韩群凤-河北考试院录取查询

模块基本信息
一级模块名称
先行知识

知识内容
1、数列极限与函数极限的概念
2、函数左极限与右极限的概念
3、极限存在与左、右极限之间的关系
能力目标
时间分配
修订
1培养学生的抽象思维能力
2培养学生分析问题、解决问题的能力
45分钟
熊文婷
编撰 黄小枚
二审
校对 王清玲 审核
危子青
危子青
函数与极限 二级模块名称
模块编号
模块编号
教学要求
1、通过直观案例导出极限的
相关概念
2、理解函数左极限与右极限
的概念
3、掌握极限存在与左、右极
限之间的关系
理解

掌握程度
基础模块
1-5
三级模块名称 极限的通俗定义
一、正文编写思路及特点
思路：通过讲解数列极限的通俗定义，推广到函数极限，并且分两类
情况
x
和
xx
0
讲述函数f(x)的极限的定义，以 及单侧极限的
定义，最后给出函数极限存在的定理。
特点：通过数列的变化趋势让学生直观感 受到数列极限的定义，从而
让学生更容易理解函数的极限，然后分类讲解，由
x
时 函数的极
限类比推广到
xx
0
时函数的极限，培养学生的类比推理、触类旁 通
的能力。


一、授课部分
（一）数列极限的通俗定义
数列：按一定的规律排列的无穷多个实数
x
1
,x
2
,x
3
,...,x
n
,...
称为数列，
简记为
{x
n
}
.
其中
x
n
称为数列的通项，n为数列的下标.
数列
{x
n
}
可以看作自变量为正整数n的函数：
x< br>n
f(n),nN

.在
直角坐标系中，数列的图像由无穷多个分 散的点构成.
观察以下图像：

1
（函数
y()
n
的图像）图1
2


1
（函数
y
的图像）图2
n


（函数
y
n
的图像）图3
n1

（函数
y2
n
的图像）图4


1(1)
n
（函数
y
的图像）图5
2

分析：
1
n
2
1
⑵
图2中，在
n
时，函数
y
的取值趋于0；
n
n
⑶
图3中，在
n
时，函数
y
的取值趋于1；
n1
⑴
图1中，在
n
时，函数
y()
的取值趋于0；
⑷
图4中，在
n
时，函数
y2
的取值趋于

；
n
1(1)
n
⑸
图5中，在
n
时，函数
y
的取值为0，1，0，1

.
2

得到数列极限的通俗定义如下：
定义1 当n无限增大时，如果数列
{x
n
}
的通项
x
n
无限趋近于常

数
a
,则常数
a
称为数列
{x
n
}
的极限，或称数列< br>{x
n
}
收敛
a
,记作
limx
n
a
否则称
{x
n
}
发散.
n
.
（二）函数极限的通俗定义
1.
x
时函数f(x)的极限
由数列
x
n
f(n)< br>推广到函数
yf(x)
，在直角坐标系中，函数的
图像由无穷多个连续的点构 成.
观察以下图像：
y
x
1
x

图6 图7
分析：
1
⑴
图6中，在
x
时，函数
y()
x
的取值趋于0；
2
1
⑵
图7中，在
x
时，函数
y
的取值趋于0；
x
y
⑶
图6中，在
x
时，函数
y2
的取值趋于

.
x

得到
x
时函数极限的通俗定义如下：
定义2 如果当
x
时,函数
f(x)
无限趋近于一个确定的 常数
A
,
则称当
x
时
f(x)
的极限存在 ，且
A
为极限,记作
limf(x)A
或
x
f(x )A
(当
x
时).否则称
limf(x)
不存在.
x
2.
x
时函数f(x)的极限
继续观察图6和图7，分析：
⑴
图6中，在
x
时，函数
y2
的取值趋于0；
x
1
的取值趋于0；
x
1
⑶
图6中，在
x
时，函数
y()
x
的取值趋于

.
2< br>
得到
x
时函数极限的通俗定义如下：
⑵
图7中，在
x
时，函数
y

定义3 如果当
x
时,函数
f(x)
无限趋近于一个确定的常数
A
,
则称当
x
时
f(x)
的极限存在，且
A
为极限,记 作
limf(x)A
或
x
f(x)A
(当
x 
时).否则称
limf(x)
不存在.
x
结合定义2和定义3，不难得出以下结论：
⑴
x
分为
x
和
x
两种；
⑵
lim
f(x)=A

lim
f(x)=
lim
f(x)=A，
x
xx
例如
lim
x111
=0

lim
=
lim
=0.
x 
x
x
xx
⑶
x
时函数极限的通俗定义:如果当
x
时,函数
f(x)
无限趋
近于一个确定的常数
A, 则称当
x
时
f(x)
的极限存在，且
A
为极限,记作
limf(x)A
或
f(x)A
(当
x时).否则称
limf(x)
不
xx
存在.
3. x

x
0
时函数f(x)的极限
继续观察图7，分析：
1
⑴
在
x1
时，函数
y
的取值趋于1；
x
⑵
考虑挖空
x1
这点，仍有在
x1
时，函 数
y
⑶
在
x0
时，函数
y
1
的取值趋于1；
x
1
的取值趋于

.
x

得到
xx
0
时函数极限的通俗定义如下：
定义4 如果当xx
0
时,函数
f(x)
无限趋近于一个确定的常数
A
, 则称当
xx
0
时
f(x)
的极限存在，且
A
为极限,记作
xx
0
limf(x)A
或
f(x)A
(当
xx
0
时).否则称
limf(x)
不存在.
xx
0
注：函数
f(x)
当 x

x
0
时的极限是否存在，与
f(x)
在点
x
0
处
是 否有定义无关.
定义4.1（右极限）当x

x
0

时，有
limf(x)A


xx
0
定义4.2（左极限）当x

x
0

时，有
limf(x)A


xx
0
函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限.

定理1 [极限存在的充分必要条件]
函数
f(x)
当
xx
0
时极限存在的充分必要条件是，
f(x)
当
x x
0
时的左右极限都存在并且相等.即
xx
0
limf(x )A
limf(x)limf(x)A


xx
0xx
0
xx
0
例如
limf(x)A
limf (x)limf(x)A


xx
0
xx
0注：求分段点处的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右
极限是否存在并且是否相等.
例1 判断下列函数在分段点是否存在极限

1

（1）
f(x)sgn(x)

0

1


x 1x0
（2）
f(x)

.
1xx0

sgn(x)lim(1)1
， 解：
⑴< br>因为
limsgn(x)lim11
，
lim

< br>x0x0
x0x0
x0
x0
；
x0
所以
limsgn(x)
不存在.
x0
f(x )lim(x1)1
，
limf(x)lim(1x)1
，
⑵
因为
lim

x0x0x0x0
所以
limf(x)1
.
x0
三、能力反馈部分

（一）（考查学生对
x
时函数f(x)的极限的掌握）
判断下列函数的极限是否存在，若存在，求出极限值：

（1）
lime
x
(2）
lim
x
2x

x
x
（二）（考 查学生对x

x
0
时函数f(x)的极限的掌握）

判断下列函数的极限是否存在，若存在，求出极限值：

x1,x2
①
y

（当
x2
时）
x2

x，

sinxx0

②
y

1
（当
x0
时）
xx0

3
