中国人事-凯文学院

第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数
第2课时 余弦和正切

【知识与技能】
1.理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义；
2.能运用余弦、正切的定义解决问题.
【过程与方法】
逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维能力.
【情感态度】
在探索结论的过程中，体验探索的乐趣，增强数学学习的信心，感受成功的快
乐.
【教学重点】
掌握余弦、正切的概念，并能运用它们解决具体问题.
【教学难点】
灵活运用三角函数的有关定义进行计算.


一、情境导入
，
初步认识
问题 我们知道，在直角三角形中，当锐角 A的度数一定时，不管三角
形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.试问：∠A

的邻边与
斜边的比、∠A的对边与邻边的比是否分别也是一个固定值呢？为什
么？
【教学说明】 这种设置问题的方式既是对上节课重要知识的回顾，又为
引入本节知识做好铺 垫，同时也暗示着解决问题的方法与上节课利用相似获
得结论的方法完全类似，让学生有法可依.学生可 相互交流，教师巡视，听取
学生的看法、见解，随时参与讨论，帮助学生获取 正确认知.

二、思考探究，获取新知
问题如图，在Rt △ABC和Rt △
A

B

C

,
中，∠C=∠
C

= 90°∠A =∠
A

.

求证：（1）
AC
A
C

BC
B

C

=；（2）=
A B
A

B

AC
A

C

【教学说明】这个问题可由学生自主探究，得出结论.教师在学生探讨过
程中，提出问题∠A确定后， ∠A的邻边与斜边的比也确定吗？它的对边与
邻边的比呢？在学生得出结论后，应与学生一道进行总结归 纳.
余弦：在Rt△ABC中，
∠
C
=
90°，我们把锐角A的邻 边与斜边的比叫
做∠A的余弦，记作cosA ，即cosA =
∠A 的对边b
＝

斜边c
正切：在RtAABC中，
∠
C=90 °，我们把锐角A的对边与邻边的比
叫做
∠
A的正切，记作tanA，tanA =
∠A 的对边a
＝
.
∠A 的邻边b
锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.

三、典例精析，掌握新知
3
例1 在Rt△ABC中，∠C = 900，BC= 6，sinA = ， 求 cosA，
5
tanB的 值.
3BC3
分析与解 由正弦函数定义及sinA = 知，sinA = = ，又
5AB5
BC = 6，故AB = 10，所以AC =
AB
2
BC
2
= 8，从而 cosA
=
AC84AC84
= = ，tanB =
＝＝
.
AB10 5BC63
【教学说明】本题可先让学生独立完成，教师巡视指导，时时关注学生
解题时是否能 紧扣定义，即sinA =
否得当，有没有出现混淆情形.
BCACAC
，cosA = ，tanB = 的运用是
ABABBC
例2 在△ABC中，AB = AC = 20，BC = 30，试求 tanB，sinC 的值.
【分析】 由于∠B和∠C都不是直角三角形中的锐角，而题意却要求
出tanB，sinC的值， 这样迫使我们 要将∠B，∠C放到直角三角形中去，这时，

过A作AD丄BC于D可达到这一目的，问 题可逐步解决.
1
BC
2
1BC
=

30 = 15.又 AB = AC = 20，

AD =
57
，因此tanB =
2AC
解 过A作AD丄BC于D. AB = AC，

BD = CD =
=
AD577
577
＝＝
＝
，sinC = .
AC204
153

四、运用新知，深化理解
1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.






2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA= ，求cosB,sinA,tanB的值.



3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=
（1）求cosA和tanA的值;



（2）若AB=5，求BC和AC的长.
4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=b，BC=a,AB=c.
（1）sinA与cosB的关系如何？为什么？
（2）sin2A与cos2A的关系如何？说说你的理由（sin2A=(sinA)2).
（3）找出tanA与tanB的关系；

（4）由（1），（2），（3），你能发现什么有趣的结论？
【教学说明】 让学生 通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用

解决问题的能力.其中第2题在学生探 究交流后，教师应予以评讲，让学生的分
析能力和解决问题能力得到进一步发展.在完成上述题目后，教 师引导学生完成
创优作业中本课时的“名师导学”部分.
【答案】 1.（1）sinA =
=

512125
，sinB = ,cosA = ,cosB = ,tanA
13131313
5

12
tanB =
12
.
5
(2) sinA =
3313
22132213
, sinB = , cosA = , cosB =
＝＝
＝
1313
13
1313
13
3313
,
＝
13
13
32
tanA = ,tanB = .
23

1.
2.解： tanA =
BC3
= ，AC = 8.

BC = 6，在△ABC 中，AB =
AC4
AC
2
BC
2

63
84
＝
，tanB =
＝
.
105
63
BC1
3.解：（1）由于cosB =
＝
，设BC = x,则AB = 3x.
AB3
= 10.

cosB =

AC =
AB
2
BC
2
=
(3x)
2
x
2
＝22x
.
2
3

cosA =
AC
=
2
AB
,tanA =
2
BC
= .
4
AC
102
55
(2) 若AB = 5，即3x = 5,

x = ,

BC = ,AC = .
3
33
4.解：（1）sinA = cosB (2)sin
2
A + cos
2
A = 1 (3)tanA·tanB = 1 (4)
略
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑虑，请与同伴交流.
【教学说明】 教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清例题

思路方法，对普遍存在的疑虑 ，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可
让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助 他分析，找出问题原因，
及时查漏补缺.


1.布置作业：从教材P
68～70
习题28.1中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.


本节课的引 入可采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角直角三角形的余
弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义 .其次利用一个联系生活实际的问题，
让学生对三角函数有关定义能够灵活运用.最后，应注重让学生用 自己的语言归
纳和表达经由探索得出的结论，引导学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好
的 反思习惯，掌握高效的学习方法.