3 函数极限存在的条件
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§3 函数极限存在的条件
与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值
的变化趋势来判断其极限
的存在性。下面的定理只
对
这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也
是成立的。下述归结原则有
时成为海涅（Heine）定理。
定理3.8（归结原则）设
充要条件是：对任何含于
在 内有定义。 存在的
且以为极限的数列 ，极限 都存在且相等。
证 [必要性]
设
使得当
有 。
时，
，则对任给的，存在正数
，
另一方面，设数列
，使得当 时，
且，则对上述的，存在
有
，从而有 。这就证明了 。
(充分性) 设对任何数列
则可用反证法推出
且，有，
事实上，倘若当
论多么小），总存在
时不以为极限，则存在某，对任何（不
一点，尽管 ，但有 。现依次取
，，
，…，，…，则存在
相应的点 ，，，…,…,使得，而，。
显然数列
。这与假设相矛盾，所以必
且
，但当时不趋于
有。
注1 归结原则也可简述为：
对任何（）有。
注2
若可找到一个以
两个都以
为极限的数列，使不存在，或找到
为极限的数列
注3
与，使 与 都存在而不相等，
则 不存在。
例1 证明极限 不存在。
证
设，（
，
），则显然有
（）
，
故有归结原则即得结论。
（）。
函数的图象如图3-
4所示。由图象可见，当时，其函数值无
限地在-1与1的范围内振
荡，而不趋于任何确定的数。
归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理
。从而，我们能应用
归结原则和数列极限的有
关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。
对于，，和这四种类型的单侧极限，相应
的归结原则可表示为更强的
形式，现以这种类型为例阐述如下：
定理3.9设函数在点的某空心右邻域 有定义。的
充要条件是：对任何以
为极限的递减数列，有。
这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证
明充分性时，对
的取法要作适当的修改，
以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。
相应于数列极限
的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。
现以这种类型为例叙述如下：
定理3.10设
在。
证 不妨设
是定义在上的单调有界函数，则
右极限存
在上递增。因在上有界，由确界原理，
存在，记为。
下证
事实上，任给
取
。
，按下确界定义，存在
，则由
=，有
，使得。
的递增性，对一切
另一方面，由，更有。从而对一切有
这就证得 。
最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。
定理3.11（柯西准则）设
条件是：任给
正数
，存在
，
在 内有定义。存在的充要
，使得对任何，有
．
证 必要性 设
对任何 有
，则对任给的，存在正数，使得
。于是对任何 ， 有
。
充分性
设数列
存在正数
对任何
述的
使得当
，
，存在
，使得
有
，
，
且
。按假设，对任给的，
。由于（），对上
时有 , 从而有 .
于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为,即
.
设另一数列
在, 记为. 现证
:,
.
,,
且, 则如上所证, 存
为此,考虑数列,．．．,,,．．．易见 且
(见第二章§3例7).
故仍如上所证,
于是，作为
归结原则推得
也收敛.
的两个子列，与必有相同的极限。所以由
按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限
在 ，对任何
不存在的充要条件：存
（无论多么小），总可找到，，使得 ．
如在例１中我们可取，对任何设正整数 ，令 ，
，则有 ，
，而
于是，按柯西准则极限
不存在．