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§3 函数极限存在的条件
【教学目的】函数各类极限的Heine归并原则，Cauchy准则。
【教学重点】极限< br>limf(x)
的Heine归并原则，Cauchy准则。

xx
0
【教学难点】极限
limf(x)
的Heine归并原则，Cauchy准则。
xx
0
【教学过程】
与讨论数列极限存在的条件一样, 我们将从函数值的变化趋势来判断其极
限的存在性。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件。 仍以极限
limf(x)
为
xx
0
例。
一、Heine归并原则 — 函数极限与数列极限的关系
则极限
limf(x)
定理
1 设函数
f
在点
x
0
的某空心邻域
U(x
0
;


)
内有定义。
xx
0
存在

对任何
x
n
U(x
0
)
且
x
n
x
0
, limf(x
n
)
都存在且相等.
n
证 （必要性） 设
limf(x)A
则对任给的

0
, 存在正数




, 使得当
xx
0
0xx
0


时有
|f(x)A|

.
;

)
另一方面, 设 数列
{x
n
}U(x
且
limx
n
x
0
, 则以上述的

0
存在
0

n
N0
, 使得当
nN
时有
0xx
0


, 从而有
|f(x
n
)A|

. 这就证明了
limf(x
n
)A.

n
（充分性） 设对任何数列
{x
n
}U(x
0
;


)
且
limx
n
x
0
，有
limf(x
n
)A
,
nn
则可用反证法推出
limf(x)A。 事实上，倘若当
xx
0
时
f
不以
A
为极限, 则
xx
0
存在某

0
0
, 对任何

0
(不论多么小), 总存在一点
x
, 尽管
0xx
0


，
但有
|f(x)A|
< br>0
(§1习题2)。 现依次取



,
应的点< br>x
1
,x
2
,,x
n
,





2
,
3
,,


n
,,
则存在相
，使得

0x
n
x
0




n
而
|f(x
n
)A|

0
,n1,2,

1

显然数列
{x
n
}U(x
0
;


)
且
limx
n
x
0
但当
n
时
f(x
n
)
不趋于
A
。这与 假设
n
相矛盾,所以必有
limf(x)A
。
xx
0
注1 归结原则也可简述为:

limf(x)A

对任何
x
n
x
0
(n)
有
limf(x
n
)A
。
xx
0
n
注2 若可找到一个以
x
0
为极限的数列
{x
n
}
使
limf(x
n
)
不存在, 或找到两
n

< br>}
与
{x
n

}
, 使
limf(xn
)A
与
limf(x
n
)BA
都存在而个以< br>x
0
为极限的数列
{x
n
nn
不相等,则< br>limf(x)
不存在。
xx
0
Heine归并原则反映了离散性 与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在
的有力工具。 对单侧极限，还可加强为
{x
n
}
单调趋于
x
0
。
例1 证明
limsin
x0
1
0.

x
，则显然有


证 设
x
n
1
1


, x
n

=
x
n
,n1,2,

n

2n


2

0,x
n

0,n(

)

x
n
sin
11
0,sin1,(n)


x
n
x
n
故由归结原则即得结论。

(x
0
)
有定义。则定理 2 设函数
f(x)
在点
x
0
的某空心右邻域
U


(x
0< br>)
，有
limf(x
n
)A
。
lim
< br>f(x)A

对任何以
x
0
为极限的递减数列
< br>x
n


U


xx
0
n

(x
0
)
上的单调有界函数。则
lim

f(x)
存在。定理 3 设函数
f(x)
为定义在
U


xx
0

(x
0
)
上递增。因
f
在
U

(x
0
)
上有界, 由确界原理证 不妨设
f
在
U
0
xU

(x
0
)
inff(x)
存在, 记为
A
。下证
limf(x)A
。

xx
0
事实上，任给

0
, 按下确界定义, 存在
x

U

(x
0
)
,使得
f(x

)A

取

x

x
0
0
, 则由f的递增性,对一切
x(x
0
,x

)U

(x
0
;

)
,有
f(x)f(x

)A



2

另一方面,由
Af(x)
, 更有
A

f(x)
。从而对一切
xU

(x
0
;
)
有

A

f(x)A


这就证得
limf(x)A.


xx
0
二、Cauchy准则
定理 4 (Cauchy准则 )设函数
f(x)
在点
x
0
的某空心邻域
U(x
0
,


)
内有定义。
则
limf(x)
存在
xx
0
 

0, 

0(




), x
,x


(x
0
,

)
,
 f(x

)f(x

)

.

0
证 必要性 设
limf(x)A
, 则对任给的
0
，存在正数

(


)
,使得对
xx
0
任何
xU(x
0
;

)
有
|f(x)A|

2
。于是对任何
x

,x< br>
U(x
0
;

)
有
f(x

)f(x

)f(x

A)f(x

A)
n

2


2


.

充分性 设数列
{x
n
}U(x
0
;

)
且
limx
n
x
0
按假设，对任给 的

0
,存在
正数

(


)
,使得对任何
x

,x

U(x
0
;

)
有
f(x

)f(x

)

。
由于,对上述的

0
,存在
N0
使得当
n, mN
时
x
n
,x
m
U(x
0
;

)
, 从而有
f(x
n
)f(x
m
)

.

于是,按数列的柯西收敛准则,数列
{f(x
n
)}
的极限存在,记为A
即
limf(x
n
)A
。
n
设另一 数列
{y
n
}U(x
0
;

)
且
limy
n
x
0
，则如上所证,
limf(y
n
)
存在, 记
n
n
为B
。现证
BA
。为此，考虑数列

{z
n< br>}:x
1
,y
1
,x
2
,y
2
,< br>n
x
n
,y
n
,


)
且
limz
n
x
0
(见第二章§1例7)。 故仍如上面所证, 易见
{z
n
}U(x
0;
limf(z
n
)
也存在。于是, 作为
{f(z
n
)}
的两个子列,
{f(x
n
) }
与
{f(y
n
)}
必有相同
n
的极限。所以 由归结原则推得
limf(x)A
。
xx
0
Cauchy准则的否定:
limf(x)
不存在的充要条件。
xx
0

3

例4 用Cauchy准则证明极限
limsin
x0
1
不存在.
x
证 取
x


1
, x


n

1
n



2
.

则有
x

,x

U(0;
< br>)
， 而
sin
11
1
sin1

0
。 于是按柯西准则,极限
limsin
x

x

不存在。

例5 设在 [
a ,  )
上函数
f(x)
单调减少。
在[
a ,  )
上有界. ( 简证, 留为作业 ).

作业P55 1——4.



x0
x
则极限
limf(x)
存在
 f(x)
x
4