二元函数的极限与连续
吴江市高级中学-个人业务工作总结
§2.3 二元函数的极限与连续
定义
设二元函数
有意义, 若存在
常数A,
都有
则称A是函数当点 趋于点
或
或
趋于点
时的极限,记作
。
的方式无关,即不
,当（即）时，
在点的某邻域内
或
必须注意这个极限值与点
论P以什么方
向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向
分接近, 就能
使
。只要P与 充
与A
接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方
式可有无穷多
种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7
同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点
时,极限
在该点
存在,但不相等, 则可以判定
元函数极限不
存在的重要方法之一。
极限不存在。这是判断多
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,
在二元函数极
限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如 若 有, 其中
。
求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或
利用夹逼定理
来计算。
例4 求。 解由于
,
而,根据夹逼定理知 ,所以
。
a≠0)。 解
例5 求（
。 例6 求。 解
由于
理知
且,所以根据夹逼定
. 例7 研究函数
在点处极限是否存在。
解
当x2+y2≠0时，我们研究函数
，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于
（0，0）的极限，有
值，可得到不同的极
限值,所以极限
不存在,但
,。很显然，对于不同的
k
。
注意：
极限方式的
的区别,
前面两个求
本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是
求二元函数的
极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数
极限都不存在,因
为对任何,当时,
。它关于原点的两个累次
的第二项不存在极限；同理对任何
时, 的第
一项也不存在极限,但是
因此
。
由例7知, 两次累次极限存在,
但二重极限不存在。由例8可知,
二重极限存
在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:
定理1
若累次极限
都存在,则
三者相等（证明略）。 推论
若
但不相等,则二重极限不
存在
和二重极限
, 由于,
存在。 定义
设在点的某邻域内有意义,
且
称函数
,则
在点处连续,记
上式称为函数(值)的全增
量。则
。
定义
增量
。
为函数(值)对x的偏
二元函数连续的定义可写为
偏增量。 若
断点,
若
在点
为函数（值）对y的
处不连续,则称点是的间
在某区域
在区域G上连续。若在闭区域GG上每一点都连续,则称
的每一内点都连
续,并在G的连界点处成立
,
则称
为连续曲面。
在闭域
G
上连续。闭域上连续的二元函数的图形称
关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor
定理,对于
二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：
定理2
设在平面有界闭区域G上连续,则
（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值; （2）
,当时,都有
。
以上关于二元函数的
在G上一致连续,即
极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。