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浅谈二元函数极限不存在的判定
摘要：求二元函数极限是高等数学的学习中 的难点。本文对利用点的领域、路径、
聚点等判定二元函数极限不存在进行了简要地归纳总结，寻找出了 一些规律。
关键词：高等数学，二元函数，极限，聚点，邻域，路径
1.理论依据 1.1定义1：设
f
为定义在
D
2
上的二元函数,
P
0
为
D
的一个聚点,

是一
个确定的实数。若 对任给的正数

,总存在某正数

,使得当
PU
0
(P
0
;

)D
时,都有
f(P)


则称
f
在
D
上当< br>PP
0
时,以

为极限,记作

limfP()

(1)

pp
0
pD
在对于
PD
不致产生误解时,也可简单地写作
'

limfP()

(1

)
pp
0
当
p,p
0
分 别用坐标
(x,y)
,
(x
0
,y
0
)
时 ,
(1
'
)
式也常写作

(x,y)(x
0
,y
0
)
lim

)

f(x,y)

(1
1.2定 义2：设函数
z
的实数,如果
0


2
f(x ,y)
在
D
0
使
,
内有定义,
P
0
(x
0
,y
0
)
是
D
内的点,
是一个确定
U
0
(

P,)
即
D
满 足不等式：
f(x,y)


0,


)< br>得
P(x,y
(xx
0
)(yy
0
)

的一切点
P
,都有：
|f(x.y)A|

成立, 则称
A
为
z
,也记作
(x,y)
lim
(x, y)
00
在
PP
0
时的极限,记作
lim
f(x ,y)
=
A
xx
0
yy
0
f(x,y)A< br>,或者
P
lim
P
f(P)A
。
0
1.3 定理1：
limf(p)A
的充要条件是：对于
D的任一子集
E
，只要
p
0
是
E
的
p p
0
pD
聚点，就有
limf(p)A
。
pp0
pE
f(P)
不存在（包括非正常极限），1.4定理2：设
ED
,
P
0
是
E
的聚点，若
P
lim
P
PE
0
则
P
lim
P
PD
f( P)
也不存在。
0

1.5定理3：设
D
1
,D
2
D,P
0
是平面点集
D
1< br>,D
2
,D
的聚点,若存在极限
PP
0
PD1
limf(P)A
1
,limf(P)A
2
PP
0
PD
2
limf(P)
不存在。 ,但
A
1
A
2
,
则
PP
PD
0
1.6 定理 4：极 限
limf(p)
存在的充要条件是：对于
D
中任一满足条件
pp
0
pD
p
n
p
0
，且
limp
n
p
0
的点列

p
n

，它所对应的 函数列

f(p
n
)

n
都收敛。
(x,y)
依据定理2和定理3,可以选择沿一条特定的路径
P(x,y)P
000
，函数
f(x,y)
的极限不存在(包括非正常极限)，其中路径可以是定义集合内一 条通过点
P
0
的连续曲线，也可以是以点
P
0
为极限的点列 。
根据二元函数极限的几何意义，若函数
f(x,y)
在点
p
0< br>(x
0
,y
0
)
存在极限，则动点
P(x,y)沿任意一条曲线(或点列)无限趋近于点
p
0
(x
0
,y
0
)
时，函数
f(x,y)
都存在极限，
并且极限值是相同的。
选择沿两条不同的路径
P(x,y)P
0
(x
0
,y0
)
,使得函数
f(x,y)
有不同的值。其中路
径可以根据函 数而确定为直线或者曲线。多数情况下,选择趋于点
P
0
的不同直线(包括
坐 标轴)和特殊的曲线。
由此可知，我们可以通过下列两条途径来判定
f(x,y)
在 点
p
0
(x
0
,y
0
)
的极限不
存在：
(1)沿一条特定的路径
p(x,y)
→
p
0
(x
0
,y
0
)
，函数
f(x,y)
的极限不存在。
(2)沿两条不同的路径
p(x,y)
→
p
0
(x
0
,y
0
)
，函数
f(x,y)
的极限值不同。
这样一来，判定极限不存在的关键就转化为寻找恰当的路径。下面，我们假定
(x
0
, y
0
)
为原点
O(0,0)
，根据二元函数
f(x,y)< br>的结构特点，提出可供选取的路径。
2.对于以下两种函数结构，可选取直线路径
y kx
，
(k0)
。
2.1不恒为常数的零次齐次函数
不恒为常数的零次齐次函数,是指满足条件
f(tx,ty)
=
f(x,y)
,且
f(x,y)


C(C为
常 数)的函数
f(x,y)
,。对于这类函数，由于当动点
p(x,y)
沿定义 域内的直线
ykx

趋向于原点
O(0,0)< br>时，有
lim
x0
ykx0
f(x,y)
=
lim
f(x,kx)
=
f(1,k)f(k)

x 0
而上式
f(x)
)因k不同而不同，所以
f(k)
函数
f(x,y)
,当动点
p(x,y)

C
这表明，
沿不同直 线趋于原点
O(0,0)
时，极限值不同，所以极限不存在。
1
例1：验证
f(x,y)
=
x
2
y
3
在点
O(0,0 )
极限不存在。
3
x
2
xyy
2
解：函数< br>f(x,y)
为不恒为常数的零次齐次函数，
定义域
D
：

(x,y)|x0,y0,但x,y不同时为零

，
1
选取直 线
ykx
，有
lim
x0
ykx0
f(x,y) lim
x
2
kx
3
x0
=
3
k
1kk
3
，这说明，当动点
x
2
xkx(kx)
2
沿直线
ykx
趋向于原点时，由于k不同，函数
f(x,y)
将趋 近于不同的常数，因而极限不
存在。
另外曲线路径里面,比较典型的是沿着二次曲线路径使动 点
P
趋于定点
P
0
,使得函
数解析式中出现无穷小的部分。 对于满足
f(x,y)F(
ayb
(cxd)
2
)
的 函数,讨论
db
(x,y)(,
ca
limfx(y,
的时候)
, 可以考虑沿着路径：
y
)
(cxd)b
a
2
使动点
P(x,y)
趋于定点
P
0
(,)
。 < br>ca
db
lim
例2：
(x,y)(2,1)
(x2)( y1)
3(x2)(y1)
42
2
,可以选择动点
P(x, y)
沿着曲线
yk(x2)
2
1
趋于
P
0< br>(2,1)
,此时
函数所趋于的常数值与
k
有关系, 因而极限不存在。
2.2分子的次数不大于分母的次数的齐次有理分式函数
对于有理分式函 数
f(x,y)
P(x,y)
Q(x,y)
，其中
P(x,y), Q(x,y)
分别是关于变量
x,y
的
m
次
f(x,y)< br>,可以选取动点和
n
次齐次多项式,而且
mn
,此时计算二元函数极 限
(x,y
lim
)(0,0)

P(x,y)
沿着直线而趋
O(0,0)
时有：
P(k)
Q(K)
x0
ykx0
limf(x,y)
=
limx
mn

x0
=
P(k)
Q(K)
，此极限的值随k的 变化而不同，
P(k)
Q(K)
当
mn
时，
limx< br>x0
mn

P(k)
Q(K)
=
lim
1
x
nm
x0

，易知，在实数范围内至少存在一点
k
0
R
，使
P(k
0
)0
，
Q(k0
)0
。于是当动点
P(x,y)
在定义域内，沿直线
yk
0
x
趋向
P(k
0
)
Q(k
0
)
于原点时，是非零常数。所以
x0
ykx0
0

lim fx(,y
=
)
lim
x0
1
x
nm

P(k
0
)
Q(k
0
)

，因而limf
x0
y0
x(,y
不存在。
)

例3：验证
lim
xy
xy
x0
不存在。
解 ：函数
f(x,y)
=
xy
xy
为齐次有理分式函数，分子
P(x,y)
=
xy
是一次齐次函数,
xkx
xkx
11k
xk
符合
mn
的条件,选取路径
ykx
。, 有
limf(x,y)
=
lim
x0
x0
ykx0

=
lim
x0
，取
k
0
=2,
即当动点
p(x,y)
沿定义域内的直线
y2x
趋向于
O(0 ,0)
时,有
limf(x,y)
=
lim
x0
x2x
x2x
x
x0
ykx0
=
lim
y
3
2x
x0
所以,函数
f(x,y)
在原点
O(0,0)
的极限不存在。
例 4：验证
lim
ee
x0
y0
sinxy
是否存在。
ee
sinx
ee
x
xx
解：由
limf( x,y)
=
lim
x0
yx
x0
yx
2< br>=0；
2x
2
)

limfx(y,
=
lim
x0
y2x
x0
y2x
sin2x
=

，
知
lim
ee
xy
x0
y 0
sinxy
不存在。
m
n
3.对于不恒为常数的广义零次齐次函数，可以选取曲线路径
ykx

不恒为常数的广义零次齐次函数，是 指满足条件
f(t
m
x,t
m
y)
=
f(x,y)
,(m>0,n>0)
的函数
f(x,y)
,对于这类函数,若令
t x
m

1
n
,则有
f(x,y)
=
f( 1,yx
于原点

m
n
)
当动点
p(x,y)< br>沿
lim
曲线
y
n
k


x
(x>0)
m
n
趋
O(0,0)
时,有
x0
ykx0
f(x,y)
=
lim
x0
yk x0
f(1,yx
。显然 当k改变时,
f(k)
不是一
)< br>=
limf(1,k)
=
f(k)
。
x0
个常数。 这表明
f(x,y)
在原点
O(0,0)
的极限不存在。
例5：讨论
f(x,y)
=
xy
xy
22
当
(x,y)(0,0)
时是否存在极限。
ymx
趋解：当动点
p(x,y)
沿直线
f(x,y)
=
f(x,mx)
=
m
1m
2
于定点
(0,0)
时，由于此时
。
这一 结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同因而所讨
论的极限不存在。
例6：验证
lim
x0
y0
xy
2xy
xy
2xy
42
2
2
42
不存在。
的定义域
D
：

(x,y)|xR,yR,但x,y不同时为 0

，其
lim
xy
2xy
42
2
解： 函数
f(x,y)
=
中m=2，n=1，取
ykx
，有
2
2
x0
2
ykx0
=
lim
xkx
4
22
22
x0
2x(kx)
=
k
2k< br>2
，其结果与k有
关，因而
lim
x0
y0
xy
2xy
42
不存在。
4.函数
f(x,y)
含有“x
2
y
2
”，或
f(x,y)
为齐次有理分式函数， 可以先进行坐
标变换


xrcos


yr sin

，
0r
，



< br>

，然后再根据相应的结构形式，选取
不同的路径。
例7：验证< br>lim
x0
y0
xy
x
2
22
2< br>xy
不存在。
xy
x
2
22
2
< br>xrcos

解：作坐标变换


yrsin

，函数
xy
化为
r
1cos


（ⅰ）取路径



0


，当



0
，
r0

时 ，
r
1cos

0
r
；
1
， （ⅱ）取路径
r(

)1cos

，当

< br>

，
r0

时，
所以
lim
x 0
y0
1cos

xy
x
2
22
2
xy
不存在。
xy
2
33
例8：验证
l im
x0
y0
xy
是否存在。
xy
xy
2
33
解：当
y1
时，有
33
f(x,y)
3
2
，坐标变换

3

xrco

s< br>
yrsi

n
3
，则
3
0limf( x,y)lim
x0
y0
r(cos

sin
< br>)
r
2
=
limr(cos

sin
< br>)
=0，所以函数
lim
x0
r0
y0
3xy
2
xy
存
在。
5.判断二元函数极限不存在的方法， 一般采用选取两条不同的路径获得不同的
极限值，若找到一条路径，函数在其上有定义，但极限不存在， 都能断言其原极限不
存在。
例9： 讨论
lim
xy11
xy
的存在性。
1
xy1 1
x0
y0
解：
lim
xy11
xy
=
lim
1
xy
xy
xy
x0
y0
x 0
y0


=
lim
2
x0
y0
xy

=


0

1
yx
yxx
2
,故原函数极限不存在。
6.对于有些结构形式的函数，需要先做适当变形，再选取适当路径来证明极限不
存在。 例10：证明
lim
1cos(xy)
(xy)xy
222222
不存在。
x0
y0
证：先将函数变形，有

1cos(xy)
(xy)xy
2222
2 2
2
=
2222
(xy)xy
2sin
xy
2 2
sin
xy
22
=
(
2
22
xy< br>2
)
xy
2xy
2
22
2

s in
xy
22
令
f(x,y)
=
(
2
2 2
xy
2
)
，
g(x,y)
2
xy
2xy
2
22
2

一方面，
limf(x,y)10
，
x0
y0
另 一方面，当动点
p(x,y)
沿直线
limgx(y
=
,
l im
)
2x
2x
2
4
ykx
趋于原点时
O(0,0
，有
x0
yx0
xo
=
lim
1
x
2
xo
=

。
1cos(xy)(xy)xy
2222
22
所以，
limg(x,y)
=
，从而
limf(x,y)g(x,y)
=

,这表明lim
x0
yx0
x0
y0
不存在。
x0
y0
[参考文献]
[1]韩超，王继成，齐秀丽.数学分析选讲[M] .哈尔滨：黑龙江教育出版社，2003.
[2]华东师范大学数学系编<下册>.北京.高等教育出版社.
[3]侯风波，王富彬.应用数学[M] . 北京：科学出版社，2012.