小学生学习方法-一片云

九年级数学《用频率估计概率》教案

【知识与技能】
理解每次试 验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等
时，利用统计频率的方法估计概率.
【过程与方法】
经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，
根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概
率.
【情感态度】
通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.
【教学重点】
对利用频率估计概率的理解和应用.
【教学难点】
利用频率估计概率的理解.

一、情境导入，初步认识
问题1400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？
那么300个同学中一定有2个同学的生日相同吗？
有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同.”这话正确吗？
调查全班同学，看看有无2个同学的生日相同.
问题2要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要 数一数就可以了.但要估计一个
鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？
【教学说明】在前面我们学 习了能列举所有可能的结果，并且每种结果的可
能性相等的随机事件的概率的求法.那么这里的两个问题 情境中，很容易让学生
想到这些事件的结果不容易完全列举出来，而且每种结果出现的可能性也不一定< br>是相同的.从而引发学生的求知欲，对于这类事件的概率该怎样求解呢，引入课
题.
二、思考探究，获取新知
1.利用频率估计概率
试验：把全班同学分成10组，每 组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得
的试验数据，并记录在下表中：

填表方法：第1组的数据填在第1行；第1，2组的数据之和填在第2行，…，
10个组的数据 之和填在第10行.
如果在抛掷n次硬币时，出现m次“正面向上”，则随机事件“正面向上”
出现的频率为mn.
【教学说明】分组是为了减少劳动强度加快试验速度，当然如果条件允许，
组数分得越多，获得 的数据就会越多，就更容易观察出规律.让学生再次经历数
据的收集，整理描述与分析的过程，进一步发 展学生的统计意识，发现数据中隐
藏的规律.
请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下：


思考 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？

在学生 讨论的基础上，教师帮助归纳，使学生认识到每次试验中随机事件发
生的频率具有不确定性，同时发现随 机事件发生的频率也有规律性，在试验次数
较少时，“正面向上”的频率起伏较大，而随着试验次数逐渐 增加，一般地，频
率会趋于稳定，“正面向上”的频率越来越接近0.5，也就是说，在0.5左右摆< br>动的幅度越来越小.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.
【归纳结 论】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn稳
定于某个常数P，那么事件A发生的概率 P（A）=P.
思考对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A）可能小于0吗？可能大
于1吗？
答：都不可能，它们的值仍满足0≤P（A）≤1.
2.利用频率估计概率的应用
问题1某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么
具体做法？
幼树移植成活率是实际问题中的一种概率，这种实际问题中的移植试验不属
于各种结果可能性相等的类 型.因而要考查成活率只能用频率去估计.
在同样的条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活 情况，计算成活
的频率，若随着移植棵树n的越来越大，频率mn越来越稳定于某个常数.则这
个常数就可以作为成活率的近似值.
上述问题可设计如下模拟统计表，补出表中空缺并完成表后填空.


从表中可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计幼树移植成活的频率为：.
答案：（1）表中空出依次填：0.940，0.923，0.883，0.897
（2）0.9，0.9
问题2某水果公司以2元千克价格购进10000千克的水果，且希望 这些水
果能获得税前利润5000元，那么在出售这些水果（已去掉损坏的水果）时，每
千克大 约定价为多少元较合适？

解：要定出合适的价格，必须考虑该水果的“完好率”或“损 坏率”，如考
查“损坏率”就需要从水果中随即抽取若干，进行损坏数量的统计，并把结果记
录 下来，为此可仿照上述问题制定如下表格：

从表格可看出，水果损坏率在某个常数（例如0 .1）左右摆动，并且随统计
量的增加，这种规律逐渐明显，那么可以把水果损坏的概率估计为这个常数 ，如
果估计这个概率为0.1，则水果完好的概率为0.9.
∴在10000千克水果中完好水果的质量为10000×0.9=9000（千克）
设每千克水果的销售价为x元，则有：
9000x-2×10000=5000
x≈2.8
∴出售这批水果的定价大约为2.8元千克，可获利5000元.
思考为简单起见，能否直接把上表中500千克对应的损坏率作为损坏的概
率？
答：可以.
【教学说明】用频率估计概率时，一般是通过观察所计算的各频率数值的变
化趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数的附近，这个常数就是所求概率的估
计值.

三、运用新知，深化理解
1.小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上 ，如果她
第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（ ）

2.一只不透明的袋 子中装有4个小球,分别标有数字2、3、4、x,这些球除数
字外都相同，甲、乙两人每次同时从袋中 各随机摸出1个球，并计算摸出的这2

个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅 匀，进行重复试验，试验数据
如下表：

解答下列问题：
（1）如果试验 继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳
定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的 概率；
（2）根据（1），若x是不等于2、3、4的自然数x，试求x的值.
【教学说明】第1题较简单，可由学生自主完成，第2题稍难，由师生共同
完成.
【答案】1.A
2.（1）随着试验次数的增加，出现“和为7”的频率稳定在0.33附近 摆动，
因此可以知道当试验继续进行下去它的频率会稳定在0.33附近，故可估计“和
为7” 的概率为0.33.（2）甲、乙两人同时从袋中各摸出一个球所有可能的结果
是（2，3）、（2，4 ）、（2，x）、(3，4)、（3，x）、（4，x）共6个，由于
（3，4）这一结果的和为7，再 根据“和为7”的概率为0.33≈13,所以其中（2，
x）、(3,x)、（4，x）这三个结果中 一定还有一个和为7，当2+x=7，则x=5,当3+x=7，
则x=4，当4+x=7,x=3，显 然后两种均不符合题意，故x=5.
四、师生互动，课堂小结
1.你知道什么时候用频率来估计概率吗？
2.你会用频率估计概率来解决实际问题吗？ < br>【教学说明】教师先提出上述问题，让学生相互交流，再选派几名同学进行
回顾总结，师生再共同 完善.

1.布置作业：从教材“习题25.3”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

1.猜想试 验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的
理解，使之明确频率与概率的联系，也 使本节课教学重难点得以突破.当然，学
生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教师应把握教 学难度，注意关
注学生接受情况.
2.一般地，当试验的可能结果是有限个而且各种结果发生 的可能性相等时，
可以用P(A)=mn的方式得出概率.当试验的所有可能的结果是无限个，或各种可
能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率的.