斯坦德大学-自我评价怎么写

经济数学

课 次
基本课题
12 授课日期 9.26-9.30
极限的定义
知道极限的描述性定义；熟练掌握求简单函数的极限；熟练 掌握极限存在的充要条
件；理解无穷小与无穷大定义，理解无穷小与无穷大的关系。

编号 02
教学目的
重
点
课
型
函数极限的定义 ；极限存在
的充要条件；无穷小的定义

难
点
学
时
极限存在的充要条件；无穷小与无穷大
的关系

一、函数的极限
1. 自变量趋于无穷的情形
定义1
例题 求
lim
定义2
例题 求
lim
定义3
定理1
2.自变量趋于有限值
x
0
的情形
定义4
注意：
例题
定义5
定义6
定理2
例题
练习：







新授课 2


教 学 过 程 时间分配 教学方法 能力培养
1

x
x
1

x
x
45min 引导，讲授
在极限教学中,引导学
生从数 学角度认真分
析极限定义中变量的
变化特征与内在联
系 ，辩证剖析变与不
变 、具体与抽象、有限
与无限、近似与精确等
对立统一规律,使学生
认识和理解极限思想 ,
培养学生科学的辩证
思维和世界观。

二、无穷小量
1. 无穷小量的定义
定义1
注：
2．无穷小的运算性质
性质1
性质2
例1
练习 求
lim
性质3
三、无穷大量
1. 无穷大量的定义
定义2
注意：
2. 无穷大与无穷小的关系
定理2
1
cosx

x
x
45min 讲授
让学生充分体会比
较无穷小在实际生< br>活中和数学中的不
同含义，培养学生
的思维发散能力。


作 业：习题2-2 1.2.3

课后记：
【教学过程】:
一、函数的极限
1. 自变量趋于无穷的情形
自变量趋于无穷可分为趋于正无穷和负无穷，先讨论当
x
时，函数的极限。
定义1 设函数
yf(x)在(a,)(a
为某个实数)内有定义，如果当自变 量
x
无限增大时，相
应的函数值
f(x)
无限接近于某一个固定的常 数
A
，则称
A
为
x
（读作“
x
趋于 正无穷”）
时函数
f(x)
的极限，
记作
limf(x)A
或
f(x)A(x)

x
例题 求
lim
1

x
x
1
1
趋于零，故
lim
＝0
x
x
x
由图像可知，当
x
趋于正无穷时，
定义2 设 函数
yf(x)在(-,a)
(
a
为某个实数)内有定义，如果当自变量
x
无限增大且
x0
时，相应的函数值
f(x)
无限接近于 某一个固定的常数
A
，则称
A
为
x
（读作“
x
趋

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于负无穷”）时函数
f(x)
的
极限，记作
limf(x)A
或
f(x)A(x)

x
例题 求
lim
1

x
x
由图像可知，当
x
趋于负无穷时，
定义3 设函数
yf(x)
在
11
趋于零，故
lim
＝0
x
xx
xb
(b
为某个正实数)时有定义，如果当自变量
x
的绝对值
无限增大时 ，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数
A
，则称
A
为
x< br>（读作“
x
趋于无
穷”）时函数
f(x)
的极限
记作
limf(x)A
或
f(x)A(x)

x 
由上述两个例题可知，
lim
11
0
，同理可证，
li m
2
0

x
x
x
x
定理1当< br>x
时，函数
f(x)
的极限存在的充分必要条件是当
x时和
x
时函
数
f(x)
的极限都存在而且相等。即 limf(x)A
的充分必要条件是
limf(x)limf(x)A
．
xxx
2.自变量趋于有限值
x
0
的情形
y
x
2
1
引例 对于函数
f(x)
，如图
x1
O

1
2

x

x
2
1
当
x1
时,
f(x)
的值无限趋近
x1
x
2
1
于常数2，此时我们称当
x
趋近于1时，函数
f(x)< br>的极限为2
x1
ˆ
0
,

)
内无限接近 定义4设函数
yf(x)
在点
x
0
的去心邻域内有定义，如果当自 变量
x
在
N(x
于
x
0
时，相应的函数值
f(x)
无限接近于某一个固定的常数
A
，则称
A
为当
x x
0
（读作“
x
趋
近于
x
0
”）时函数< br>f(x)
的极限，记作
limf(x)A
或
f(x)A(xx< br>0
)

xx
0
注意：1.
f(x)
在
xx
0
时的极限是否存在,与
f(x)
在
x
0
点处有无定义以及在点
x
0
处的函数
值无关．

2.在定义5中,
x
是以任意方式趋近于
x
0的,但在有些问题中，往往只需要考虑点
x
从
x
0
的
一 侧趋近于
x
0
时，函数
f(x)
的变化趋向．
例题 求
limx

x3
2
由函数图像可知,无论
x
从 哪一侧趋近于3时,函数值总是无限接近于9,故
limx9

x3
2
定义5 设函数
yf(x)
在点
x
0< br>的左半邻域
(x
0


,x
0
)
内 有定义，如果当自变量
x
在此半邻
域内从
x
0
左侧无限接近 于
x
0
时，相应的函数值
f(x)
无限接近于某个固定的常数
A
，则称
A
为当

)

x
趋近于
x
0
时函数
f(x)
的左极限,记作
limf(x)A
或
f(x)A(xx
0

xx
0
定义6 设函数yf(x)
的右半邻域
(x
0,
x
0

< br>)
内有定义，如果当自变量
x
在此半邻域内从
x
0
右 侧无限接近于
x
0
时，相应的函数值
f(x)
无限接近于某个固定的 常数
A
，则称
A
为当
x
趋近

f(x) A
于
x
0
时函数
f(x)
的右极限,记作
lim< br>或
f(x)A(xx)

0

xx
0
函数的左右极限有如下关系:
定理2 limf(x)A
的充分必要条件是
lim

f(x)lim

f(x)A
．
xx
0
xx
0
xx
0
例题 设函数
f(x)
在.
x
,求
f(x)
在
x0
处的左、右极限,并讨论
f(x)
在
x0
处是否有极限存
x
解: 因为当
x0
时,
f(x)1
,因此
lim

f(x)1
,
x0
f(x)1
又当
x0
时,
f(x)1
,因此
lim

x0
由定理2可知，
limf(x)
不存在。
x0
练习：判断函数
f(x)

二、无穷小量
1. 无穷小量的定义

1cosxx0
在
x0
处是否有极限。

sinxx0
定义1 以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用

,

,

表示。
例如
lim
11
0
，所以函数当
x
时是无穷小．
x
xx
x0
2
2
又如
limx0
，所以函数
x
当
x0
时是无穷小。

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注意：应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的 变量，而不是绝对值很小的数。因此应
明确指出其变化过程。
例如 函数
f(x)
1

是
x
时的无穷小，但当
x1
时不是无穷 小。当
x
时，
sinx
的
x2
极限不为零，所以当
x
2. 极限与无穷小之间的关系

时，函数
sinx
不是无 穷小，而当
x0
时
sinx
是无穷小量。
2
定理1 < br>limf(x)A
的充要条件是
f(x)A

，其中

是无穷小，即
limf(x)Alim

0,

f (x)A
.
3. 无穷小量的运算性质
性质1 有限个无穷小的代数和是无穷小。
注意：①.此处是指有限个无穷小的代数和是无穷小,但无穷多个无 穷小的代数和不一定是无穷
小.
例如:
lim(
n
12

22
nn

nn(n1)111
)limlim() 

22
nn
n2n22n2
②.代数和是指和与差两种运算.
性质2 无穷小与有界函数的积是无穷小.
例1 求
limxsin
x0
1

x
1
是有界函数,故根据性质2可知,此极限值为0.
x
分析: 当
x0
是,
x
是无穷小,
sin
解: 因为
limx0,sin
x0
1
1
1
,故由性质2可得
l imxsin0

x0
x
x
练习 求
lim
1
cosx

x
x
123
,,
xxx
推论1 常数与无穷小的积是无穷小.
例: 当
x
是, 均是无穷小.
推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小.
三、无穷大量
1. 无穷大量的定义
定义2 在自变量
x
的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值
f(x)
无限增大, 则称
f(x)
为
该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记作
limf (x)

若函数值
f(x)
(或
f(x)
)无限增大 ,则称
f(x)
为该变化过程中的正(或负)无穷大,记作
limf(x)或( limfx()
.
)

注意：无穷大量不是很大的数,而是一个 变量,是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号
xx
0
limf(x)< br>，表示“当
xx
0
时,
f(x)
是无穷大量” ．
2. 无穷大与无穷小的关系
定理2 在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷
大量．
x
2
1
例2 求
lim
2

x1x1
x
2
1x
2
1
0
,由定理2可知
lim
2

解: 由于
lim
2
x1
x1
x1
x1
注意:以后遇到类似题目,可直接写结果.
例3 考察函数
f(x)
解: 因为
lim
x1
,自变量如何变化时是无穷大量?如何变化时是无穷小量?
x1
x1
0
,故当
x1
时,此函数为无穷小量.
x1
x1
x1x1
0
,故
lim
, 所以当
x1
时,此函数为无穷大量. 因为
lim
x1
x1
x1
x1