劳动的作文-奥运会作文

§3 函数极限存在的条件
教学目的：通过本次课的学习，使学生掌握函数极限的归 结原则和柯西准则并能加以应用解
决函数极限的相关问题。
教学方式：讲授。
教学过程：
我们首先介绍
xx
0
这种函数极限的归结原则（也称Heine定理）。
定理3.8（归结原则）。
limf(x)A
存在的充要条件是：对任何含 于
U
o
(x
0
;

'
)
且以xx
0
x
0
为极限的数列
{x
n
}
，极限
limf(x
n
)
都存在且等于
A
。
n
证：[必要性] 由于
limf(x)A
，则对任给的

0
，存在正数

(

'
)
，使得当< br>xx
0
0|xx
0
|

时，有。
另一方面，设数列
{x
n
}

U
o
(x
0
;

'
)
且以
x
0
为极限，则对上述的< br>
0
，存在
N0
，
当
nN
时有
0|x
n
x
0
|

，从而有
|f(x) A|

。这就证明了
limf(x
n
)A
。
n
[充分性] 设对任何数列
{x
n
}

U
o
(x
0
;

'
)
且以
x
0
为极限，有
limf(x
n
)A
。现用
n
反证法推出
limf(x)A
。事实上，倘若当
xx
0
时f
不以
A
为极限，则存在某

0
0
，
xx
0
对任何

0
（无论多么小），总存在一点
x< br>，尽管
0|xx
0
|

，但有
|f(x)A |

0
。
现依次取



'
,

2
,,

n
,
，则存在相应的点
x
1
,x
2
,,x
n
,
，使得
< br>0|x
n
x
0
|

n
，而
| f(x
n
)A|

0
,n1,2,

显然 数列
{x
n
}

U
o
(x
0
;< br>
'
)
且以
x
0
为极限，但当
n
时
f(x
n
)
不趋于
A
。这与假设相
矛盾，故必 有
limf(x)A
。
xx
0
'
''
注：（1）归结原则可简述为：

limf(x)A

对任何
x
n
x
0
(n)
且
x
n
x
0
都有
limf(x
n
)A
。
xx
0
n
（2）归结原则也是证明函 数极限不存在的有用工具之一：若可找到一个以
x
0
为极限
'
的数列
{x
n
}
，使
limf(x
n
)
不存在， 或找到两个都以
x
0
为极限的数列
{x
n
}
，{x
n
}
，使得
n
'
limf(x
n)
，
limf(x
n
)
都存在而不相等，则
limf( x)
不存在。
nn
xx
0
（3）对于
x x
0
,xx
0
,x,x,x
这几种类型的函数 极限的归


结原则，有类似的结论。（让学生课堂练习，教师加以评正。）
例1设
f(x)sin
1
，
x0
，证明极限
l imf(x)
不存在。
x
x0
'
证：设
x
n< br>
1
n

，
x
n


'，则显然有
（n1,2,)
x0,x0(n)
，但
nn< br>2n


1

2
'
f(x
n
)00,f(x
n
)11(n)
。故由归结原则即得结论。

对于
xx
0
,xx
0
,x,x
这几种类型的函数极限，除有类似于定理3.8
的归结原则外，还可以表述为更强的形式。
0
f(x)A
的充要条件是：对任何含定理 3.9 设函数
f
在
U

(x
0
;

'
)
内有定义 。
lim

xx
0
0
于
U

( x
0
;

'
)
且以
x
0
为极限的 递减数列
{x
n
}
，极限
limf(x
n
)
都存在且等于
A
。
n
证：仿照定理3.8的证明，但在运用反证法证 明充分性时，对

的取法要适当的修改。


相应于数列极限的单 调有界定理，关于函数的单侧极限也有相应的定理。现以
xx
0
这种类型为例阐述如 下：
0
f(x)
存定理 3.10 设函数
f
是定义在
U

(x
0
;

'
)
上的单调有界函数， 则右极限
lim

xx
0
在。
证：具体证明见教材。主要应用确界原理，确界的定义和单侧极限的定义加以证明。

最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。
limf(x)A
存在的充要条件是：定理3.11 设函数
f
是定义在
U
o
(x
0
;

'
)
内有定义，
xx
0
'
任给

0
，存在正数
(

)
，使得对任何
x',xU
o
(x
0
,

)
有
|f(x')f(x)|

。
证明：[必要性] 设
limf(x)A
，则对任给

0，存在正数

(

'
)
，使得对任何
xx
0
。于是对任何
x',xU
o
(x
0
,

)
有
xU
o
(x
0
,

)
有
|f(x)A|

2
|f(x')f(x)||f(x' )A||f(x)A|

。
'
[充分性] 设数列
{x
n
}

且以
x
0
为极限。按假设，对任给的

0
，存在正数

(

)
，
使得对 任何
x',xU
o
(x
0
,

)
有|f(x')f(x)|

。由于，对上述的

0
，存在
N0
，
o
当
n,mN
时有
x
n
,x
m
U(x
0
;

)
，从而有

|f(x
n
)f(x
m
)|

。
于 是，按数列的柯西收敛准则，
{f(x
n
)}
数列的极限存在，记为
A
，即
limf(x
n
)A
。
n