重庆交通职业学院-徐志摩现代诗

§1.6极限存在准则 两个重要极限
授课次序06
教 学 基 本 指 标
1.6极限存在准则 两个重要极限
教学课题
§
教学重点
两个准则，两个重要极限
教学方法
当堂讲授，辅以多媒体教学
教学难点
四个定理的证明
作业布置
《高等数学》标准化作业
参考教材
同济大学编《高等数学（第6版）》
自编教材《高等数学习题课教程》
双语教学
函数：function；极限：limit；极限值：limit value ；
课堂教学
1． 了解两个极限存在的准则
2． 掌握两个重要极限，明确其成立的条件，并掌握其基本应用
目标
1．夹逼准则（20min），着重介绍两个准则的推导及其联系；
2．应用夹逼准则证明极 限
lim
sinx
1
（25min）采用多媒体教学的方式
x0
x
sinx
1
的应用（10min）
教学过程
3．重要极限
lim
x0
x
4．单调有界准则（10min） < br>1
5．应用单调有界准则证明极限
lim(1)
x
e
并掌 握其简单应用（25min）
x
x
本 节 教 学 设 计
极限的存在准则
1. 背景知识与引入方法
（1）我们已经学习了数列极限和函数极限的定义及其基本性质。
但是，极限定义是验证性的 ，并没有给我们提供求出极限的方法。也就是说，要使用极限定义进行证
明，首先要知道数列的极限值， 然后才能进行验证。所以，如果不能设法观察出数列的极限值，我们就将无
能为力。
极限的四 则运算法则提供了计算极限的有理运算方法，使我们能够计算一些简单极限，但事先必须能
判断出极限是 否存在，否则运算法则无法使用。
因此，我们迫切希望知道一些能够判断极限是否存在的高效简便的方 法。为此，本节介绍极限存在的
三个准则。
（2）通过三个准则，我们会获得较为丰富的“副 产品”，这就是两个重要极限。极限运算的实践告诉
我们，仅仅依靠四则运算法则，只能解决有理运算问 题，我们会感到束手束脚，对复杂一些的题目无从下手。
因此需要寻找到更有效的方法去计算其它类型的 极限，比如建立起幂函数与三角函数、反三角函数、指数、
对数之间的极限关系，以及五种初等函数相互 之间的极限关系。两个重要极限是导出这些重要基本关系的出
发点，因此我们才说它们“重要”。 （3）极限存在准则是一个比较深入的问题。这个问题的核心是“实数连续性、实数完备性”，但这已
经超出了本课程的范围。因此，本节所涉及到的定理并没有给出严格的数学证明。本节讲解方法应该从实际

出发，利用生活常识、几何直观等对定理的引出背景及结论进行解释。
2. 讲解方法
一、单调有界定理
对于数列
{a
n
}
，如果数 列的项越来越大，我们说数列是单调增加的，如果数列的项越来越小，我们说
数列是单调减少的。比如我 们看到的世界跳高纪录，由于人们总是追求更高更快，世界纪录会不断被打破，
所以，世界记录总是逐渐 增高的，它是一个单调上升的数列。同时我们也看到另一个事实：虽然纪录不断增
高，但是常识告诉我们 ，它不能超过100米，甚至可以断言它不会超过10米、5米、3米。这个单调增加的
数列是有上界的 。这样的数列还有很多，请注意观察下面的数列：
{a
n
}1,
111< br>,,LL,,LL
23n
{b
n
}
13711
,, ,LL,{
n
},LL
24822

数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。下界里有个最大的吗？有！
数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！
现 在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列
{x
n
}
，它的图像是数 轴上的一个点列，点列中
的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无 穷多项，从某一项之后的所
有无穷多项都会密集在a点附近。所以，数列
{x
n
}
以a为极限．对单调减少且有下界的数列可作类比思考。
由此得到一个事实：
定理1（单调有界准则） 单调有界的数列必有极限．
说得更明确一点，单调增加有上界的数 列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限。由于实数理论
知识的欠缺，不对本定理进行证明（将其证 明置于扩展知识部分，请参考）。
定理1’（单调有界准则的函数版）
若
f(x )
为定义在
U

(x
0
)
上的单调有界函数，则右 极限
lim

f(x)
存在．
xx
0
若
f(x)
为定义在
U

(x
0
)
上的单调有界函 数，则左极限
lim

f(x)
存在．
xx
0
二、夹逼准则
定理２（夹逼准则） 设数列
{x
n
}
，
{y
n
}
，
{z
n
}是三个数列，且
NN

,nN,有x
n
z
n
y
n
,

若
limx
n
limy
n
a,
则
limz
n
a.

nnn
从几何直观考虑 定理的证明。由于数列
{x
n
}
，
{y
n
}
都收敛于a，因此除了有限项以外，两个数列的其
它各项都会进入到a点的

邻域之 中．又
对于一切自然数nN,有x
n
z
n
y
n
,
在
{x
n
}
、
{y
n
}
两
个数列的夹持下数列
{z
n
}
的相应项也就无可选择地进入到a点的

邻域之中，所以数列
{z
n
}
以a为极限。

将这种想法翻译成语言，就完成了本定理的证明。
“

N ”
在应用这个定理进行极限计算时，要注意通过适当放大缩小不等式，寻找合适的、便于计算的控制数< br>列
{x
n
}
，
{y
n
}
．

3. 难点及解决方法
在应用夹逼定理作极限计算时，难点在于构造夹逼数列。应 该引导学生认识到：（1）夹逼法是处理极
限难题的有效方法，当计算出现障碍时，要能够想得起这件工 具；（2）构造夹逼数列的思路是进行适当放大
缩小；（3）夹逼数列首先应该满足上控数列与下控数列 的极限相同，（4）夹逼数列要便于计算。例2和例3
从不同角度提供了构造夹逼数列的思路和技巧。
求递推式的极限是另一个难点。由于这类题目的特色十分明显，解题思路并不难，例1提供了一种典型的套路：即（1）分析单调性；（2）分析有界性；（3）根据单调有界准则确认极限存在，设为A；（4 ）对递
推式两端取极限，化作方程解出极限A。另外，由于可以事先“猜”出极限，运用极限定义证明也 是一条常
用的思路。
4. 与其他知识点的关联
1

1

1

（1）根据单调有界准则，可以得到重要极限
lim

1

e,lim

1

e,lim

1x

x
e

n0xx0
n

x

nx
根据夹逼准则，可以得到重要极限
lim
sinx
．
1
，
x0
x
（2 ）柯西收敛准则可以推广到其它场合。如：平面点列
{x
n
}
收敛的Cauc hy准则，ｎ维欧式空间中的
Cauchy准则，级数

u
n1

n
收敛的Cauchy准则。
（3）柯西收敛准则的实质是抽象空间中的“完备性”概念。
5. 扩展知识
1）单调有界准则的证明：
证明：
设 {a
n
}是单调增加且有上界的数列.
由于{a
n
}有上界，根据 上确界存在定理，必有上确界sup{a
n
}a
下面证明a就是该数列的极限。根据上确界的定义，

0,NN

,使得a
N
a-

.
Q
{a
n
}单调增加，
nN,a 

a
N
a
n
aa

这 意味着a
n
-a

所以，lima
n
a
n

教 学 基 本 内 容

§1 6极限存在准则 两个重要极限
准则I
如果数列{x
n
}、{y
n
}及{z
n
}满足下列条件
(1)y
n
x
n
z
n
(n1 2 3   ) (2)
limy
n
a

limz
n
a

nn
备注栏
那么数列{x
n
}的极限存在 且
limx
n
a

n
证明 因为
limy
n
a

limz
n
a
 根据数列极限的定义 

0 N
1
0 当nN
1
时 有|y

nn
n
a|

 又N
2
0 当nN
2
时 有|z
n
a|

 现取Nmax{N
1
 N
2
} 则当

nN

时 有 |y
n
a|

 |z

n
a|

同时成立 即 a

y
n
a

 a

z
n
a

 同时成立
又因y
n
x
n
z
n
 所以当

nN

时 有a

y
n
x
n
z
n
a

 即 |x
n
a|


这就证明了
limx
n
a

n
简要证明 由条件(2) 

0 N

0 当nN

时 有|y
n
a|

及|z
n
a|


即有 a

y
n
a

 a

z
n
a

 由条件(1) 有 a

y
n
x
n
z
n
a


即 |x
n
a|

 这就证明了
limx
n
a

n
准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件
(1) g(x)f(x)h(x) (2) lim g(x)A lim h(x)A
那么lim f(x)存在 且lim f(x)A
注 如果上述极限过程是xx
0
 要求函数在x
0
的某一去心邻域内有定义 上述极限过程是
x 要求函数当|x|M时有定义
准则I 及准则I 称为夹逼准则
sinx
1
下面根据准则I证明第一个重要极限
lim

x0
x
证明 首先注意到 函数
sinx
对于一切x0都有定义 参看附图 图中的圆为单位圆
x









因为 S
AOB
S
扇形
AOB
S
AOD
 所以
不等号各边都除以sin x 就有
1
111
sin xxtan x 即sin xxtan x
222
x

1sinx
1
 或
cosx

sinxcosxx
sinx
1
注意此不等式当


x0时也成立 而
limcosx1
 根据准则I
lim

x0
x2
x0
简要证明 参看附图 设圆心角AOBx (
0x


) 显然 BC AB AD 因此 sin x x 
2

tan x 从而
cosx
sinx
1
(此不等式当x0时也成立)
x
因为
limcosx1
 根据准则I
lim
sinx
1

x0
x
x0
应注意的问题 在极限
lim
s in

(x)
sin

(x)
中 只要

(x)是无穷小 就有
lim1


(x)< br>
(x)
sin

(x)
lim
sinu
1

u0
u

(x)
这是因为 令u

(x) 则u 0 于是
lim
sin

( x)
lim
sinx
1

lim1
(

(x)0)
x0
x

(x)
例1 求
lim
tanx

x0
x
解
lim
tanx
lim
sinx

1
lim
s inx
lim
1
1

x0
x
x0
xcosx
x0
x
x0
cosx
x
例2 求
lim
1cos

2
x0
x
x
解
lim
1cos

lim
x0
x
2x0
2sin
2
2
xx
x

2
s in

sin
2

1
1
2

1

2

1
lim
2

1
li m


2
x0

x

2
x2
2
x0
x
2

2
()

2

2
准则II 单调有界数列必有极限
如果数列{x
n
}满足条件x
1
x
2
x
3
    x
n
x
n1
   就称数列{x
n
}是单调增加的 如果数列
{x
n
}满足条件x
1
x
2
x
3
    x
n
x
n1
   就称数列{x
n
}是单调减少的
单调增加和单调减少数列统称为单调数列
如果数列{x
n
}满足条件x
n
x
n1
 nN


在第三节中曾证明 收敛的数列一定有界 但那时也曾指出 有界的数列不一定收敛 现在
准则II表明 如果数列不仅有界 并且是单调的 那么这数列的极限必定存在 也就是这数列一
定收敛
准则II的几何解释 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动
或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生
1
根据准则II 可以证明极限
lim(1)
n
存在
n
n
设
x
n
(1
1
)
n
 现证明数列{x
n
}是单调有界的 按牛顿二项公式 有
n
1n1n(n1)1n(n1)(n2)1n(n1)    (nn1)1

2

3
    
n

x
n
(1)
n
1< br>n1!n2!n3!nn!n
11112112n1
)

11(1)(1)(1)    (1)(1)    (1
2!n3!nnn!nnn
11112112n1
)(1)(1)    (1)(1)    (1)

x
n1
11(1
2!n13!n1n1n!n1n1n1


112n
(1)(1)    (1)

(n1)!n1n1n1
比较x
n
 x
n1
的展开式 可以看出除前两项外 x
n
的每项都小于x
n1
的对应项 并且x
n1
还多了
最后一项 其值大于0 因此 x
n
 x
n1
 这就是说数列{x
n
}是单调有界的
这个数列同时还是有界的 因为x
n
的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替 得

1
1111111
n
x
n
11    11
2
    
n1
1
2
3
n1
3

1
2!3!n!2222
1
2
1
1
根据准则II 数列{x
n
}必有极限 这个极限我们用e 来表示 即
lim(1)
n
e

n
n
1
我们还可以证明
lim(1)
x
e
 e是个无理数 它的值是e2 7045  
x
x
指数函数ye

x

以及对数函数yln x 中的底e 就是这个常数
在极限
lim[1

(x)]

(x)
1
中 只要

(x)是无穷小 就有
lim[1

(x)]

(x)
1
1
e

这是因为 令
u
1
 则u  于是
lim[1

(x)]

(x)
lim(1
1
)
u
e

u
u

(x)
lim(1
1
)
x< br>e

lim[1

(x)]

(x)
e
(

(x)0)
x
x
1
例3 求
lim(1
1
)
x

x
x
解 令tx 则x 时 t  于是
lim(1
1
)
x
lim(1
1
)
t< br>lim
1

1

xt
xt
t 
(1
1
)
t
e
t
或
lim (1
1
)
x
lim(1
1
)
x(1)< br>[lim(1
1
)
x
]
1
e
1

xxx
xxx



教

学

后

记