济南的冬天读后感-新年祝福语英文

求函数极限的方法

1. 预备知识
1.1

函数极限的定义
定义1 设
f
为定义在

a,
上的函数，
A
为定数．若对任给的

0
，存在正< br>整数M

a

，使得当
xM
时有
f
x

A

，则称函数
f
当
x< br>趋于

时以
A
为极
限．记作：
limf

x

A
或
f

x

A

x

．
x
定义2

设函数
f
在点
x
0
的某个空心邻域U
0

x0
;

'

内有定义，
A
为定数，若对
任给的

0
，存在正数




'< br>
，使得当
0xx
0


时有
f

x

A

，则称函数
f
当
x趋于
x
0
时以
A
为极限．记作：
limf
< br>x

A
或
f

x

A

xx
0

．

xx
0
0
定义3

设函数
f
在U< br>

x
0
;

'

（或U

0

x
0
;

'

）内有定义 ，
A
为定数．若对任
给

0
的，存在正数



'

，使得当时
x
0
xx
0


（或
x
0


xx< br>0
）有

（或
x
0
）时的右（左）极限．记作：
f

x

A

，则称数
A
为 函数
f
当
x
趋于
x
0

limfxA< br>
或
fxAxx

fxAxx

．

limfxA




xx


0

0


xx
0

0


1.2 函数极限的性质
性质1（唯一性） 若极限
limf

x

存在，则此极限是唯一的．
xx
0
性质2（局部有界性） 若
limf

x

存在，则
f
在
x
0
的某空心邻域
U
0< br>
x
0

内有界．
xx
0
性质3（局部保号性） 若
limf

x

A0
（或
0
），则对任何正数
rA
（或
xx
0
，存在
U
0

x
0

， 使得对一切
xU
o

x
o

有
f

x

r0
（或
f

x

r0
）．
rA
）
性质4（保不等式性） 设
limf< br>
x

与
limg

x

都存在， 且在某邻域
U
0

x
0
;

'

内
xx
0
xx
0
有
f

x< br>
g

x

，则
limf

x< br>
limg

x

．

xx
0
xx
0
性质5（迫敛性）设
limf

x
limg

x

A
，且在某邻域
U
0
x
0
;

'

内有
xx
0
xx
0

1

f

x

h

x

g

x

，则< br>limh

x

A
．
xx
0
性质6（四则运算法则） 若极限
limf

x< br>
与
limg

x

都存在，则函数
fg
，
fg
，
xx
0
xx
0
当
xx
0
时极限也存在，且
1.
lim

f

x

g

x


limf
< br>x

limg

x

；


xxx
0

x
0
xx
0
2.
lim

f

x

g

x

limf

x

limg

x

；



xxx
0

x< br>0
xx
0
又若
limg

x

 0
，则
f
xx
0
g
当
xx
0
时极限存在，且有
limf

x

f

x
xx

0
3.
lim
．

x x
0
g

x

limg

x
< br>xx
0
２.求函数极限的若干方法
2.1 利用定义求极限
x
2
1
例１ 证明
lim2
．
x1
x1

2x

x
2
1x1
分析 当
x1
时，
x10
，故，于是有

< br>x1

2x

2x
x
2
1x1 3x3
3x1
22
，
2x2x2x

x1

2x

1131
x
2
1
2
取

1

，当
0x1

1< br>时
x
，故有
2x
，从而有
x12x
2< br>222

6x1
，取

2

< br>6
即可．

1


证明 对于


0
，取

min

,

，于是当
0x1

时，有

26

x
2< br>1
26x1

，

x1

2x

x
2
1
由定义知
lim2
成立．
x1

x1

2x

注 函数
f

x

在点
x
0
处是否有极限，与函数
f

x

在点
x
0
处是否有定义无关．

2

2.2 利用函数的连续性求极限
例2 求
lim


x

tanx
．

x

4


解
lim

x

taxn






4

x

4

3

tan

．

44
此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数f

x




x

tanx在
x
续，所以可把
x

4
处连

4
直接代入求极限 ．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．
2.3 利用两个重要极限求极限
首先给出两个重要极限的一般形式
sinx

1

（1）
lim1
； （2）
lim

1

e
．
x0
x 
x

x

sinxsina
．
xaxa
xaxaxa
cossinsin
sinxsainxa22
cos
2
， 解

xaxa
xa2
22
x
例3 求极限
lim
于是有
xa
sinxsinaxa
2

limlimcos
xaxa
xa
xa2
2
x a
sin
xa


limcosli
2
m

xaxa
xa
2
2
sin

coas
．
sinx
必须使函数中出现此类型
1
，< br>x0
x
xa
sin
xa
2
1
，再进 行求解．
0
，此时
lim
的式子，如当
xa
时
xa
xa
2
2
先利用和差化积对函数进行转化，要使用
lim
例 4 求极限
lim

1

x

（< br>
为给定实数）．
x0
1
x
1
x
解 < br>lim

1

x

x0
1

lim


1

x


x< br>
e

．
x0



3

在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再
1

1

使用．如
lim

1

lim

1y

y
e
，此题就是利用这种变形求解 的．在以后的求函
xy0

x

x
数极限的问题中可 灵活运用．
2.4 利用四则运算法则求极限
对和、差、积、商形式的函数求极限，自然 会想到极限四则运算法则，法则本身
很简单．但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变 换或化简，采用
怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定．常用的变形或化简有分式的约分或通分、< br>分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及
适当的变量替 换．
xx
2
x
n
n
例 5 求极限
lim
，
n
为正整数．
x1
x1
2n
xxx
解
lim
x1
x1
n

2n

x1x

1x1

lim


x1
x1x1x1




lim

1

x
x1
1

x2
x


x1
1



x
n1
x
n2
x




1
x1
lim1lim

x1

lim

x
2
x1

lim
< br>x
n1
x
n2
x1

x1x1< br>
123n


n

n1

．
2
本题先利用拆项求 和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形
式进行求解．
2.5 利用迫敛性求极限
例 6 求极限
lim
解 由放缩法得
223 n(n1)
23n1123n

，
22
nnn
2

4
n
223n(n1)
．
2
n

化简得
223n(n1)
n3n1

，
2
2nn2n
因为
n1n31
lim
，

n
2n
n
2n2
lim
由迫敛性定理得 n
lim
223n

n1

n< br>2

1
．
2
在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法 找出适当的两个函数，且这两个
函数的极限相等．本题就是用放缩法使得
223 n(n1)
23n1123n

，
222< br>nnn
且
lim
n1n31
lim
，满足函数极限的 迫敛性，即可求出极限．
n
2n
n
2n2
2.6 利用归结原则求极限
归结原则 设
f
在
U
0

x
0
;

'

内有定义，
limf
x

存在的充要条件是：对任何含
xx
0
于
U
0

x
0
;

'

且以
x0
为极限的数列

x
n

，极限
limf
x
n

都存在且相等．
n

11

例 7 求极限
lim

1
2

．
n

nn

n

x1

分析 利用复合函数求极限 ，令
u

x



1
2
x


x1

解 令
u

x< br>


1
2

x

x
2
x1
x
2
x1
，
v

x


x1
求解．
x
，
v

x


x1
则有 < br>x
nn
limu

x

e
；
limv

x

1
，

由幂指函数求极限公式得
v

x


11

lim

1
2

limu

x

e
，
x

xx

x
x
故由归结原则得

5


11

11

lim

1
2

lim

1
2

e
．
n

nn

x
xx


注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来 处理，对于
xx
0
，

xx
0
，
x 
和
x
这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的
nx
形式．
注 2 若可找到一个以
x
0
为极限的数列
< br>x
n

，使
limf

x
n
不存在，或找到两个
n
'
都以
x
0
为极限的数列< br>
x
n

与

x
n
''

，使
limf

x
n
'

与
li mf

x
n


都存在而不相等，则
nn< br>xx
0
limf

x

不存在．


2.7 利用等价无穷小量代换求极限
tanxsinx
．
3
x0
sinx
sinx
解 由于
tanxsinx

1cosx

，而
cosx
例 8 求极限
lim
x
2
sinx~x

x0

，
1cosx~

x0

，
sinx
3
~x
3

x0


2
故有
x
2
x
tanxsinx1
2

1
．
limlim
x0x0
cosxsinx
3
x
3< br>2
注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除
的因 式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，
如在例题中，若因有tanx~x

x0

，
sinx~x

x 0

，而推出
lim
tanxsinxxx
lim0
，
x0x0< br>sinx
3
sinx
3
则得到的式错误的结果．
附 常见等价无穷小量
x
2
sinx~x

x0

，
tanx~x

x0

，
1cosx~
< br>x0

，
2

6

arcsin x~x

x0

，
arctanx~x

x0

，
e
x
1~x

x0

，
ln

1x

~x

x0

，

1x

1~

x

x0
．
2.8 利用洛比达法则求极限
0
洛比达法则一般被用来求型 不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限
0


要求在点
x< br>0
的空心领域
U
例 9 求极限
lim
x

0

x
0

内两者都可导，且作分母的函数的导数不为 零．
1cosx
．
x

tan
2
x
x

解 由于
lim

1cosx

limtan
2
x 0
，且有

1cosx

'sinx
，

tan
2
x

'2tanxsec
2
x0< br>，
由洛比达法则可得
1cosx

x

tan
2
x
sinx

lim

2
x

2tanxsexc
lim< br>
cos
3
x


lim


x

2


e
x
例 10 求极限
lim
3
．
x
x
1
．
2
解 由于
lime
x
limx
3

，并有
x x

e

'e
xx
，

x< br>3

'3x
2
0
，
由洛比达法则可得
e
x
e
x
limlim
2
，
x
x
3
x
3x
由于函数
f

x

e
x
，
g

x

3x
2
均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则
e
x
e
xe
x
e
x
limlim
2
limlim< br>．
x
x
3
x
3x
x
6 x
x
6

7

注 1 如果
lim
xx
0
f'

x

0
仍是型不定式极 限或型不定式极限，只要有可能，我
0

g'

x

f'

x

是否存在，这时
f'

x

和
g'

x

在
x
0
的
g'

x

们可再次用洛比达法则，即考察极限
lim
某领 域内必须满足洛比达法则的条件．
注 2 若
lim
xx
0
x x
0
f'

x

f

x
不存在，并不能说明
lim
不存在．
xx
0
g
< br>x

g'

x

注 3 不能对任何比式极限都按 洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式
极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件．
下面这个简单的极限
lim
xsinx
1
虽然是型，但若不顾条件随便 使用洛比达法则
x
x
xsinx1cosx
，
lim lim
xx
x1
就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论．
2.9 利用泰勒公式求极限
在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在
x< br>0
0
时的特殊形式，即麦
克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
f

0
< br>2
f

n


0

n
f< br>
x

f

0

f'

0

xxx


x
n

．

2!n!
例 11 求极限
lim
cosxe
x0< br>x
4

x
2
2
．

解 由于极限式 的分母为
x
4
，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取
n4
：
x
2
x
4



x
5

，
cosx1
224

e

x
2
2
x
2
x
4
 1


x
5

，
28

x
2
2

cosx e
x
4



x
5

．
12
因而求得

8

lim
cos xe
x0
x
4
x
2

2
x
4



x
5

1
lim
12
4

．

x0
x12
利用此种方法求极限时， 必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的
n
．
2.10用导数的定义求极限 常用的导数定义式,设函数
yf

x

在点
x
0
处可导，则下列式子成立：
1．
f'

x

lim
xx
0
f

x

f

x
0

，

xx
0
f

x< br>0
h

f

x
0

．

h
2．
f'

x
0

lim
h 0
其中
h
是无穷小，可以是x

xxx
0

，
x
的函数或其他表达式．
例 12 求极限
limx0
x
2
p
2
p
xqq
22


p0,q0

．

0
分析 此题是
x0
时型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消
0
去分 母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学
习了导数的定义式之后， 我们也可直接运用导数的定义式来求解．
解 令
f

x

x
2
p
2
，
g

x

x
2
q
2

则

lim< br>x0
x
2
p
2
p
xqq
22
f

x

f

0

x 0

lim

x0
g

x

g

0

x0


f'

0


g'

0

p
．

q


2.11 利用定积分求极限
有定积分的定义知，若
f

x

在

a,b

上可积，则可对

a,b

用某种特定的方法并

9

取特殊 的点，所得积分和的极限就是
f

x

在

a,b

上的定积分．因此，遇到求一些和
式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和 ，就可用定积分求此极限．这是求
和式极限的一种方法．

111


例 13 求极限
limn

．

222

n

nn




n1

n2

解 对所求极限作如下变形：

111

limn



22 2

n

nn




n1

n2




111


1

lim


222
n 


1

2

n

n


1

1

1

nn

n



lim

n
i1
n
1
．


2

i

n

1


n

1
不难看出，其中的和式是函数
f

x


1
1x

2
在区间

0,1

上的 一个积分和，所以有

111

limn



22 2

n

nn




n1

n2




1
1
0

1x

1
2
dx


< br>1
0

1x

2
d

1x



1
1

0

1x
1
．

2


10