达德利-广东工业大学招生办

第一章第六节
极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】
1、了解函数和数列的极限存在准则；
2、掌握两个常用的不等式；
3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】
1、夹逼准则；
2、单调有界准则；
3、两个重要极限。
【重点难点】
重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷 ，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。首先给出极限存在准
则（10分钟），并举例说明如何应用准 则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类
型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（1 0分钟）；课堂练习（5分钟）。
【授课内容】
引入：考虑下面几个数列的极限
1000
1、
lim
n

i1
n
1
ni
1
ni
2
2
1000个0相加，极限等于0。
2 、
lim
n

i1
无穷多个“0”相加，极限不能确定。 < br>3、
limx
n
，其中
x
n
=
n
3+x
n-1
，
x
1
=3
，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：
一、极限存在准则
1. 夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列
x
n
,y
n
及
z
n
满足下列条件:
(1)y
n
x
n
z
n
n
(n1,2,3)
n
(2)limy
n
a,limz
n
a,
n

那么数列
x
n
的极限存在, 且
limx
n
a
.
证：
y
n
a, z
n
a,


0,N
1
0,N
2
0,使得

当nN
1
时恒有y
n
a

,

当nN
2
时恒有z
n
a

,

1

取
N=max{N
1
,N
2
},
上两式同时成立,
即a

y
n
a

,

a

z
n
a

,

当
n>N
时，恒有
a

y
n
x< br>n
z
n
a

,
即x
n
a

成立,

limx
n
a.

n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当
xU(x
0
,

)
(或
xM
)时,有
o
(1)g(x)f(x)h(x),
( 2)limg(x)A,
xx
0
(x)
xx
0
( x)
limh(x)A,

那么
limf(x)
存在, 且等于
A
.
xx
0
(x)
准则 和准则 ' 称为夹逼准则。
【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出
y
n
与
z
n
，并且
y
n
与
z
n
的极限是容易求 的。
例1 求
lim(
n
1
n+1
2
+
1
n+2
2
+L+
1
n+n
2
).

解：
Q
n
n+n
2
<
1
n+1
2
+L+
1
n+n
2
<
n
n+1
2
,

又lim
n
nn
2
n
lim
1
1
1
n1
2
n
1
n

1,

lim
n
n1
1
2
n< br>lim
1
1
1
n
2
n
1,

由夹逼定理得：
lim(
n

1
n2
2

nn
2
)1.

【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用
2. 单调有界准则
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
如果数列

x
n

满足条件x
1
x
2
x
3
x
n
x< br>n1

，就称数列

x
n

是单调增< br>加的；如果数列

x
n

满足条件
x
1x
2
x
3
x
n
x
n1

，就称数列

x
n

是单调减
少的。单调增加 和单调减少的数列统称为单调数列。
几何解释:
x
1
x
2
x
3
x
n
x
n1
A
M
x

例2 证明数列
x
n
33L3
（
n
重根式）的极限存在
【分析】已知
x
n1
3x
n
，
x
1
3
，求
limx
n
。首先证明是有界的，然后证明是单
n 
调的，从而得出结论
证：1、证明极限存在
2

a) 证明有上界
x
1
3
3
，设
x
n
3x
n1
3
，则
x
n1
3xn
333

所以对任意的n，有
x
n
3

b) 证明单调上升 x
n1
x
n
3x
n
x
n
 x
n
x
n
x
n
2x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
0

所以
limx
n
存在
n
2、求极限
设limx
n
l
，则
l3l
，解得
l
n 
113113
（
l
舍去）
22
所以
limx
n

n
113

2
二、两个重要极限
1.
lim
sinx
1
x0
x

如右 图所示，
设单位圆O,圆心角AOBx,(0x

2
)
，

C
作单位圆的切线，得ACO.扇形OAB的圆心角为x,

OAB的高为BD,于是有sinxBD,x弧AB,tanxAC,

x
o
B
sinxxtanx,

即cosx
sinx

1,上式对于x0也成立.
< br>x2
2
D
A
x
2
xx
2
当0x 时,
0cosx11cosx

2sin

2()

,

2
222


x
2
sinx
lim0,

lim(1cosx)0,limcosx1,

又lim11,

lim1.

x0
2
x0
x0x0
x0
x
例3 求下列极限
（1）
lim
1-cosx
.

2
x
®
0
x
2sin
2
解：原极限
=lim
x
®
0
x
xx
sin
2
sin
2


1
lim(
2
)
2


1
1
2


1
.

2


1
lim
2
2
x
2
2
x0
(
x
)
2
2
x0
x
22
1
1
x
1
n

2.

lim (1)e
，
lim(1x)
x
e
，
lim(1) e
；
“
1
”型

x0
xn
xn
3

【说明】
1
（1）上述三种形式也可统一为模型

lim

(x)
(x)0

1


x
< br>e

（2）第二个重要极限解决的对象是
1

型未定式。
2
2
例如，
lim
x
x1

2x

lim

1
1
1


< br>1

x1


x1


< br>e
2

x
例4 求下列极限
（1）
lim(1-
1
x
x
x
).
解：原极限
=
x
lim[(1+
1
-x
)
-x
]
-1

lim
1
x


1
.

(1
1
x
e
x< br>)
x
（2）
lim

x3

x


x2



解：原极限=
lim[(1< br>1
x2
)
x2
x
]
2
(11
x2
)
4
e
2

n
【课堂练习】求
lim
n

i
。
i1
n
2
ni
解：
n(n1)2
12n
n
2
nn

n
2
nn

n
2
nn

n
2
nn


1 2n
n
2
n1

n
2
n2
L
n
2
nn


12nn(n1)2
n
2
n1

n
2
n1
L
n
2
n1

n
2
n1

而
lim
n(n1)2
1
n(n1)2
1
n
n
2< br>nn

2
，
lim
n
n
2
n1

2

所以 原极限

1
2

【内容小结】
1、 夹逼准则
U
o
当
x(x
0
,

)
时，有
f(x)g(x)h(x)
x
lim
x
f(x)A
=
limh(x)
，则
lim0
xx
0
xx
g(x)A
。
0
2、单调有界准则
（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在；
（2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
3、两个重要极限
（1）
lim
sinx
x
1(x
为弧度）；
0
x
4
且，

1
x
（2）
lim(1)e
，
lim(1x)
x
e

x0
x
x



1
5