因
{a
n
}
为正数列，故
l0
，因此取< br>l
114a
2
即为所求极限.
n
k
lim
n
例2 求
n
a
（
k
为一定数，
a1
）
c
n1
1n1
k
11
n
k
()(1)k
c
a
n
c0
anan
a1
解 记< br>n
，则
n
且
c
n
，则
N
，当nN
时
11
(1)
k
1
an
，
故
nN
后，
{c
n
}
单调递减，又有
c
n
0

极限一定存在，设为
A
,
由
c
n1

111
(1)
k
c
n
AA
ana
（
a1
）
A0
. 两边取极限得
例3 设
a
n
1
111


, (

2 ).
证明数列{
a
n
}收敛.

23n
例4
a0, x
1
0. xn1

1

a


x.
求limx
n
.
( 计算
a
的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).
n

2

x
n

n
1

a

a

x
xa.  {x
n
}
有下界,注意到对
n,
n
n

2

x
n

x
n
解 由均值不等式, 有
x
n1

有
x
n
a,
有 x
n1
1

a

1

a

n




111.  x
↘，
2

2

x
n
2

x< br>n

2

( a )

,
limx
n
a.

n
三、柯西收敛准则
(一) 引言
单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必 要条件—
—柯西收敛准则.
(二) Cauchy收敛准则
定理（Ｃauchy收敛准则） 数列

a
n

收敛的充分 必要条件是：对任给的

0
，存在正整数
Ｎ，使得当
n,mN< br>时有
|a
n
a
m
|

.
3 10

lima
n
a
{a
n
}

证明“”收敛，则存在极限，设
n
，则


0
，
N
，当
nN
时有
|a
n
a|

2

当
n,mN
时有
|a
n
am
||a
m
a||a
n
a|

< br>|aa
m
|1
“

”先证有界性，取

1
，则
N
，
n,mN

n
.
特别 地，
nN
时
设
|a
n
a
N1
|1 |a||a
N1
|1


n
,
Mmax {|a
1
|,|a
2
|,,|a
N
|,|a
N 1
|1}
{a
n
}
，则
n
，
，设k
|a
n
|M
.
再由致密性定理知，有收敛子列
{a
n
k
}
lima
n
k
a
, 

0
，
N
1
，
n,mN
1< br>
|a
n
a
m
|

2
,
|aa|

2

K
，
kK

n
k
,
取
Nmax(K,N
1
)
，当
nN
时有 |aa||a
n
a
n
N1
||a
n
N1
a|

2

2

n
N1
N1N


n
,
lima
n
a
故
k

Cauchy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列）
Cauchy收敛准则的另一表示形式：

|aa
n
|



0
，
N
，当
nN
时，对< br>PZ
=
有
nP
.
(三) 说明
1、auchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.
2、auchy收敛准 则的条件称为Ｃauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到
后面，彼此愈接近，以至于 充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意
小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越 到后面越是“挤”在一起.
3、auchy准则把

N
定义中
a
n
与a的之差换成
a
n
与
a
m
之差.其好 处在于无需借助数列以
外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.
4 10

例 如数列
敛.
{a
n
}
满足
|a
n1
a
n
|q|a
n
a
n1
|
（
n2,3,
）且
0q1
，证 明数列
{a
n
}
收
证明 令
|x
2
x
1
|c0
，
|a
n 1
a
n
|q|a
n
a
n1
|
q
2
|a
n1
a
n2
|q
n1
|x
2
x
1
|


|a
np
a
n
||a
np
a
np1
||a
np1
a
np2
|

|a
n1
 a
n
|
np2np3n1n1p1
c(qqq) cq(1qq)

q
n1
c
1q
.

0
，（不妨设
|a
np
0


c
N[1
1q
），取
ln(
1q
)
< br>c
]
lnq
，则当
nN
时，对任给自然数
p
有
cq
n1
a
n
|

{x}
1 q
.故由Cauchy收敛准则知数列
n
收敛.
a
n
1
11

2n
发散. 例 证明数列
证明 要证：


0
0
，对
N，必有
m
0
N
，
n
0
N
使得|a
m
0
a
n
0
|

0

设
mn
则
|a
m
a
n
|
111111

n1n2mn1n2n(mn)

111mnn


1
mmmmm
，
因此，如
m2n
，则
这样，对
|a
m
a
n
|11212

.

0
12
，不管
N
多大，如取
n
0
N1
，
m
0
2n
0
则
m
0
N
，
n
0
 N
n
0
11
1
m
0
22
{a
n
}
且
|a
m
0
a
n
0
|1
，这说明不是一个
Cauchy
数列.
5 10

（四） 应用
例5 证明: 任一无限十进小数

0. b
1
b
2
b
n
 (0

1)
的不足近似值所组成的数列
b
b
1
bbbb
,
1

2
2
,

,
1

2
2



n
n
,



1010
10
10
1010
收敛. 其中
b
i
( i1,2,,9 )
是
0,1,,9
中的数.
b
bb
证明 令
a
n


1

2
2

n
n
,
有
10
1010
a
np
b
np
b
n 1
b
n2
9

11

a
n

n1

n2

np

n1

1
p1


10101010

10
10

111
9
1(0.1)
p

n< br>
1(0.1)
p


n
.
……

n1
10.1n
1010
10
例6 设
0q1, x
n
qsinqq
2
sinqq< br>n
sin
n
q.
试证明数列{
x
n
}
收敛.

1

关于 极限
lim

1

e
( e2.71828 )
的 证明留在下节进行.
n

n


1

例7
l im

1

n

n


c

例8
lim

1

n

n

n
nk
n

1

, lim

1

.

n
n

1

1

, lim

1

, lim

1

.

nn

n< br>
2n

n3n
kn
nk

2n3< br>
例9
lim

.

n
2n1

作业 教材P38—39 1，3，5，6，10，11；
教材P40—41 1（1）（3），3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.
（P38 3（4）提示：考虑
b
n


n



1



附 数列


1


单调有界证法欣赏:



n



1
,
用双逼原理可求得< br>b
n
1,
）
a
n
Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.

1

证法一 （ Riemann最先给出这一证法 ） 设
x
n


1

.
应用二项式展开，得

n

6 10
n

x
n
1n
11
1n(n1)1n(n1)(n2)1n(n1)32 11

2

3



n

n2!3!n!
nnn
1

1

1
1

2

1

1

2
 
n1


1



1
 
1



1

1



1

，
2!

n

3 !

n

n

n!

n
< br>n

n

1

1

1
 
2

1

n

1

1


1



1

1


+

1



1

;

(n1)!

n1

n1

2!
n1

3!

n1

n1

x
n1
11
1

2

2

1

n1

n1

注意到

1



1

,

1


1

,

,

1



1

.

n

n1

n

n1

n

n1

且
x
n1
比
x
n
多一项
1

n

1


1



1

0,


x
n1
x
n
,
即
x
n
↗.
(n1)!

n1

n1

0x
n
11
111111
1 1

2!3!n!1223(n1)n
1

1
1

11

1
11

1 








1113.  x
n
有界.
n

2
23

n1n

综上, 数列{
x
n
}单调有界.
评注 该证法朴素而稳健, 不失大将风度.

证法二 ( 利用Bernoulli不等式 )
注意到Bernoulli不等式
(1x)
n
1nx, (x1, n
为正整数 ), 有
1


1

n1



n
1


1 


n

n1
x
n1
x
n
1

n
1

2

1
< br>
1n2n


n1

1

1




n
2
2n1< br>



1
n1
n1


1



n

n
n
1


1

1

1,
利用Bernoulli不等式,有


1,
由

1
2
2

n1
(n1)
(n1)< br>

x
n1

1


n
n
3
3n
2
3n2


1



1
(n1)
2



n
3
3n
2
3n1
1.
 x
n
↗.
x
n
n1



1

为证{
x
n
}上方有界, 考虑数列
y
n


1


n

n1
. 可类证
y
n
↘. 事实上,
7 10

y
n
y
n1
n1

1

1
 
n1

1


1

2
 
1
n1n2n1
n

n


< br>




n2
2

11< br>n2

n2n


1

11< br>
1

n1

n1


n1

n1
n1

1



1
2

n2

n2n

n1

n1

n1


1
2

(此处利用了Bernoulli不等式 )
n2

n2n

n
3
4n
2
4n1
1,  y
n
↘.
n
3
4n
2
4n
显然有
x
n
y
n
.  n,
有
x
n
y
n


y
1
4.
即数列{
y
n
}有上界.
评注 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.
证法三( 利用均值不等式 ) 在均值不等式
中, 令
a
1
a
2
a
n1
1
n1
n
1
n
a
1
a
2
a
n


a
i
, (a
i
0)

n
i1
1
, a
n
1,
就有
n1
1

1


1
n

1

1 

(n1)

111 

1


n
x
n
,


n

n

n1



n

n
n
x
n1
1

n

1


n1

 x
n1
x
n
,
即
x
n
↗.
n

1


1



 1, a
n
1,
可仿上证得
n3
时


1


↗,(
n1
时无意
n1



n



令
a
1
a
2
a
n1
义,
n2
时诸
a
i
=
0
, 不能用均值不等式. ) 当
n2
时, 由
111

1

1

1111,  1,


2
1
nnnn

1
n
1
11

1


1
< br> 1.
由 ↗↘. < 4.
  x
1< br>

n
n
n2

n


n


1


1

1
1


1

1


n

n

2

n
n
评注 该证法很奇巧. 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P22.
8 10

证法四 ( 仍利用均值不等式 )
n个
 
n

1

1

1

1< br>
1

1

1



1

1


n

n

n

n



1



n

1
n

1


 


n1



n 1

n2



n1

n1
1



1

n1

n 1
. x
n
x
n1
,
即
x
n
↗.
有界性证法可参阅上述各证法.
评注 该证法以简单而奇妙见长. 证法四可参阅《数学教案研究》1991.№1 马德尧
文“均值不等式妙用两则”.
证法五 先证明：对
0ab
和正整数
n
，有不等式
b
n1
a
n1
(n1)b
n
.

ba
事实上，
b
n1
a
n1
(ba)(b
n
b
n1
aba
n1
a
n

b
n
b
n1
a

ba
n1
a
n
<
(
n
1)
b
n
.

baba
该不等式又可变形为
b
n

(n1)a nb

a
n1
,
(
0ab, n
为正整数 )
在此不等式中, 取
a1
nn1
11
, b1,
则有
0ab,
就有
n1n
1

1
< br>
1



1


n

n1

,  x
n
↗.
1
1

11

取
a1, b1,
又有

1

1
对
n
成立，


1

2, 

2n

2n

2

2n

9 10
nn

x
2n
1


1


2n

2n
4.
又由
x
2n1
x
2n
,  x
n
4.

评注 该证法真叫绝.教材采用这一证法. 可参阅《The American Mathematical Monthly》
1974. Vol 81. №9 P10—11


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