高中二年级数学测试题含答案
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高二数学测试题
2014-3-9
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,只有一项是符合题目要求的.)
1.命题 “若△ABC不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( )
A.若△ABC是等腰三角形,则它的任何两个内角相等
B.若△ABC任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形
C.若△ABC有两个内角相等,则它是等腰三角形
D.若△ABC任何两个角相等,则它是等腰三角形
2.“三角函数是周期函数,
y
tanx
,
x
,
是三角函数,所以
y
tanx
,
ππ
22
ππ
x
,
是周期函数”.在以上演绎推理中,下
列说法正确的是( )
22
(A)推理完全正确 (B)大前提不正确
(C)小前提不正确 (D)推理形式不正确
3.以下有四种说法,其中正确说法的个数为:(
)
(1)“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件;
(2)
“
ab
”是“
ab
”的充要条件;
(3)
“
x3
”是“
x2x30
”的必要不充分条件;
(4)“
AIBB
”是“
A
”的必要不充分条件.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.
3个
4 .已知动点P(x,y)满足
(x2)
2
y
2
(x2)
2
y
2
2
,则动点P的轨迹是
A.双曲线 B.双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线
2
22
5.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是( )
A.
C.
c
a
b
f(x)dx
B.
|
f(x)dx|
a
c
a
f(x)dx
f(x)dx
D.
f(x)dx
f(x)dx
bba
cc
b
x
2
y
2
1
,若其长轴在
y
轴上.焦距为
4
,则
m
等于 6
. 已知椭圆
10mm2
A.
4
.
B.
5
. C.
7
.
D.
8
.
x
7.已知斜率为1的直线与曲线
y
相切于点
p
,则点
p
的坐标是( )
x1
1
( A )
2,2
(B)
0,0
(C)
0,0
或
2,2
(D)
1,
2
8.以坐标轴为对称轴
,以原点为顶点且过圆
xy2x6y90
的圆心的抛物线的
方程是
( )
A.
y3x
或
y3x
B.
y3x
222
22
C.
y9x
或
y3x
D.
y3x
或
y9x
2222
9.设
f
'
(x)
是函数
f(x)
的导函数,将
yf(x)
和
yf'(x)
的图象画在同一个直角
坐标系中,不可能正确
的是 ( )
A B C
D
.
10.试在抛物线
y4x
上求一点P,使其到焦点F的距离与到
A
2,1
的距离之和最小,
2
则该点坐标为
( )
(A)
1
1
,1
(B)
,1
(C)
2,22
(D)
2,22
4
4
x
2
y
2
11.已知点
F
1
、
F
2
分别是椭圆
2
2
1
的左、右焦点
,过
F
1
且垂直于
x
轴的直线与椭圆交
ab
于A
、
B
两点,若△
ABF
2
为正三角形,则该椭圆的离
心率
e
为
( )
11
23
(A) (B)
(C) (D)
23
23
12.已知
<
br>,
是三次函数
f(x)
则
1
3
1
2
xax2bx
的两个极值点,
(0,1),
(1,2)
,
32
b2
的取值范围是( )
a1
1
4
1
2
A
(,1)
B
(,1)
C
(
1111
,)
D
(,)
2422
二、填空题(共4个小题,每小题5分,共20分)
13.
用数学归纳法证明:
(n1)(n2)(nn)2
n
13(2n1)
时,
从“
k
到
k1
”左边需增加的代数式是____________
__________
14.已知
f(x)x
3
ax
2
(a6)x1
有极大值和极小值,则a的取值范围为
<
br>x
2
y
2
1
有共同的渐近线,且过点
(3,2
3)
的双曲线的方程15. 与双曲线
916
为 .
16、已知函数
f(x)
是定义在R上的奇函数,
f(1)0
,
x
f
(x)f(x)
0
(x0)
,则不等式
x
2
f(x)0
的解集是 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17(本小题满分10分)
给定两个命题:
p
:对任意实数
x<
br>都有
ax
2
ax10
恒成立;
q
:关于x
的方程
x
2
xa0
有实数根;
如果
p
与
q
中有且仅有一个为真命题,求实数
a
的取值范围.
18. 设函数
f(x)axbxc
(a0)
为奇函数,其图象在点
(1,f(1))
处的切线与直线
3
x18y7
0
垂直,导函数
f'(x)
的最小值为
12
.
(1)求
a
,
b
,
c
的值;
(2)设
g(x)
19. (本小题满分14分)在数列
a
n
中,
a
1
f(x)
,当
x0
时,求
g(x)的最小值.
x
2
aa
2
a
3
L
a
n
1
,且
1
(2n1)a
n
3
n
(nN
*
)
.
(1)写出此数列的前5项;
(2)归纳猜想
a
n
的通项公式,并加以证明.
20.(本小题12分)如图,
点
P
为斜三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1<
br>的侧棱
BB
1
上一点,
PMBB
1
交
AA
1
于点
M
,
PNBB
1
交
CC
1
于点
N
.
(1)
求证:
CC
1
MN
;
(2)
在任意
DEF
中有余弦定理:
DE
2
DF
2
EF
2
2DFEFcosDFE
.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出
斜三
棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.
21. (本题满分12分)
x
2
y
2
如图所示,
F
1
、
F
2
分别为椭圆
C
:
2
2
1(ab0)
的左、右两个焦点,
A
、
B
为两个顶
ab
点,
已知椭圆
C
上的点
(1,
3
)
到
F
1
、
F
2
两点的距离之和为4.
2
(1)求椭圆
C
的方程和焦点坐标;
(2)过椭圆
C<
br>的焦点
F
2
作
AB
的平行线交椭圆于
P
、<
br>Q
两点,求△
F
1
PQ
的面积.
2
22.
已知函数
f(x)xa(2lnx),(a0)
。
x
(1)讨论
f(x)
的单调性.
(2)若
f(x)
在区间(1,2)上单调递减,求实数a的取值范围。
高二数学测试题答案
2014-3-9
4x
2
y
2
CBACD DCDDA DA
13. 2(2k+1) 14.
a3或a6
15.
1
94
16.
(1,0)(1,)
可得
f'(x)
f(x)
,由导数的定义得,当
0x1
时,
x
f(x)f(1)f(x)
,又
f(1)0
,
xf(
x)(x1)f(x)
,∴
f(x)0
;当
x1
时,
x1x
同理得
f(x)0
.又
f(x)
是奇函数
,画出它的图象得
f(x)0
x(1,0)U(1,)
.
17
解:对任意实数
x
都有
ax
2
ax10
恒成立
a0
0a4
;………………………………………………3分 a0或
0
关于
x
的方程
x
2
xa0
有实数根
14a0a
1
4
1<
br>4
1
;……………2分
4
如果
p
正确,且
q
不正确,有
0a4,且aa4
;……………2分
如果
q
正确,且
p
不正确,有
a0或a4,且a
1
a
0
.…………2分
4
1
所以实数
a
的取值范
围为
,0
,4
……………………………………10分
4
18. 解:(1)∵
f(x)
为奇函数,∴
f(x)f(x)
,即
ax
3bxcax
3
bxc
,
∴
c0
,又∵
f'(x)3axb
的最小值为
12
,∴
b12
;
又直线
x18y70
的斜率为
∴
a2
,
b12
,
c0
为所求.
(2)由(1)得
2
1
,因此,
f'(1)3ab18
, ∴
a2
,
18
f(x)2x
3
12x
,∴当
x0
时,
g(x)
66
f(x)
2(x)22x46
,
2
xx
x
∴
g(x)
的最小值为
46
.
19.解:(1)由已知
a
1
1
a
1
a
2
a
3
L
a
n
(2n1)a
n
,分别取
n2,
,
3,4,5
,得
3
n
111
a
2
a
1
,
5351
5
111
a
3
(a
1
a
2
),
145735
111
,
(a
1
a
2
a
3
)
277963
111
a5
(a
1
a
2
a
3
a
4)
,
4491199
1
1111
所以数列的前5项是:
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
;
3
15356399
a
4
(2)由(1)中的分析可以猜
想
a
n
下面用数学归纳法证明:
①当
n1
时,猜想显然成立.
②假设当
nk
时猜想成
立,即
a
k
1
.
(2n1)(2n1)
1
.
(2k1)(2k1)
那么由
已知,得
a
1
a
2
a
3
L
a
k
a
k1
(2k1)a
k1
,
k
1
2
即
a
1
a
2
a
3
L
a
k
(2k3k)a
k1
.
22
所以
(
2kk)a
k
(2k3k)a
k1
,
即
(2k1)a
k
(2k3)a
k1
,
又由归纳假设,得
(2k1)
1
(2k3)a
k1
,
(2k1)(2k1)
所以
a
k1
1
,
(2k1)(2k3)
1
成立
(2n1)(2n1)
即当
nk1
时,公式也成立.
由①
和②知,对一切
nN
,都有
a
n
20(1) 证: <
br>CC
1
BB
1
CC
1
PM,CC
1<
br>PN,CC
1
平面PMNCC
1
MN
;
222
(2) 解:在斜三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中,有
S
ABB
1
A
1
S
BCC
1
B
1
S
ACC
1
A
1
2S
BCC
1
B
1
S
ACC
1
A1
cos
,其中
*
为
平面<
br>CC
1
B
1
B
与平面
CC
1
A1
A
所组成的二面角.
CC
1
平面PMN,<
br>上述的二面角为
PM
2
PN
2
MN
2
2PNMNcosMNP
11
MNP
,在
PMN中,
222
PM
2
CC
1
PN
2
C
C
1
MN
2
CC
1
2(PNCC)(MNCC)
cosMNP
,
由于
S
BCC
1
B
1
PNCC
1
,S
ACC
1
A
1
MNCC<
br>1
,S
ABB
1
A
1
PMBB
1
,
∴有
222
S
ABB
S
BCC
S
ACC
2S
BCCB
S
ACCA
c
os
1
A
11
B
11
A
1
11
11
2
)
1
(
3
3
2
21、解
:(1)由题设知:2
a
= 4,即
a
= 2,
将点
(1,)
代入椭圆方程得
2
2
1
,2b
2
解得
b
= 3
222
∴
c
=
a
-
b
= 4-3 = 1
,故椭圆方程为
x
2
y
2
1
,
……………………………5分
43
焦点
F
1
、
F
2
的坐标分别为(-1,0)和(1,0)
……………………………
2
6分
(2)由(Ⅰ)知
A(2,0),B(0
,3)
,
k
PQ
k
AB
y
3(x1)
,
2
3
, ∴
PQ
所在直线方程为
2
3
y(x1)
2
2
由
得
8y43y90
22
x
y
1
3
4
设
P (
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
),则
y
1
y
2<
br>
39
,y
1
y
2
,
……………………………9分
28
3921
4
482y
1
y
2
(y
1
y
2
)2
4y
1
y
2
S
F
1
PQ
…………12分
112121
F
1
F
2
y
1
y
2
2.
…………………
2222
2ax
2
ax2
.
22.解:(1)
f(x)
的定义域是(0,+
),
f
(x)1
2
xxx
2
2
设
g(x
)xax2
,二次方程
g(x)0
的判别式
a8
.
2
2
① 当
a80
,即
0a22
时,
对一切
x0
都有
f
(x)0
,此时
f(x)
在
(0,)
上是增函数。
2
② 当
a80<
br>,即
a22
时,仅对
x2
有
f
(x)
0
,对其余的
x0
都有
f
(x)0
,此时
f(x)
在
(0,)
上也是增函数。
2
③ 当
a80
,即
a22
时,
aa
2
8aa
2
8
方程
g(x)0<
br>有两个不同的实根
x
1
,
x
2
,
22
aa
2
8aa
2
8
)
(,)
由
f(x)0
,得
(0,
22
,
aa
2
8aa
2
8
,)
f
(x)0
(
22
由得
aa
2
8aa
2
8
aa
2
8
,)
是上单调递减,
此时
f(x)
在
(0,)
上单调递增, 在
(
22
2
aa
2
8
在
(,)
上单调递增.
2<
br>2ax
2
ax2
.
(2)解:
f
(x
)1
2
xxx
2
依题意
f
<
br>(x)0
(等零的点是孤立的)即
xax20
在(1,2)上恒成立
令
g(x)xax2
。则有
2
2
g(1)0
解得
a4
g(2)0
满足题意的实数a的取值范围为
[4,]
.