根据所给条件能自觉将子集与
推出关系进行转化，从而顺利解决问题；在解决问题的过程中， 体会数学知识的统一性，将相关内容融会贯通。
五、作业布置 习题1.6
六、教学设计说明
《子集与推出关系》一课理论性较强，不要求也不能够死记硬背，而要 从本质上理解，才能领悟其实质并
灵活运用。在本课的教学设计中主要注意了以下三点。
1、 从具体到抽象，从特殊到一般。《集合与命题》向来作为高中数学学习的第一章，但为什么要将集合和命
题放在一起，有学生没想过，也有学生想过，但弄不明白，1.6节正好可以解答这个疑问。怎么提出这个课题< br>而又不觉得突兀是这节课首先要考虑的问题，因此，本课从复习集合与命题的相关知识引出集合与命题联系 的
探讨。然后，分成两个步骤：先从具体的例子当中元素的性质表述抽象出一般集合中元素的性质表述， 建立集
合和命题的联系；再从两个特殊集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系推广到两个一般集合 的包含关系
与命题的推出关系之间的联系，建立起子集与推出关系的等价关系。这样，学生对知识的学习 顺理成章，易于
理解。
2、将引例与主要知识以列表的形式呈现。学习理论性较强章节的知识 ，学生往往忙于接受、逐步理解，无暇
抓住关键，因此，把集合与命题、子集与推出关系这些“联系”用 列表的形式给出，学生一目了然，易于把握
课堂节奏，逐层习得知识；并且表格的形式有助于对集合与命 题“对应关系”的理解。
3、以引领学生多思考、多交流为中心。理论性强的课，学生容易感到枯燥， 这样一来，更不利于学生对知识
的理解。所以，在教学的各个环节中，以学生为主体，引导学生动脑思考 ，鼓励学生谈感悟，力求让学生自己
去提出课题，寻找联系，发现结论，严密论证，尝试运用。
2.1不等式的基本性质
一、教学目标设计
理解用两个实数差的符号来规定 两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并
能加以证明；会用不等式的基 本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。渗透分类讨论的数
学思想。
二、教学重点及难点
应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
三、教学流程设计
运用类比由等
从实际出发，阐明
式性质探究不
研究不等式性质

等式性质
的重要性。



四、教学过程设计
一、 引入
公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等 的数量关系，可以用不等式来处
理。
通过例题巩
固不等式的
基本性质

不等式的基本性质的
应用：比较两个实数的
大小；解不等式；介绍
反证法。

引导学生证
明不等式的
基本性质
归纳小结，
布置作业

在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题 ，为了今后学习函数的需要和
培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。而解决不等关系问题的基础 是不等式的性质，为此我们先学习
不等式的基本性质。
二、探究不等式的基本性质
判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即
a

b的充分必要条件是a-b

0；
a

b的充分必要条件是a-b

0；
a

b的充分必要条件是a-b

0。
引出等式的性质： a=b，b=c

a=c；
a=b

ac=bc；
a=b，c=d

a+c=b+d。
1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论：
结论1 如果a

b，b

c，那么a

c。
结论2 如果a

b，c

d，那么a+c

b+d。
结论3 如果a

b，那么ac

bc。。
[说明]引 导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。利用举反例是证明命题错误的主要
方法。 继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。得出不等式的三个性质：
性质1 如果a

b，b

c，那么a

c。
性质2 如果a

b，那么a+c

b+c。
性质3 如果a

b，c

0，那么ac

bc；如果a

b，c< br>
0，那么ac

bc。
性质4 如果a

b，c

d，那么a+c

b+d。
2．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例。
（1）如果a

b，c

d，那么ac

bd。
（2）如果a

b

0，那么0

[说明]利用已 经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质（3）的使用前提；对于不正确的
命题进行修 正，得到不等式的另外两个性质
性质（5）如果a

b

0，c

d

0，那么ac

bd。
性质（6）如果a

b

0，那么0

3．探讨不等式在进行乘方，开方运算 时具有的性质：
nn
*
性质（7）如果a

b

0，那么a

b
（n

N）
11

。
ab
11

。
ab
n
性质（8）如果a

b

0，那么
n
a
行证明的主要步骤。
三、例题分析
例1．判断下列命题的真假。
b
（n

N
*
，n

1）。
[ 说明]根据性质（5），由特殊到一般进行归纳得出性质（7）。介绍用反证法证明性质（8），归纳用反证法进
（1）若a

b，那么ac

bc
。 （假命题）
22
（2）若ac

bc
，那么a

b。 （真命题）
22
bd

，那么
bcad
。 （假命题）
ac
nn
（5）若
a,bR,ab
，那么
ab
。 （真命题）
（6）若
a,bR,ab1
，那么
1a1b
。 （真命题）
2
2
例2．（1）比较
(a1)
与
aa1
的值的大小。
22
（2）比较
ab
与
2(2ab)5
的值的大小。
2
（3）比较
x
3
与
3x
的值的大小。
2
2
解：（1）由
(a1)
-（
aa1
）=3a， 得
22
22
当
a0
时，
(a1)

aa1
；当
a0
时，
(a1)
=
aa1
；
（4）若
（3）若a

b，c

d，那么a-c
b-d。 （假命题）

2
当< br>a0
时，
(a1)

aa1
。
2
22
（2）由
ab
-[
2(2ab)5
]=
(a2 )(b1)
，
22
当
a2且b1
时，
ab< br>=[
2(2ab)5
]；
22
22
当
a2或 b1
时，
ab

[
2(2ab)5
]。
（3）由
x
3
-
3x
=
(x)
2
[说明]应用不等式的性质，采用“作差法”比较两数（式）的大小。“比较法”的主要步骤是作差——变形（化
简，配方，因式分解）——判断——结论。
例3．解关于
x的不等式m(x2)xm
。
解：移项整理得
(m1)xm
，
如果
m1
，那么
x
3
2
2
33
0
，得
x
2
3

3x
。
44
如果
m1
，那么不等式的解集为R。
四、拓展练习
1．有三个不等式
ab0,
个？
2．若
c1,试比较amm
；如果
m1
，那么
x
；
m1m1
[说明]此题重点强调在解不等式过程中，根据不等式的性质进行分类讨论。 < br>cd
,bcad
，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成正确命题有几< br>ab
c1c,bcc1的大小
。
11
a
2
2
b
2
2
3．若a，b为正实数，比较
()()
与ab
的大小。
ba
x2x3
4．（1）解关于x的不等式
1
2
(kR,k0)
。
k
k
（2）若上述不等式的解集为X=（3，+

），求k的值。
五、作业布置 教材练习2.1(1)，练习2.1(2), 练习2.1
六、教学设计说明
不等式的性质 是建立在实数运算与顺序关系的基础上的。课本中重点突出三条性质，传递性及不等式对加法、
乘法的单 调性。代数证明对学生来说是陌生的，抽象的，但却是非常重要的。举反例是是判断否定题的最基本
方法 ，在教材中反复强调，虽然看似简单，但能否自觉的运用，对学生来讲，还有一个过程。教案例题基本是
来自课本，不过在有些问题的处理上，将证明题变为问答题，让学生去探究，增加了难度，同时也会使学生理解的更深刻，面对一个数学问题，要么举反例否定，要么运用公式定理证明，这是解决数学问题的重要方法，
应不断引导学生用这种方式思考问题。反正法比较难理解，老师要讲清楚原理，方法，以及应注意的问题 。
2.2（1）一元二次不等式的解法
一、教学目标设计
掌握用二次函数的图像 解一元二次不等式的解法。了解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，
体会数形结合、 化归的数学思想。形成利用一般与特殊的关系来解决数学问题的能力。
二、教学重点及难点
一元二次不等式的解法。利用二次函数的图像解一元二次不等式。
三、教学流程设计
探索简单的一元二次
从实际问题中引入一元


进一步探索不
ax
二次不等式。提出问题：
如何解一元二次不等式。
2
不等式的解法。归纳
出用二次函数的图像
解一元二次不等式的
用所学的方 法解决
引入时的实际问题
填表。交流各
系数均为字母
的一元二次不
等式的解集
巩固练习和拓
展联系
bxc
0

a0


和
axbxc
0

a0

的解
2
四、教学过程设计

一、新课引入
1．实例
在 交通繁忙的路段，交通管理部门出于车辆安全和畅通的考虑，对汽车的行驶速度有一定的限制，超速行驶
被视为违规。因为汽车在遇到紧急情况时，即使司机马上刹车，但由于惯性的作用，刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫做刹车距离。车速越快，刹车距离越长，事故发生的可能性越大。实
验表明，某种型号的汽车当速度每小时小于100千米时，若行驶在水泥路面上，则汽车的刹车距离s（ 米）与
汽车的车速x（千米时）有如下关系：s=0.00526x
2
+0.0000 78x(x

100)。
在某次交通事故中，测得一肇事汽车的刹车距离大于45. 5米，问这辆汽车的车速每小时至少为多少千米。
根据题意，得0.00526x
2
+0.000078x

45.5。------①
2．提出问题
①是一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次
不等式。
一元二次不等式的一般形式是：
ax
2
bxc0或ax2
bxc0(a0)

如何解一元二次不等式？
[说明]由教材（P
32
）中的实例引出本节课的学习内容。
二、解法探究
为了得到一元二次不等式的一般解法，不妨先研究一个简单的一元二次不等式
x
解法一：原不 等式可化为
(x3)(x1)0
，它等价将

2

2
x
3

0
的解法。
一元一次不等式组。于是可得到原不等式的解集
{x|x1或x3}
解法二、利用数轴 ， －1、3将数轴分成三个部



x30

x30
问题转化为我们学过的
或

x10

x10
分，
x
-1 3
当
x3
时，
x30,x10
所以
(x3)(x1)0

当
1x3
时，
x30,x10
所以
(x3)(x1)0

当
x1
时，
x30,x10
所以
(x3)(x1)0

可得原不等式的解集
{x|x 1或x3}
，还可得到
(x3)(x1)0
解集为
{x|1x 3}
。
2
解法三、利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数< br>yx
2
x
3
取正值时
x
的取值范
围， 即求该二次函数的图像
在
x
轴上方时
x
的取值范围。
y

2
x
3
的图像是一条开口向上的抛
2
物线， 它与
x
轴有两个交点，由方程
x
2
x
3
0
的解可得交点
的横坐标分别是
x1
，
x3
，容易看出，当
x1或x3
时
2
上述函数的图像在
x
轴上方，
x
2
x
3

0
；当
1 x3
时，
2
上述函数的图像在
x
轴下方，即
x
2
x
3

0
，于是可得不等式
解集为
{x|1x3}
。
我们知道，二次函数
yx
2
-1 0 3 x
[说明]解 法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”
的关系可用集合中的交集和并集来说明。解法三 利用二次函数的图象更
加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。
例1．利用二次函数图像解下列不等式。
（1）
x
2
2x30
（2）
x
2
4x40

ax
2
bxc0

的根的判别式
(a0)





b
2
4ac0

b
2
4ac0



b
2
4ac0



yax
2
bxc(a0)
的图像
y

y

y


0



0

0


x

x

x


不等式
ax
不等
ax
2
2
bxc
0

a0

的解集
bxc
0

a0



[说明]点评中强调一元二次方程，一元二次不等式和二次函数之间的联系。由学生归纳如何利用二次 函数的
图像解二次项系数为正的一元二次不等式的主要步骤：求出相应的一元二次方程的解；画出相应的 二次函数的
图像；写出不等式的解集。第2小题函数的图像与x轴相切，教师可提示学生思考如果图像与 x轴相离时的不
等式的解的情况。
例2．填表：
提问：如何解二次项系数为负的一元二次不等式？
[说明]特别注意
0
和
0
时不等式的解集。二次项系数为负的一元二次不等式可通过转化为二次项系数为
正的一元二次不等式或者直接用开口向下二次函数的图像来解。特别注意不等式的
解集为空集或全集时 的条件。

提问：对照表格，如何解不等式
axbxc
0
< br>a0

和
axbxc0

a0

？
22
三、解决新课引入时的实际问题
利用上面介绍的一元二次不等式的解法，可 得①式的解为x>93.00或x<-93.01.根据题意，可推断这辆汽车
在发生交通事故时的车速 应大于93千米时。这条信息将成为车祸责任认定的重要依据。
四、课堂练习 解下列不等式：
（1）2x-3x-2

0 （2）-3x+x+1>0 (3)9x+6x+1>0 (4)4x-x<5 (5)2x+x+1

0
五、作业布置 练习2.2(1)；练习2.2(2)
六、教学设计说明
1．本节课开始引入时利用课 本例子，因为教材的例子是难得的实例，充分利用教材，让学生阅读，也可节省
时间，直截了当明确本节 课的任务。数学教学的本质是思维活动的过程，如何解决提出的问题？将一般问题特
殊化，特例起到抛砖 引玉的作用，再由特殊回到一般，这是数学中处理问题的常用方法。
2．在解
x
2
22222

2
x
3

0
的时候，解 法一是运用了化归的数学思想，把一个生疏、复杂的问题转化为熟
悉、简单的问题来处理。化归的思想贯 穿了解不等式这一章，分式不等式转化为整式不等式，含绝对值的不等
式转化为不含绝对值的不等式，无 理不等式转化为有理不等式，超越不等式转化为代数不等式，高次不等式转
化为低次不等式。
3．本堂课采用让学生自主探究的学习方式，在教师的引导下，通过对几个具有代表性的简单的一元二次不
等式的求解归纳出一元二次不等式的解法。对于程度较好的学生，教师可隐去例2表格中的第一和第二行。利< br>用二次函数的图像不仅解决了求一元二次不等式解的问题，而且还能求解形如
ax
容，教 师要不失时机的渗透，引导学生体会其中的奥妙。
资源信息表
2
ax
2< br>bxc0
(a0)
的不等式。函数、方程、不等式之间的联系是中学数学极其重 要，也是非常精彩的内
bxc
0
，

标 题: 2.2（2）（3）一元二次不等式的解法
教学目标
掌握用区间表示集合的方法；通过变式 教学，学会用一元二次不等式解决几种类型的数学问题，
描 述:
体会数学知识之间的内在 联系，形成逻辑思维能力；初步会用不等式解决一些简单的实际问题，增
加数学学习的兴趣和用已学知识 解决实际问题的意识。
教学重点及难点：用区间表示不等式组的解集；会用不等式解决一些简单的实际问题。

2.2（2）(3)一元二次不等式的解法


一、教学目标设计
掌握掌握用区间表示集合的方法；通过变式教学，学会用一元二次不等式解决几种类型的数学问题，体会数
学知识之间的内在联系，形成逻辑思维能力；初步会用不等式解决一些简单的实际问题，增加数学学习的兴趣< br>和用已学知识解决实际问题的意识。
二、教学重点及难点： 用区间表示不等式组的解集；会用不等式解决一些简单的实际问题。
三、教学流程设计
解不等式组，参考不
等式解集的图示，用
区间表示不等式的解


四、教学过程设计
一、 学习如何用区间来表示不等式的解集
1. 用区间来表示不等式的解集
设a，b都为实数，并且a介绍用区间
表示集合的
方法
在实际生活中
的应用
一元二次不等式
的应用
利用一元二次不
等式求解带参数
的不等式的问题
(1) 集合{x
axb
}叫做闭区间,表示为

a,b

；
(2) 集合{x
axb
}叫做开区间,表示为

a,b

；
(3) 集合{x
axb
}或{x
axb
}叫做半开半闭区 间,分别表示为

a,b

或

a,b

。
（4） 把实数集R表示为（-

，+

）；
把集合{x
xa
}表示为[a，+


；
把集合{x
xa
}表示为(a,+

)；
把集合{x
xb
}表示为（-

，b]；
把集合{x
xb
}表示为（-

，b）；
在上述所有的区间中，a，b叫做区间的端点，以后我们可以用区间表示不等式的解集。
2．区间在数轴上的表示


a

a



a
b
b
x
[a，b]
x
[a，b）
a
b
x
x
[a，+

）
（-

，b]
3．练习： 将上节课中不等式的解集用区间表示。
a
b
x
x
（a，+

）
（-

，b）
a
b
x
（a，b]
a
b
x
（a，b）

二、典型例题
例1．解不等式组： 3x
2
-7x-10

0, ①
2x
2
-5x+2

0 ②
1

解：由不等式①的解集为

1,
10

,不等式②的解集 为


,



2,

，可知原不等式组的解集为

3

2


1

10

，它在数轴上的表示如图：

1,


2,

2

3

 
[说明]：解由两个或两个以上的不等式
组成的不等式组的解，可以将解集表示在同一条数 轴上，这样更直观和清晰。能否在数轴上准确的找到几个解
集的公共部分，对一部分学生解决这个问题有 一定的困难。
巩固练习：解下列不等式组：
（1） x-2x-3>0 , (2) 5-x>4x ,
x+x-2>0 . 3x-5x<0 .
例2．(1)写出一个一元二次不等式,使它的解集为(-1,3).
(2)若不等式ax+bx+3>0的解为-
2
2
22
22
-1
12
2 103 x
1
2
解:(1)(x+1)(x-3)<0,即x-2x-3<0是一个解集为(-1,3)的一元二次不等式.
(2)解法一:可得方程ax+bx+3=0的两个根为-
2
1b5
, 3,且a<0.所以运用根与系数的关系得：-=
且
2a2
33
=-, 即a=-2,b=5.
a2
解法二:方程(x+
1531
2< br>)(x-3)<0即x-x-<0的解为-2222
2
[说明]：要让学生知道解集为(-1,3)的一元二次方程有无数 个,形如ax-2ax-3a<0(a

0)或
ax-2ax-3a

0(a

0)的方程都满足条件,但二次项系数为1的方程只有一个。
拓展练习:若不等式ax+bx+c>0的解集为(-2,3),求不等式cx+ax-b<0的解集.
例3.当k为何值时,关于x的一元二次不等式x
+(k-1)x+4>0的解集为(-

,+

)?
解:函数y= x+(k-1)x+4的图像 是开口向上的抛物线.因为不等式x+(k-1)x+4>0的解集为(-

,+
< br>),
所以整条抛物线在x轴上方,此时方程x
+(k-1)x+4=0的
<0.解得k

(-3,5).
所以当-30的解集为(-

,+

).
2
2
22
2
22
2

[说明] ：等价于问题“当k为何值时，函数y=x
2
+(k-1)x+4的图像全部在x轴的上方”。 教师可以将例3
改编成：“当k为何值时,关于x的一元二次不等式x
2
+(k-1) x+4〈0的解集为空集?”进一步让学生理解一元
二次不等式，一元二次方程和二次函数之间的关联。
拓展练习：当k为何值时，不等式2kx
2
+kx-
3
0对于一切实数x都成立？
8
例4.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应 用税收外，还征收附加税。已知某种酒每瓶销售价为
70元，不收附加税时，每年大约产销100万瓶; 若征收附加税,每销100元要征附加税r元(叫做税率r%),则每
年的产销量将减少10r万瓶.如 果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么r 应怎样确
定?
解:设产销量为每年x(万瓶),则销售收入每年为70x(万元),从中征收附加税额为70xr%(万元), 并且
x=100-10r。
由题意知 70(100-10r)r%

112 即r
2
-10r+16

0 解得 2

r

8。
所以，税率定在2%至8%之间，年征收附加税额将不低于112万元。
[说明]由题意，应该用不等 式解题，若用方程来列式则不能准确的表达题目的意思。需要注意不等式
70(100-10r)r%< br>
112与方程70(100-10r)r%=112所表达的实际意义是不一样的。
巩固练习：距离码头南偏东60

的400千米处有一个台风中心。已知台风以每小时40千米 的速度向正北
方向移动，距台风中心350千米以内都受台风影响。问从现在起多少小时后，码头将受台 风影响，码头受台风
影响的时间大约多久。
三、课堂小结
（1）我们可以借助数轴来求得不等式组的解集。
（2）一些与一元二次不等式有关的问题，可 以转化成相应的二次函数的问题，利用二次函数的图像，通过
判断图像的开口，与x轴的交点情况来帮助 解决问题。
（3）初步了解一元二次不等式在实际生活中的应用
四、作业布置：练习2.2(3),习题2.2
补充练习:
(1)已知集合A={ x
xa0
},集合B={x
x
2
2ax3a
20
},求A

B与A

B.
1kxx
2
(2)不等式<2的解集是R ,求实数k的取值范围.
2
1xx
(3)已知函数f(x)=x+px+q,且f(2)=2,若对于任意实数x恒有 f(x)

x,求实数p，q的值。
（4）某船从甲地沿河顺流航行75公里到达乙 码头，停留30分钟后再逆流航行42公里到达丙地。假如水流每
小时4公里。要在2小时内完成航行任 务，则船速每小时至少需要多少公里？
五、教学设计说明
1．这是两节习题课，通过对几个典型例题的学习，让学生了解和
掌握一元二次不等式的简单 应用，更进一步的了解不等式，方程和函数之间的关联，培养学生化归（不等
式和函数的相互转化）和数 形结合的数学思想，增加数学的应用意识。
四个例题之间的联系不大，可单独处理。教学中设计 了针对例题的巩固练习，拓展练习和补充练习，教师
可以根据学生的实际水平和教学进度自行选取。 < br>2．利用数轴求几个不等式解集的交集或并集，既直观又清晰。但是学生对于这种方法的使用还不熟练，在 课
堂教学中，教师要带动学生积极动手进行实践。
在应用题教学中，学生会习惯于用方程来解 题。教师要帮助学生仔细阅读分析题意，讨论方程和不等式哪
种形式更符合题意，体会一元二次不等式在 实际生活中的应用。
一、教学内容分析
简单的分式不等式、绝对值不等式的解法是高中数学 不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形
转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法 .这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，故需牢固掌握
2
2.3其它不等式的解法

二、教学目标设计
1、掌握简单的分式不等式、绝对值不等式的解法.
2、能对简单的绝对值不等式给出几何解释。3、体会化归、等价转换的数学思想方法.
三、教学重点及难点
重点： 简单的分式不等式、绝对值不等式的解法. 难点： 不等式的同解变形.
四、教学过程设计
一、分式不等式的解法
1、引入
某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果< br>甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍 .
设楼梯的长度为
s
，甲的速度为
v
，自动扶梯的运行速度为v
0
.
于是甲上楼所需时间为
s
s
，乙上楼所需时间为
.
vv
v
0

2
由题意，得
12
ss
. 整理的

.

v
v2v
0
v
v
v
0
2
由于此处速度为正值，因此上式可化为
2v
0
v2v
，即
v2v
0
.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度
的2倍.
2、分式不等式的解法
例1 解不等式：
x1
2
.
3x2
解：（化分式不等式为一元一次不等式组）
5

x1

x1x1x1
0

2

20
0

3x2
3x23x23x2

x1

x1

x10

x10
2
 
或

或
x1
或
x
不存在.




2

2
3
xx

3x20

3x20

3

3

所以，原不等式的解集为


2

2
,1


，即解集为

,1

.

3


3

注意到

x10

x10
x1
或

0



3x2

x1

0
，可以简化上述解法.
3x2

3x20

3x20
aa
< br>0
ab
0
，
0ab0
）化为一元二次不等式） < br>bb
另解：（利用两数的商与积同号（
5

x1

x1x1x1
0

2

20

 0

3x2
3x23x23x2


3x2
x1

0

2

2

x1
，所以，原不等式的解集为

,1

.
3

3

由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：
（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.

（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.
一般地，分式不等式分为两类：
（1）
f

x

；
0
（
0
）

f

x

g

x

0
（
0
）
g

x


f

x


f

x

g

x

0

0

（2）
.
0
（
0
）


g

x
< br>

g

x

0
[说明]
解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的
解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要.
例2 解下列不等式
x12x8
0
. （2）
3
. （3）
2
2
. x535xx2x3
x1
解（1）原不等式

0


x1

x5

0

1x5
，
x5
（1）
所以，原不等式的解集为

1,5

.
（2）原不等式

215x715x7
30

0

0

35x35x5x3
3

7
x


73

15

< br>15x7

5x3

0
5




x
，
155


5x 30

x
3

5

所以，原不等式的解集为< br>
2

73
,

155


.

2
（3）分母：
x2x3

x1

110
，则
原不等式

x82x4x6

2x3x20


x2

2x1

0

22

x2
或
x
1

1

，所以，原不等式的解集为

,2


,

.
2

2

[说明] 例2也可作为课堂练习，就学生所出现的问题，教师做适当讲评.
例3 当
m
为何 值时，关于
x
的不等式
m

x1

3

x2

的解是
（1）正数？ （2）是负数？ < br>解：
m

x1

3

x2




m3

xm6
（*）
当< br>m3
时，（*）

0x9

x
不存在.
当
m3
时，（*）

x
m6
.
m 3
m6
0

(m6)(m3)0

m6< br>或
m3
.
（1）原方程的解为正数

x
m3
m6
（2）原方程的解为负数

x0

(m6)( m3)0

6m3
.
m3

所以，当< br>m

,6

3,

时，原方程的解为 正数.当
m

6,3

时，原方程的解为负数.
二、含绝对值的不等式的解法
（1）实数绝对值定义、几何意义、性质.
① 任意
xR
，定义
x
的绝对值为
x


x, x0
.
x,x0

② 绝对值的几何意义：任意
xR，设数轴上表示数值
x
的点为
P
，
O
为坐标原点，则
xPO
，即
x
表示
P
点到原点的距离.类似地，
x
1
x
2
的几何意义是：数轴上表示数值
x
1
的 点
A
到数轴
上表示数值
x
2
的点为
B
的距 离，即
x
1
x
2
AB
.
③ 任意
xR
，
x0
，等号成立

x0
. ④ 任意
xR
，
xx

xx
.
2
2
2
⑤ 任意
x
、
yR
，
 xxxxx
.
xyxy
，
（2）含绝对值的不等式的解法
例4 设
a
、
b

R
，且
ab
，求下列不等式的解集.

x
x

（
y0
）.
yy
（1）
xa
.
（2）
xb
.
（3）
axb
.

x0

x0

x0

x0
解：（1）
xa


或

或




xaxa0xa0 xa0


xa
或
xa
.
所以 ，原不等式的解集为

,a

2

a,

.
2
另解：
xa0

xa


xa

xa

0

xa
或< br>xa
.
所以，原不等式的解集为

,a

（2）
xb



a,

.
< br>x0

x0

x0

x0
或

或




bx0
或
0x b


xb

xb

xb
< br>xb

bxb
.
所以，原不等式的解集为

b,b

.
另解：
xb

xb


xb

xb

0

bxb
.
2
2
所以，原不等式的解集为

b,b

. < br>

xa
或
xa

xa
（3）axb


，又
0ab



bxb
xb



-a0
xa
a-b0
xb
b

所以，原不等式的解集为

b ,a

a,b

.
由例4我们可以获得含绝对值的不等式的如下重要结论：
设
0ab
，则
（1）
xa

xa或xa
.
（2）
xb

bxb
.
（3）
axb

bxa或axb
.
上述结论的几何意义是比较明显的.
[说明]以上结论对于
a
、
bR
均成立，即
（1）xxa,aRxxa或xa,aR
.（2）
xxb,bRxbx b,bR
.
例5 解下列不等式
（1）
2x35
. （2）




1
2
. （3）
232x5
.
2x3
解（1）原不等式

52x35

22x8

1x4
.所以，原不 等式的解集为

1,4

.
（2）原不等式

2x32

2x32
或
2x32

2x1
或
2x5

x
所以，原不等式的解集为

 ,
15
或
x
.
22


1
 
5


,

.
2

2

（3）原不等式

2|2x3|5

52x 32
或
22x35

1

5
15


22x1
或
52x8

 1x
或
x4
. 所以，原不等式的解集为

1,

,4

.
2

2

22

例6 解下列不等式
（1）
xx2x3
2
2
1
. . （2）
x3x4
. （3）
x5x60
. （4 ）
1x1xx2
解：（1）由绝对值定义得，原不等式

所以，原不等 式的解集为

1,0

.
x

0
< br>
x1

x0

1x0
.
1 x
（2）原不等式

x3x4
或
x3x4
x3x40
或
x3x40

2222

x
不存在或

x1

x4

0
< br>x1
或
x4
，所以，原不等式的解集为

,1< br>
（3）原不等式

x5x60

x2
2< br>
4,

.

x3

0


x2
或
x3

2x2
或
x3
或
x3
.

所以，原不等式的解集为

,3

2,2

3,

.
22


2x3< br>

2x3



x2

< br>2x3x2
（4）原不等式


1



x2



x20

x 2
1



3x
2
16x50


3x1

x5

0

x或
x5
.






3
x2
x2





x2
所以，原不等式的解集为

,2

1

 2,

3


5,

.
[说明] 此例有一定难度，可视学生实际适当选用.
例7 解不等式：
x1x25
.
解：（1）当
x1
时，原不 等式




x1

x1


x2
.


2x4



x1



x2

5


1x2
（2）当
1x2
时，原不等式
< br>
，无解.
x1x25



（3 ）当
x2
时，原不等式




x2

x2



x3
；


2x6


x1



x2
5
综合可得，原不等式的解集为

,2

[说明]
1、几何解释，如图所示.
2、此例可留为课后思考.
三、课堂小结：略
四、作业布置

3,

.
-2-10
123
选用练习2.3（1）（2）、习题2.3中的部分练习.
五、教学设计说明
有关分式不等式和含绝对值不等式的解法可分为两个课时进行.
解分式不等式和含绝对值不等式关键在于同解变形.通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决，这种通过等价变形变“未知”为“已知”的解决问题的方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调.
有关含绝对值不等式的解法应基于初中有关绝对值性质的基础上展开教学.除了从代数角度加以解释外， 可多
考虑一下绝对值的几何含义，帮助学生从不同角度对不等式进行理解，数形结合的思想可做适当的渗 透.
整个教学内容需让学生共同参与，特别是在“同解变形”这一点上，应在学生思考、讨论的基础 上教师、学
生共同进行归纳小结.
一、教学内容分析
基本不等式及其应用是高中教 材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习
诸如不等式证明、求函数 最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十
分重要的.
二、教学目标设计
2.4（1）基本不等式及其应用

1、掌握两个 基本不等式：
ab2ab
（
a
、
bR
）、
决 一些简单问题.
22
ab
，并能用于解
ab
（
a、
b
为任意正数）
2
2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解 代换的数学方法.
3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系 及一定条件下互相转化等
辨证唯物主义观点.
三、教学重点及难点
重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用.
难点 基本不等式的应用.
四、教学用具准备： 电脑、投影仪


五、教学流程设计

六、教学过程设计
一、新课引入
在客观世界中，有些量的
大小关系是永远成立的.
例如，
32
、
a
0
2
新课引入 基本不等式1及其证明 基本不等式1的图形解释
图形引入基本不等式基本不等式2的证
基本 不等式的简单应用（探
作业布置（含课外思考）
课堂小结
（
aR
）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之差小于第三边等等.
二、新课讲授
1、基本不等式1
基本不等式1 对于任意实数
a
和
b
，有
a

b

2ab
，当且仅当< br>ab
时等号成立.
22
（1）基本不等式1的证明
22
证明：因为
ab2ab

ab

0
，所以
ab2ab
.
2
22
当
ab
时，
< br>ab

0
.当
ab
时，

ab
0
.所以，当且仅当
ab
时，
ab2ab
的 等号成立.
22
22
（2）基本不等式1的几何解释
① 解释1
边长为
a
的正方形面积与边长为
b
的正方形面积之和大于等于以
a
、
b
为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅
当
ab
时等号成 立）.
已知正方形
ABCD
，分别在边
AD
、边
DC上取点
E
、
F
，使得
DEDF
.
分别过点< br>E
、
F
作
EGBC
、
FHAB
，垂足为
G
、
H
.
EG
和
HF
交于
点M
.
由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积

剩余部分的面积，
当且仅当点
E
移至
AD
中点时等号成立.
② 解释2某届数学大会的会徽怎样的？
三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现
代数学表述为：
图”中两块“朱实”的面积，

ba

表示“中黄实”的面积. 于是，
2
A
M
ED
a
H
F
b
BG C
c
a
中黄实
如图所示，以
a
、
b
、c
分别表示勾、股、弦，那么，
ab
表示“弦
b
从图中可明显 看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积
就等于以
c
为边长的正方形“弦 实”的面积，即
c

ba

2abb2aba2ab ab

22222
2
朱实
这就是勾股定理的一般表达式.
由图可知：以
c
为边长的正方形“弦实”的面积

四块“朱实” 的面积即，
“弦图”的现代数学图示
a
2
b
2
2ab< br>（当且仅当
ab
时等号成立）.

2、基本不等式2
观察下面这个几何图形.
已知半圆
O
，
D
是半圆上任一点，
AB
是直径.
过
D
作
DCAB
，垂足为
C
.
显然有线段
OD
的长度大于等于垂线段
DC
的长度.
设< br>ACa
，
CBb
，请用
a
、
b
来表示上 述这个不等关系.（ 即
CO
ab
ab
，当且仅当
ab
时等号成立.）
ab
AB
2
ab
基本不等式2 对于任意正数
a
、
b
，有

ab
，当且仅当
ab
时等号成立.
2
ab
我们把和
ab
分别叫做正数
a
、
b
的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正
2
D
数 的算术平均数不小于它们的几何平均数.
（1）基本不等式2的证明
证明：因为
ab2ab
当
ab
时，

2
ab

2
0
，所以
ab
 ab
.
2
ab

ab0
.当
ab
时，

2
0
.
所以，当且仅当
ab
时，
ab

ab
的等号成立.
2
另证：因为
a、
b
为正数，所以
a
、
b
均存在.
由基本不等式1，得
即

a



b
22
2ab
，当且仅当
ab
时等号成立.
ab
ab
，当且仅当
ab
时等号成立.
2
（2）基本不等式2的扩充
ab
ab
，当且仅当
ab
时等号成立.
2
ba
例1 已知
ab0
，求证：
2
，并指出等号成立的条件.
ab
ba
证明：因为
ab0
，所以
a
、
b
同号，并有
0
，
0
.
ab
对于任意非负数
a
、
b
，有
所以，
[说明]
1、体会代换的方法. 2、用语言表述上述结论.
3、思考：若
ab0，则代数式
（
baba
ba
22
.当且仅当

，即
ab0
时等号成立.
abab
ab
A
A
a
中点C
折点M
B
ba

的取值范围是 什么？
ab
M
b
ba

2
，当且仅当
ab0
时等号成立.）
ab
4、两个基本不等式的简单应用
（1）几何问题
例2 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？
猜想：由几何画板电脑演示得出.
M'B

解：设矩形的长、宽分别为
a
、
b
（
a
、
b

R
） 且
abm
（定值），则同样周长的正方形的边长为

ab
.
2

ab

矩形面积
Sab
，正方形面积
S




2

ab

ab

由基本不等式2 ，得
ab
，又由不等式的性质得



2
2

2
2
2

ab
，即
S

S
.

2
2

m

m
由题意，
abm
（定值），所以
S


（定值） .当且仅当
ab
，即矩形为正方形时，矩形的
24

面积最大.
[说明] 当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.
例如，若
0 x1
时，有
x

1x


2
2
11
，当且仅当
x
时等号成立.（事实上，由
42
11
1

1

，得
0y
，当且仅当
x
时 等号成立.）
yx

1x

xx

x


（
0x1
）
42
2
4

三、作业布置
1、练习2.4（1）
2、思考题
（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.
（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？
（3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.
、教学设计说明
本堂课是《基 本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等
式及其初步 应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的
有力 工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.
为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计 算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，
再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的 证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加
强对基本不等式的感性认识，从而达到较 好的教学效果.整堂课主要采用 “观察 —— 猜测 —— 归纳 —— 证
明”的探索流程，让学生 通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、
归纳得出两个基本 不等式.
在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索 题，通过对有关
过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察 —— 猜测”的能力，借用
了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自 我发现、自我探索的过程中.
通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步 理解代换的数学方法有一定要求，
并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.

2.4（2）基本不等式及其应用
22
一、教学目标设计
1、进一步掌握 两个基本不等式：
ab2ab
（
a
、
bR
）、
ab
ab
（
a
、
b
为任意正数）.
22、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明.
3、进一步理解代换的数学方法.

二、教学重点及难点
基本不等式的简单应用.
三、教学流程设计


四、教学过程设计
一、复习
基本不等式1 对于任意实数
a
复习回顾 基本不等式的应用（几何问题）
基本不等式的应用（代数证明） 拓广引申
课堂小结
2
作业布置（含课外思考）
和
b
，有
a

b

2ab
，当且仅当
ab
时等号成立.
2
基本不等式2 对于任意正数
a
、
b
，有
我们 把
ab

ab
，当且仅当
ab
时等号成立.
2
ab
和
ab
分别叫做正数
a
、
b
的算 术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正
2
数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
[说明]复习过程中需强调三点：
1、两个基本不等式各自适用的范围.2、 两个基本不等式各自等号成立的条件.3、两个基本不等式之间的联系.
二、新课讲授
（2）几何问题
根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩 形相邻两边相等即为正方形时，其
面积最大.很自然我们会考虑下面的问题.
例3 在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？

解：设矩形的长、宽分别为
a< br>、
b
（
a
、
b

R
）且
a bm
（定值），则同样面积的正方形的边长为
ab
.
矩形周长< br>C2

ab

，正方形周长
C

4a b
.
由基本不等式2，得
[说明]
ab
ab
，又由不等式的性质得
2

ab

4ab
，即
CC

.
2
由题意，
abm
（定值），所以
C4m
（定值）.当且仅当
ab
，即矩形为正方形时，矩形的周长最小. 1
1
2
，当且仅当
x1
时等号成立.（一方面当
x0
时，有
x2
，当且
1
x

1

x
仅当
x1
时等号成立.另一方面当
x0
时，有

x





2
，即
x 2
，当且仅当
x1
时等号成
x

x
< br>立.）
例如，若
x0
时，
x
两个正数 的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常
常用于求 解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”.
（2）代数证明
例4 求 证：对于任意实数
a
、
b
、
c
，有
abca bbcca
，当且仅当
abc
时等号成立.
222
222222
当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值.
证明： 由基本不等式1，得
ab2ab
，
bc2bc
，
ac2 ac
，
把上述三个式子的两边分别相加，得
2abc
当且仅当
abc
时等号成立.
另证：
abc

222
2

abbcca

，即
a
2
b
2
c
2
abbcca
，

222< br>


abbcca


1
2a
2
2b
2
2c
2
2ab2bc2ca



2

1

222
ab



bc



ac


 0
. 即
a
2
b
2
c
2
abbc ca
，当且仅当
abc
时等号成立.


2

例5 均值不等式链

aba
2
b
2
ab
设
a
、
b

R
，则
（调和均值

几何均值

算术均值

平方均值），当且
11
22

ab

2
仅当
ab
时等号成立.
11


ab
1

1

1

2
ab
，当且仅当< br>ab
时等号成立. 证明：（1）由
a
、
b

R< br>，得
11
2ab
ab

ab
ab
（2）< br>ab
，当且仅当
ab
时等号成立，已证.
2
a
2
b
2

ab

22
22
（3）由< br>ab2ab

2

ab



ab




24
2
2
a
2
b
2


2

ab

42

ab
ab

.
22
aba
2
b
2
所以，当
a
、
bR
时，有，当且仅当
ab
时等号成立.

22

aba
2
b
2
ab< br> 综合（1）、（2）、（3）得，当
a
、
bR
时，有
，当且仅当
ab
时等
11
22

ab

2
号成立.
[说明]事实上当
a
、
bR
时，有： < br>2
a
2
b
2
ab
ab

a b

①
ab

.


，当且仅当
ab
时等号成立. ②
222

2


ab

22
证明：① 由ab2ab


ab

4ab

ab 

，当且仅当
ab
时等号成立.

2

2
2
a
2
b
2

ab
22
22
② 由
ab2ab

2

ab



ab



< br>24
2
2
a
2
b
2


2

ab

4
2
ab
ab
a
2
b
2
ab
ab

. 即，.

22
222
a
2
b
2
ab
不等式等号成立当且仅当
ab
.

22
不等式
ab
ab

等号成立当且仅当
ab0
.
22
a
2
b
2
ab
不等式等号成立当且仅当
ab0
.

22

例6 甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为
a
，后一半 时间
的行走速度为
b
；乙用速度
a
走完前半段路程，用速度
b
走完后半段路程；问：谁先到达B地？
解：设A、B两地的距离为
S
，甲 、乙两人用时分别为
t
1
、
t
2
，则
Sat
1
t
1
b
1
t
1

ab

。
222
SS
1ab

11

1

因此
t
2

2

2
t
1

ab




t
1

2

t
1
。
ab4ba
ab

4

所以，当
ab
时，
t
2
t
1
，甲、乙两人同时到达B地；当
ab
时，t
2
t
1
，甲先到B地。
另解：设A、B两地的距离为S
，甲、乙两人用时分别为
t
1
、
t
2
，平均 速度分别为
v
1
、
v
2
，则
Sab

t
1
t
1

v
Sab


1
t

2
1
22


S12

v
1
v
2
。
SS


v
2



111
t

1

1
2
t
1

2
2




ab

2

a b

ab


因而，当
ab
时，
v1
v
2
，甲、乙两人同时到达B地；当
ab
时，
v
1
v
2
，甲先到B地。
四、作业布置
1、习题2.4 1、2、4、7 2、思考题；均值不等式链的几何解释.
五、教学设计说明
本堂课是《基本不等式及其应用》的第二节课，在学生掌握两个基本不等式 的前提下，介绍了基本不等式
的简单应用.
从上堂课的最后一个几何问题入手，得出例 3的结论，并在此基础上归纳出利用基本不等式求最值（最大
值、最小值）的基本方法.
在讲解完例4有关利用不等式进行简单代数证明后，结合上堂课留给学生的思考题（整理一些基本不等式
的常用变式并给出证明）给出“基本不等式链”.有关“基本不等式链”的证明应由学生给出，一方面作为课堂< br>练习，另一方面也给出了一个重要的不等式结论，这个结论在以后的学习中还会用到.对于说明中的相关内 容，
视学生的情况而定，可由教师做适当引导，也可留为课后思考.
整堂课的教学重在 两个基本不等式的应用.在如何使用基本不等式解决问题（几何、代数）的同时，需对
两个不等式适用的 范围以及各自等号成立的条件做反复强调.

2.5 不等式的证明
一、教学内容分析
有关不等式的证明问题一直是数学中的难点，除一些基本方法外还 牵涉到相当多的技巧问题.作为高一的
不等式证明重在基本证明思路、方法的介绍，所以教材中也不牵涉 过多的技巧问题，主要涉及利用不等式基本
性质以及基本不等式来进行证明.
二、教学目标设计
1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路.
2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.
3、在证明的过程中，加强不等式性质及基本不等式的应用.
4、代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。
三、教学重点及难点
重点 利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.

难点 分析法的基本思路及其表达.
四、教学过程设计
一、比较法
比较法有两种：（1）比差法：求差与
0
比.
例1 求证：（1）
x

x2



x1

. （2）
x2x2
.
2
2
（2）比商法：求商与
1
比，要注意讨论分母的符号.
2
22
证明：（1）因为
x

x2



x1

x2xx2x110
，
所以，x

x2



x1

. 2
2
B
A


1个单位

（2）因为
x

2x2

x2x11

x1

110
，
2
2
所以，
x2x2
.
[说明]本例的几何意义.
低1个单位）.
（2）
yx
的图像在
y2x2
的图 像上方，如图所示（A点比B点高）.
2
2

（1）
yx
x2

的图像在
y

x1

的下方，如图所示（A点比B点
2

ab11

2
2
a0b0
baab
.（补充） 例2 设，，求证：
证明
2
：
A
2
33

ab

11

ababab
a

ab

b

ab


2





< br>＝
2
baababab





1个单位
2

B
2

a


2
b
2


ab
a
2
b
2
ab

ab
< br>
a
2
b
2
2
2


a b

因为
a0
，
b0

ab0
， 又，
等号成立，
ab
22
0
，当且仅当
ab0时
所以，

ab

ab

0
a
2
b
2
2
ab11

2

2
ab0
baab
. 另证：，当且仅当时等号成立.故因为
a0
，
b0
，
所以
ab0
，则
ab
< br>332222
b
2
a
2

ab

abab

ab
1
2ab
1211
11
ab

ab

ababab

ab
.
当且仅当
ab0
时等号成立.又
a0
，
b0

号成立.
[说明] 此例采用了比差和比商两种方法给出证明，由证明过程体会两种方法各自的“优点”.
二、综合法 < br>从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算性质作为依据，推导出要证的结论.这种证明方法称为综合法 .
例3 已知
a
、
b
、
c
均为正数，求证：< br>ab

ab

bc

bc

ca

ca

6abc
.
证明：
ab
ab

bc

bc

ca

ca

ababbcbccaca

222222
11ab11
0
，故
2

2< br>
.当且仅当
ab0
时等
abbaab


abbc2

abc

2abc
因为
a
、
b
、
c
均为正数，由基本不等式2和不等式性 质得：

2
b
2
cca
2
2
bca

2abc



a
2
b bc
2



b
2
cca
2



c
2
aab
2

6abc

22

abbc

即，
ab

2< br>ab

bc

b
2
c

c a

ca

6abc
.
2

2
caab
2
2

cab
a
2
2
abc
2
bc
当且仅当

bcca
2

abc0
时等号成立.


c
2
a
ab
2
b)bc(bc)ca(ca)6abc
成立 . 所以，不等式
(a
ab

2
例4 已知
a
、
bR
，求证：
2

a
2
b
2


ab

.
2
22222222证明：
2

ab

a

ab

ba2abb

ab

.当且仅当
ab< br>时等号成立.所以不等式
2(a
2
b
2
)(ab)2
成立.
2


a
2
bbc
2
b
2
cca
2
c
2
aab
2
，
22

x
2
2
例5 求证：
x1
2
2
.
2
x110
，由基本不等式得， 证明：因为
x
2
 2
x1
2
x


2
1

1
x1
2
x
2
1
1
2
1
x 1
2
2x
2
1
1
x1
2
2< br>.
x1
当且仅当
2
x
2
2
2
x1

x11

x0
时等号成立. 所以，不等式
x1
2
2
成立.
[说明] 此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法.
例6 求证：
aba
2
1b
2
1
1
2
ab
2
1< br>
.

2
证明：一方面，
a
2
1b< br>2
1


< br>当且仅当

2
222

a1b1aab1
2

b
2




a
2
2abb
2


ab

2
a bab
.

ab1
时等号成立.

ab0
2
另一方面，
a1

b1
2
a12
2


2
b1
2

2

1
22
ab

1
.当且仅当

2a
2
1b
2
1

ab
时等号成立.

ab1
1
2

222
所以，
ab a1b1

ab

1
，当且仅当

a b0

ab1
等号同时成立.
2

ab

[说明]利用基本不等式证明此例有一定难度，可适当选用.
三、分析法
从要 证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否
成 立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法.
分析法也可以如下叙述为：
欲证结论
Q
，需先证得
P
1
，
欲要证得
P
1
，需先证得
P
2
，

欲要证得
P
2
，需先证得
P
3
，……………………………，
欲要证得
P
n1
，需先证得
P
n
.
当
P
n
成立时，若以上步步可逆，则结论
Q
成立.用数学语言表述，必须保证下 述过程成立：
Q

P
1

P
2

P
3

…

P
n1

P
n< br>，因为
P
n
成立，所以结论
Q
成立.
[说明]
分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.
例7 求证：
137
.
证明：因为
130
，< br>70
，则要证
137
成立，
2
2
即证
13(7)7
成立， 即证
4237
成立.
2
2
即证
233
成立 ，即证
233
成立，即证
129
成立.
因为
129
成立，且以上步步可逆，所以，
137
.



d
2



acbd

成立， 222222222222
即证
acadbcbd

ac2ac bdbd
成立 即证
a
2
d
2
2
ad

bc

b
2
c
2
0成立，
2
即证

adbc

0
成立，
2
由
adbc

adbc0

(a dbc)0
成立，且以上步步可逆，故有


a
2
b
2

c
2
d
2


< br>acbd

2
.
例9 设
a
、
bR
，求证：
ababab
，并指出等号成立的条件.
证：先证“
abab
”.
注意到
ab0
，ab0
，则对于任意
a
、
bR
，要证
aba b
成立，
2
2
2222
即证
ab

ab

成立， 即证
a2abba2abb
成立，
即证
abab
成立，
由绝对值定义知，任意
a
、
bR
，都有
abab
，且以上步步可逆，因而
abab
，且等号成立

ab0
.
再证；“
abab
”.
由
ab0
，
ab0
，则对于任意
a
、bR
，要证
abab
成立，
2
2
2
2
即证
abab
成立， 即证

ab



ab

成立，
22
22
即证
a2abba2abb
成立，
即证
abab
成立，
由绝对值定义知，任意
a
、bR
，都有
abab
，且以上步步可逆，因而
abab，且等号成立

ab0
；
综上可得，任意
a
、bR
，不等式
ababab
成立.
例9证明的不等式对任 意的实数
a
、
b
成立，以
b
换
b
得到的 不等式
ababab
，即
ababab
也成立，此 时，右端等号成立

a

b

0

a b0
，左端等号成立

a

b

0

ab0
.
以上证得的两个不等式，是绝对值不等式的重要性质，称之为三角不等式 对于任意
a
、
bR
，
（1）
ababab< br>，左端等号成立

ab0
，右端等号成立

ab0
.
（2）
ababab
，左端等号成立

ab0< br>，右端等号成立

ab0
.
证明：要证
ab
222
2
例8 已知：
adbc
，求证：
(ab)(cd)(acbd)
. 22222

c
[说明]有关三角不等式的教学是讲全还是选讲其中部分，可 适学生的具体情况而定.
例10 已知
xa

证明：由三角不等式可得：
2
，
ya

2
，求证：
xy

.
xy

xa



ya

xaya
[说明] 此例为练习2.4（5）中的一题.
六、教学目标说明

2


2


.所以，
|xy|

.
五、作业布置 选用练习2.4（4）（5）（6）、习题2.3中的部分练习.

有关不等式的证明可分为两个课时进行.第一课时为比较法、综合法；第二课时为分析法.
有 关不等式证明问题的教学应侧重于基本思路与基本方法的讲解，难度不易过高，特别是在证明的技巧性上
需严格控制，只需对不等式的基本性质以及基本不等式做适当应用即可.
教学中的难点为分析法的讲解 ，一定要慎重.讲清思路以及它的理论依据，特别在书写格式上应提出严格的要
求，防止学生出现证明过 程由结论推至条件的严重错误.
三种方法介绍完之后，师生应有所归纳与小结，理清证明思路.事实 上，一题往往会有多种证法，关键在于
对题目的分析，选用哪种证法更为合适显得尤为重要.

3.1（1）函数的概念
一. 教学内容分析
根据3.1函数的概念内容，分为两 个课时，第一课时学习的内容是函数的概念与求函数的定义域，第二课时
学习表达函数的（解析法、列表 法、图象法）三种方法和利用对应法则求函数值。下面是对函数的概念第一课
时内容的分析.
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于高中数学.在初中阶段,通过身边的事例和生活< br>中的实例,学生认识了变量、自变量、因变量，知道函数的定义域、函数值、值域等概念，体会函数的意义 ,总结
了表示函数的常用方法，学生对函数的意义已经有了不同程度的理解.
通过对不同阶段 对函数有关概念的教学目标的不同要求，进行细致分析与比较.高中阶段应该在初中学习函数
的基础上， 进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映，运用集合与对应的语言刻画函数，加深理解函数
的概念 ，充实函数的内涵.懂得函数的抽象记号以及函数定义域、值域的集合表示，掌握求定义域的基本方法。
再从直观到解析、从具体到抽象研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质.
二.教学目标设计
加深理解函数的概念，懂得函数的抽象记号，掌握求函数定义域的基本方法，领会集合思想、对应思想 、模
型思想.
经历从具体情境中抽象出数学符号的过程，体验函数是反映两个变量相互依赖的 数学模型，是揭示两个变量
变化规律的有效工具。掌握符号语言之间的相互转换.
懂得函数与日常生活的密切联系，知道数学内容中普遍存在着运动、变化、相互联系和相互转化的规律.
三、教学重点及难点：理解函数的概念，并能用集合与对应的语言正确刻画函数.
四、教学流程设计
创设情景引入



五、教学过程设计
一、 创设情景 引出新课
时间在变化、生产在增长、人 口在增加……，世界充满着各种变化的量，在我们的日常生活中，也处处存
在着量与量之间的关系.
以课本(P53)的中外城市的喷水池和某地出租车价格的规定为例，引导学生思考.
（1） 喷水池和出租车价格问题中都存在着哪些两个主要变量？
（2） 喷水池和规定出租车价格问题中是否存在着某种对应关系？
引导学生得出: 喷水池问题中有两个变量：时间与水珠位置高度;
出租车价格问题中有两个变量：里程与车费.它们按 照一定的法则相互对应,其中一个量（时间或里程）的任
何一个值，都有另一个量（高度与车费）的唯一 确定的值与之对应.它们都体现了从
x
的集合到
y
的集合的一种
引导 思考回顾 辨析函数概念
精选例题分析
练习巩固反馈 总结归纳提升

对应关系,这种关系就是函数关系.
引导学生回顾在初中阶段，学过那些具体的函数.
我们学过了正比例函数、反比例函数、一次函数和二 次函数，它们都体现了从
x
的集合到
y
的集合的一种对
应关系,这种 关系就是函数关系.
[说明]通过列举日常生活中的实际问题，说明研究和处理变量之间的关系是人类 生活和科技发展的需要，在
数学中，函数正是反映了变量与变量之间的关系和事物变化的规律，说明我们 学函数的必要性.并能运用集合思
想、对应思想来理解函数的概念.
二、给出定义 辨析概念
1.辨析概念
下面进一步把函数的概念叙述如下：
如果在某个变化的过程中有两个 变量
x,y
，并且对于
x
在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则
f
，
y
都有唯一确定的值和它对应，那么
y
就是
x
的函数，
x
叫做自变量，
x
的取值范围叫做函数的定义域，
和
x
对应的
y
的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，
y< br>是
x
的函数，记作
yf(x)
.
问题1.
yx21x
是不是函数？ 问题2. 给出下列的三组函数:
2
0
x
2
x
①
yx1
与
y (x1)
; ②
y1
与
yx
; ③
y
与
yx1
;
x
其中表示同一个函数的是______.
问题3:指出下列函数的对应法则: ①
f(x)2x1
②
f(x)
问题4.下列图象不能表示函数的是_______.

y
1
2
2
③
f(x)3(x1)2
.
x
y
1
y
1


-1
O
-1
x

-1
O
-1
x
-1
O
x
(9
(1) (2)

-1
(3)

小结：函数包括 三个要素：定义域、值域和对应法则，其中对应法则是核心，当函数的定义域和对应法则确
定后，值域也 随之确定.
[说明] 为了深刻理解函数的概念，设计了四个问题，目的是为了分别说明（1）函数的 定义域是一个非空的
数集
xR
或是
R
的子集，对于函数的定义域学 生是可以解决的；（2）两个函数定义域和对应法则都相同时，
两个函数才是相同的函数，给出了两个函 数相同的条件；（3）理解函数的对应法则，符号
f(x)
的意义；（4）说
明函数图 象的特征，理解函数定义中对于
x
的每一个值，都有惟一的值
y
与它对应.
2.分析例题 总结方法
例1求下列函数的定义域：

(1)y
2x
x2
；
(2 )y
2
1
3x2x1
2
；
(3)y
3x< br>2x34x
；
例2.已知
f
(
x
)
 x
1
f(1)、f(1)、f(a1)
的值.
[说明] 学生在初中阶段已经知道函数的定义域的概念，并会求一些函数的
x
的取值范围.
从 求函数的定义域看到解不等式和集合的交集运算的应用。初中阶段由于没有涉及集合的概念，函数的定
义 域都是用不等式来表示，所以这里要强调定义域是一个非空的数集，要用集合或区间表示.
3. 练习巩固 评价反馈
1）.求下列函数的定义域：
(1)y(x2)(x3)
；
(2)yx2x3
；
(3)y
1
1x1
；
2) 小结: 求函数的定义域时，一般应考虑:
① 使函数的表达式有意义的
x
的取值范围,目前主要考虑的是：偶次方根的被开方数不小于零；
分母不等于零；零的零次幂没有意义.
② 实际问题的背景所允许的取值范围.
例 如：
S

r
表示圆的面积时，
r
的取值范围应是
r

0,

.
2
课堂小结：1）函数包括三个要 素：定义域、值域和对应法则.2）求函数的定义域时一般应考虑问题.
三.思考探究
对于前面的出租车问题，下面的问题留作思考：
某人乘坐出租车7千米，车费为多少元？
某人乘坐出租车15千米，车费为多少元？
尝试写出里程
x
（千米）与车费
y
（元）的函数关系,并给出定义域.
[说明]思考探索题留给有一定能力的学生课 后思考解答，又有着启上承下的作用，分段函数正是下个课时要学习
的课题. 习题3.1
七、教学设计说明
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.
对于高 一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集
合 的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理
解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.
高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对 应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对
应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所 以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实
际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生 活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的
内涵。所以在教学过程中分别设计了不同 问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函
数的条件等问题.
学生在 初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，
所 以在教学中进一步强调定义域的集合表示.
3.1函数的概念（2）
一、教学内容分析 < br>函数的概念（2）是学习函数的定义概念之后,进一步学习函数的解析法、列表法和图像法,课本通过出租 车的车
费问题,要求理解分段函数的概念和分段函数的图像，并能求分段函数对应的函数值,它是后面进 一步应用建立分

段函数关系,来表示个人所得税等函数关系的基础.
通过统计 上海市在不同时间人均住房面积的图和表,说明图和表是有效的表示函数的方法.能通过观察和分析图
和 表，确定函数的定义域和值域.懂得函数的对应法则，要能求出函数对应函数值.
二、教学目标设计
加深理解函数的概念,熟悉函数的解析法、列表法和图像法；理解分段函数的概念，并能作出分段函数的 图像，
在简单的情形下能通过观察和分析，确定函数的值域。懂得函数的抽象记号，能求出函数对应函数 值
三、教学重点及难点
回答问题 辨析概念
观察图表
函数的表示法和利用对应法则求值
分析例题
引出新课
讨论问题
四、教学流程设计



课堂总结
例题选讲 练习巩固
五、教学过程设计
布置作业
巩固法则 小结方法
一、情景引入
1．复习和回顾函数的的定义 2．函数的解析式表示
学生交流并回答上堂课给出的出租车问题：
问题1:
某人乘坐出租车7千米，车费为多少元？
某人乘坐出租车15千米，车费为多少元？
尝试写出里程
x
（千米）与车费
y
（元）的函数关系,并给出定义域. < br>某地的出租车价格规定：起步费元，可行千米，千米以后按每千米元计价，可再行千米，以后每千米都按元
计价，车费元与行车里程（千米）之间的关系可表示为

0x3
10,

y

2x43x10

3x6x 10

所以，（1）某人乘车千米的的车费为
y27418
（元）
（2）某人乘车千米的的车费为
y315639
（元）
二、学习新课
变量之间的对应关系常常可以用解析式来表示函数的对应法则，例如，我们已经 学过的正比例函数、反比例
函数、一次函数和二次函数都是用一个解析式表示函数关系的。
而 出租车车费问题中，由于不同里程的计费单价是不一样的，因此车费关于里程的关系是一个分段函数,它的
图象看课本P73图3-1.
例题选讲 例1：已知函数
y2x13

将函数表示为分段函数；
作出函数的图像；
观察函数的图象，指出函数的值域.
[说明]
（1） 例1说明有些函数可以用一个解析式表示，也可以用分段函数来表示；将含有绝对值的函数
表示为分段函数,容易作出函数的图像.
（2）根据学生的能力可以选择不同的函数，例如： 函数
yx1
、
y
2
xx
、
yx1 x2

2
等不同难度的问题.
3.函数的图象法和列表法
当函数的变量之间的对应关系不适合或难以用解析式表示时，函数还可以用图和表来表示.
例 2：根据国家统计局公布的上海市人均住房面积资料，可作出下面的图和表.（看课本P55图3-2，表1）

观察上海市人均住房面积的图和表，回答下列问题
（1） 指出函数的定义域和值域;
（2） 哪一年的平均住房面积最小？
（3） 哪一年开始，上海市人均住房面积逐年增加？
（4） 估计1998年的上海市人均住房面积为多少？
（5） 解析法、图像法和列表法表示函数时，各有什么优点？
[说明]（1）从图3-2可 以知道，函数的图像不一定是连续的曲线，也可以是一些不连续（离散）的点.
（2）要引导学生如何 观察函数的图和表.有时为了观察图像的变化趋势，可以用折线依次连接图像的各点.
例3．（1）已 知
f(x)

3x

2x
，求证：
f(a)f( a)0
.
(aR)

3
（2）已知二次函数
f(x)
满足
f
(3
x
1)

9
x
6
x
5
求
f(x)

2
[说明]例3的目的是进一 步理解函数的对应法则.有了函数的解析式
yf(x)
后，对于任何定义域内的
x< br>的值，
都有唯一确定的
y
值与之对应，我们把与
x
值对应的< br>y
值记作
f(x)
.
三、巩固练习
1.
2.
四、课堂小结
设函数
yf(x)
满足
f(x1)x 2x
,求函数
yf(x)
的解析式.
设
f(x)
2< br>x1x1
,求满足条件
f()x
的
x
值.
x1x1
(1) 函数的表示法:解析法、图象法和列表法
(2) 已知函数的解析式,求对应的函数值的方法.
五.作业布置
1.已知函数
yx x
(
xZ
且
2x6
),作出函数的图像.
2.将函数
yx21x
表示为分段函数,并作出函数的图像
3.课本P56 T3.T4
六、教学设计说明
通过函数的概念（2）的内容分 析,函数的解析法、列表法和图像法和函数的对应法则,是本课时教学的主要
内容.通过出租车的车费问 题,说明出租车的车费关于里程的关系是一个分段函数,给出了分段函数的概念.
通过例1,说明有些 函数可以用一个解析式表示，也可以分段函数来表示,通过用分段函数表示,更容易作出
函数的图像.根 据国家统计局公布的上海市人均住房面积资料，给出的图和表, 说明图和表是有效的表示函数的
方法, 是一个很好的具有实际背景的函数例子.设计例3的目的是进一步理解函数的对应法则.
2

3.2函数关系的建立
一、教学内容分析
对于函数关系的建立,在初中阶段,要求 学生通过解决现实生活中简单实际问题的举例,体会二次函数的基本
应用和函数的模型思想,知道函数是 描述客观世界的变化规律的重要数学模型.
高一数学第二章不等式2.4《基本不等式及其应用》拓展 内容课题(一)“最大容积问题”(
P46
)已经涉及建
立函数关系.在本章《函数的 基本性质》,进一步要求建立函数关系，求函数的最大、最小值;以后还要继续学习
建立指数函数、对数 函数模型解决实际问题.
在理解函数的概念之后,学习建立函数关系,能进一步发展学生把函数应用于实际问题的建模能力.
二、教学目标设计
通过解决具有实际背景的简单问题，领会分析变量和建立函数关系的思考方法.
知道建立函数关系的步 骤，体验函数模型建立的一般过程，加深对事物运动变化和相互联系的认识，初步会
用函数观点去观察和 分析一些自然现象和社会现象.
三、教学重点及难点
如何把应用问题转换为函数模型，并建立函数关系,求出符合实际的自变量的范围.
四、教学流程设计


提出问题
引入新课
小结步骤
思考方法
尝试方法
反馈评价

分析例题
体验过程


五、教学过程设计
一、提出问题 引入新课
1．问题1.用一根长为
l
的铁丝,制成如图所示 的框架,问如何设计,使得框架的面积
S
最大.
2.分析:
通过审题,知 道要解决这个问题,要把框架面积表示为某个变量的函数关系,先要设出适当的自变量,找出自变
量与函 数面积之间的的等量关系,然后才能知道如何设计.通常把这个过程叫做建模.
练习巩固
总结思路
课堂小结
布置作业
x

l4xl4x
Sx
2
分析:设矩形框架的宽为
x
,那么长为
2
面积=长

宽, 所以,
S2x
2

ll 4xl
x0,0x
2
,又
24
且
x0
,

ll
x0x
2
(
4
)
S2x
2

我们今天就先学习如何建立函数关系.
3.小结
建立函数关系解题的步骤:
(1)仔细审题,设出适当的自变量 (2)找出等量关系,列出函数关系式
(3)根据问题的要求,作适当的变形 (4)根据实际要求,写出函数定义域
[说明]
理解函数的概念,目的是进一步通过建立 函数关系解决实际问题,从一个简单的实际问题1的提出,能引起学
生的思考,学生能体会到要用数学方 法解决这个实际问题时,首先要把问题中的有关
变量及其关系用数学的形式表示出来.说明建立函数关系 的重要性,对于函数的最值
问题在以后的函数性质中再解决.
4.练习1．如图,一个边长为
a
b
(ab)
的长方形被平行于边的两条直线所分割,
其中长方形 的左上角是一个边长为
x
的正方形,试用解析式将图中的阴影部分的面积
x
b
x
a
S
表示成的函数.
[说明]
（1）通过问题1的 分析与解答，学生初步体验了建立函数关系的过程，知道函数模
型建立的一般步骤，学生很想能自己尝试 .可以把课本的例1作为学生的思考与练习
（2）要注意部分学生可能只写出关系式，没有给出定义域 .教师要从函数的概念出发,让
学生理解求出函数定义域的重要性.
二.例题分析 巩固方法
例1． 如图,有一圆柱形的无盖杯子,它的内

表面积是
100cm
2
，试用解析式将杯子的容积

V( cm
2
)
表示成底面内半径
x(cm
2
)
的函数.
1.思考与分析：
（1）内表面积=侧面面积+底面面积=底面的周长

高+底面面积.

（2）圆柱体积=底面积

高.
解：设杯子的高为，根据题意，得
2
100

x
222
100

x
100

x2

xh
，
h
，于是
V

xh

x

2

x2

x

x
3
10

2
=
50x
.根据实际意义,自变量
x
必 须
x0
且

x100
,即
0x
.因此所求 函数是

2

x
3
10

(
0x
).
V
50x

2
2
[说明]
(1)对有一定难 度的的实际问题,当难以找到变量
x
与
V
的直接关系;先列出问题中的等量关 系,通过中间变
量
h
,可以使问题变得简单.
(2)建立函数关系包含函数 的定义域,
2
学生往往忽略了函数的定义域,本题中
x
0
,学生容 易理解,对于
100

x
2

x
2
1 00
,可以根据
h
,因为
h0
,所以

x 100
;它的几何意义是杯子的底面面积小于内
表面积.
2

x< br>例2.新世纪花园要建造一个直径为16米的圆形喷水池，计划在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头 ，
要求喷出的水柱在离池中心3米的地方达到最高，高度为4米，还要在池中心的上方设计一个装饰物， 使各方
向喷来的水柱在此处汇合，问这个装饰物的高度应如何设计.
[说明]
本 题是课本的例3，学生主要是根据力学原理，知道从喷水喷出的水柱是一条抛物线，要建立适当的坐标系，
求水平距离
x
与高度
y
之间的抛物线的函数关系.
三、巩固练习
1.把截面直径为40厘米的半圆形木料，锯成矩形木料，设矩形的一边长是
x
厘米， 将矩形的面积
S
表示成边
长
x
的函数.
答：
S2x400x(0x20)
.
32

2 .建造一个容积为
8000m
，深为
6m
的长方体的游泳池（无盖），池璧造 价为
a
元
m
,池底造价为
2
a
元
m
2

,把总造价
y
元表示成底的一边长
x
（
m< br>）的函数.
答： （1）总造价
y
底面造价+侧面造价=底面积

2a
+侧面积
a

8000a4000
（2）
y 12a(x
)
(x0)
.
33x
四、课堂小结
1．





2.建立函数关系的步骤:
(1)认真仔细审题,设出适当的自变量; (2)找出等量关系,列出函数的关系式;
(3)根据问题要求,作适当的变形; (4)根据实际要求,求出函数定义域.
五、作业布置 课本
P58
练习；习题3.2
六、教学设计说明 < br>通过对函数函数关系的建立内容的分析,教学过程中，根据学生的实际水平，选择适当的具有实际背景的问 题，
领会分析变量和建立函数关系的思考方法，是本课题教学的基本目标.
从实际问题出发, 说明利用函数解决实际问题,建立函数关系是很重要的,而把实际问题转化为数学问题,许多学
生中存在 着畏难的情绪,所以,教学过程中要精心选择适当的问题,把问题解决分解为四个步骤,如何设出适当的自
解决实际问题
建立函数关系
实际问题
函数问题

变量 ,找出变量之间的等式关系.例2中变量之间的关系仍不明确,进一步设出中间变量,通过代换,建立函数关系;
确定例2函数的定义域,也是一个难点.所以,让学生从两种不同的角度理解如何求实际问题的定义域.

3.3函数的运算
一.教学内容分析
函数的运算在课时安排上只有1课 时，内容也较为简单，关键在于求和函数的定义域，但其重要性却不容忽
视，首先，函数的运算体现了高 中数学的一大基本思想方法----转化思想，把陌生化为熟悉，把复杂的函数看
做简单的函数的和（积 ）。其次，由函数的运算引出
yax
以解决许多最值问题。
b
b0

的图像，利用此类函数的单调性可

a
0
，x
为了引入函数运算，我从实例出发构造了利用基本不等式所不能解决的一个求最值的问题，这样通 过创设问
题情景，突出了函数运算的必要性，增强学生解决问题的内驱力。最后运用函数运算，画出耐克 函数，解决实
例所提出的最值问题。
二、教学目标设计
1．理解函数运算的概念及简单的应用。
2．通过对例题的讲解，让学生体会到数形结合，转化思想的重要性。
三、教学重点及难点 函数运算的概念和应用。如何把复杂的函数看做简单的函数的和（积）。
五、教学过程设计
问题：甲，乙两实验室地相距1000千米，开汽车
以旧带新，提出
运用设问，揭示内
课题设置情境
涵引导探索研究

从甲匀速到乙实验室，速度为
v

85v100



千米小时。已知小车每小时的运输成本（以元为单位）

由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度
v

初步运用，画出
（千米小时）的平方成正比，比例系数为1，固定部
图像布置课外
分为35元
作业

1）把全程运输成本表示为速度的函数。
2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。
一、 情景引入
引入函数运算： 怎样求最小成本？能否用基本不等式求最小成本？
的那些函数有关？有何关系？
所以我们今天研究函数的运算，首先研究和运算。
二、学习新知
1．定义函数的运算
函数有三要素。其中定义域和对应法则起核心作用
讨论归纳，得出
定义适时练习集合表述，强化
理解归纳总结提
利用图像，找出
最值组织评价回


那只能从函数本身性质，图像等入手，但这个函数是陌生的。遇见陌生转化为熟悉，这函数与 我们所熟悉
思考： 和函数的定义域怎么取，对应法则呢？ 怎样定义
f

x

和
g

x

的和？
f
x

g

x

是否一定是函数呢？
怎样定义函数的积？ 是否有必要定义函数的差，商？
于是给出两个函数和及积的概念。
例1：设函数
f

x

3x
,
g

x

2x
,
求：（1）
f

1

g

1

(2)
f

2

g

2

(3)
f

x

g

x


（自己看书对照，要求学生讲出(3)的定义域的求法）
例2：设函数
f

x


例3 设函数
f

x


x2
x1
,
g

x


求
f

x

g

x

（总结求函数运算的关键）
x2
x1
x4
,
g

x

4x
，求和 函数
f

x

g

x

（定义 域内只有一个元素4）