2016上海高考数学-板报主题

学习必备 欢迎下载
考研数学数列极限内容概括及考点总结
来源：文都教育
数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重 要考点，下面文都
考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮 助。
一、数列极限
1. 数列极限的定义
设

a
n< br>
为一数列，若存在常数
A
，对任意的

0
，总存 在
N0
，当
nN
时，有
|a
n
A|

，
称
A
为数列

a
n

的极 限，或称数列

a
n

收敛于
A
，记为
l ima
n
n
A
。
2. 收敛数列的性质
（1）收敛数列极限存在且唯一.
（2）收敛数列必为有界数列.
（3）收敛数列的保号性.
3. 极限存在准则
（1）夹逼准则
如果 数列

a
n

,

b
n

,

c
n

满足下列条件：
从某项起，即
n
0
N
，当
nn
0
时有，
a
n
b
n
c
n
，且
lima
n
limc
n
A
，
nn
则
limb
n
A
。
n
（2）单调有界准则
单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列< br>
x
n

必有极限。
【注】此准则只给出了极限的存在性， 并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以
后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得 到。
4. 重要结论

学习必备 欢迎下载
（1）若
n
lima
n
alima
n
a
n
.
（2）
n
lima
n
0lima
n
 0
n
.
（3）
n
lima
n
ali ma
2n
a,lima
2n1
a
nn
.
【考点一】数列极限的概念与性质
例1设
x
n
ay
n
.且lim

y
n
x
n

0,an
为常数，则数列

x
n

和

y
n

（ ）。
（A）都收敛于
a
（B）都收敛，但不一定收敛于
a
（C）可能收敛，也可能发散 （D）都发散
例2设
x
n
a
n< br>y
n
.且lim

y
n
x
n

0,

x
n

,

y
n

n
和
a
n

a
n

均为 数列，则
lim
n
（ ）。
（A）存在且等于0 （B）存在但不一定等于0 （C）一定不存在 （D）不一定存在
【考点二】（1）单调有界数列必有极限.
（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为

.
（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为

.
例1 设



0x
1
3,x
n1
x
n

3x
n

n1,2,
< br>，证明：数列

x
n

极限存在，并求此极限
例2 设
2
1x
0
0,x
n1
x
n
 2x
n

n0,1,2,

，证明：数列

x< br>n

极限存在，并求此极限
【考点三】夹逼准则
【思路提示】在使 用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是
尽可能的大，而“放大” 应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明
夹逼准则不适用，改方法。
【考点四】数列连加和的极限
11

lim

1< br>n

1112
例1. 求极限
1
12


n


学习必备 欢迎下载

12

lim

2

2

n
nn1nn2
例2.求极限

【考点四】利用函数极限求数列极限
n


n
2
nn

.
设< br>x
n
f

n

，则
n
n2
limx
n
limf

n

limf< br>
x

nx
.
1

lim< br>
nsin

n
n

.

例.求