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。
海涅定理在函数极限证明中的应用


摘 要：函数极限理 论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨
具有十分重要的意义。本文给出了一 些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极
限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证 明函数极限存在的方法，同时也加深了对
函数极限和数列极限两者间的关系的理解。
关键词：海涅定理；函数极限；数列极限
Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical
analysis. Study on the method proving existence of function limit is very meaningful.
In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using
Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems.
These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also
deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the
sequence limit.
Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit

数列极限与函数极限是 分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理
就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明 函数极限性质和极限存在的
判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除 此
之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极
限问题来处理 。
海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数
列极限与函数极 限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋
势相同，从极限的意义上来说，效果都是 一样的。因此，数列极限和函数极限在
一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。
近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一
些学者利用海涅定理 来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献
[1-6]。还有一些学者对海涅定理进行进一 步推广，见参考文献[7-10]。根据文献
精选资料，欢迎下载

。
[6，8,10] 对海涅定理进行归类整理的。

1 预备知识

定义1.1

1

函数在
x
0点的极限的定义：设函数
f

x

在
x
0点的附近（但可能除
掉
x
0
点本身）有定义，又设
A
是 一个定数。如果对任意给定的

0
，一定存在

0
，< br>使得当
0xx
0


时，总有
f
x

A

，我们就称
A
是函数
f

x

在
x
0
点的极限，
记为

limf

x

A
（或者记为
f
< br>x

A

xx
0

）.
x x
0
这时也称函数
f

x

在
x
0
点极限存在，其极限是
A
。


2 海涅定理的证明及推广

1
定理2.1

海涅定理 limf

x

A
的充分必要条件为对任何以
x0
为极限的
xx
0
数列

x
n

x
n
x
0

，都有
f

xn

A

n

。
证明 先证必要 性。由于
limf

x

A
，所以对任意的
< br>0
，存在

0
，当
xx
0
0xx
0


时，
f

x

A

.
但是
x< br>n
x
0
，故对

0
，又可得正整数
N< br>，
nN
时，

x
n
x
0


.
因为
x
n
x
0
，故上面的不等式可改写为

0x
n
x
0


.
而对于适合这个 不等式的
x
n
，其函数值
f

x
n
满足

f

x
n

A

.
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。
亦即当
nN
时，这个不等式成立，这也就证明了数列
f

x
n

以
A
为极限。
再证充 分性。用反证法，若
limf

x

A
，则对某一个
0
，不能找到函数极
xx
0
限定义中的

，也就是对任意的

0
，都可以找到一点
x

，
0x

x
0


，
使得
11
f

x


A

；特别地，若取

为
1,,,
23
，得到
x
1
,x
2
,x
3
,
满足
0x
1
x
0
1
，
f

x
1

A

； 0x
2
x
0

1
，
f

x
2

A

；
2
1
0x
3
x
0

，
f

x
3

A

；

3
…………
从左边一列可以看出
x
n
x
0

n 

，
x
n
x
0
，
而右边一列却说数列
f

x
n

不以
A
为极限，与假设矛盾。 充分性得证。
等价类型的海涅定理：
8
定理2.2

设< br>f

x

在
xM
上有定义则
limf
x

A
的充要条件是：对于任
x
何以

为极限的数列

x
n


x
n
M

，都有
limf

x
n

A。
n
证明 先证必要性。因为
limf(x)A
，则得到对任 意的

0
，存在
M0
，
x
当
x M
时有
f(x)A

.
但是
x
n

，故对
M0
，可得正整数
N
，当
nN
时有
x
n
M
。又因为
x
n
M
。
故 上面的不等式可以改写为
f(x
n
)-A

.
亦即当
nN
时，这个不等式成立，这也就证明了数列

f

x< br>n


以
A
为极限。
再证充分性。用反证法，假设
limf(x)A
，则对于某一个

0
，不能找到函
x 
数极限定义中的
M
，也就是对任意
M0
都能找到一个点
x
i
M
时，使得
f

x

A
。特别地，当取
M1,2,3,4,
时，得到
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
适合
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。
x
1
1,f(x
1
)A

，
x
3
3,f

x
3

A

，

x
4
4,f

x
4
A4
，

........
从左边一列可以看出
xn


n

，
x
n
M
，而右边一列却说数列
f

x
n

不以
A

为极限，与假设矛盾。充分性得证。
8
定理2.3

设
f

x

在
x0
的某一邻域
U

x
0
,


内有定义，则函数
f

x

在点
x
0
连 续的充要条件是：对任何含于
U

x
0
,

且以
x
0
为极限的数列

x
n

，都 有
limf

x
n

f

x
0

。
n
8
定理2.4

设函数
f

x

在点
x
0
的某空心右邻域
U< br>

x
0
,


有定义，则
xx
0
limf

x

A
的充要条件是： 对任何以
x
0
为极限的单调递减数列

x
n
U


x
0
,


，
n 
都有
limf

x
n

A
。
8
定理2.5

设函数
f

x
< br>在点
x
0
的某空心左邻域
U


x
0
,


有定义，则

xx
0
limf

x

A的充要条件是：对任何以
x
0
为极限的 单调递增数列

x
n

U


x
0
,


，
n
都有
limf
x
n

A
。

3 海涅定理的应用


3.1 利用海涅定理对函数极限运算法则、性质及判定定理等的证明
对于一些 函数极限的性质和定理等，无法用函数极限的定义证明或用函数的
定义证明比较复杂时，就可以利用海涅 定理将函数转化成数列来证明。
g

x

0,limg

x

0

例3.1 若
limf

x

与
limg

x

且


皆存在，则有
xx
0
xx
0
xx
0

limf

x

f

x

xx
.
lim
0
xx
0
g

x< br>
limg

x

xx
0
证明 设
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。
H

x


f

x

，
limf

x

A
，
limg< br>
x

B
.

xx
0
g

x

xx
0
又设

x
n
 
x
n
x
0

是任意一个含于函数
f,g
的定义域且以
x
0
为极限的数列。那么

H

x
n


由海涅定理的必要性可得

limf

x
n

A,limg

x< br>n

B
.
xx
0
xx
0
f

x
n

.
g

x
n

而根据数列极限的运算法则有
lim H

x
n


n
limf

x
n

n
limg

x
n

n

A
.
B
又由于数列

x
n
的任意性和定理2.1的充分性得
limH

x


xx
0
limf

x

limg
< br>x

xx
0
.
xx
0
例3.2 证明：若对任意的
xU

a,

0

有 f

x

g

x

h

x

，且
limf

x

limh
x

b
.
xaxa
则
limg

x

b
。
xa
证明 任作一数列

x
n

U

a,

0

，且
x
n
a
< br>n

，则由海涅定理知

l imf

x
n

limh

x
n

b
.
nn
因为
f

x

g

x

h

x

，
所以
f

x
n

g

x
n

h

x
n

.

所以由数列极限的迫敛性知

limg

x
n

b
.
n
又由海涅定理的充分性知
limg

x

存在且收敛于
b
。
xx
o
例3.3 若极限
limf

x

存在，则此极限是唯一的。
xx
o
证明 设
A
和
B
都是
f

x

当
xx
0
时的极限，即
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。
xx
0
limf

x

A,l imf

x

B
.
xx
0
作数列< br>
x
n

U

x
0
,


且
x
n
x
0

n
，由海涅定理知
limf

x
n

A
且
limf

x
n

B
.

n
n
由数列极限存在唯一性知
AB
。
3.2 利用函数的性质及海涅定理求数列的极限
对于求数列的极限，有时直接求不好求，就可先求与之相对应 的函数极限，
再利用函数的性质和海涅定理求出数列的极限。
1）求含有三角函数的数列极限


n1


例3.4 求极限
lim4ln

arctan




。
n
4n


n

在
x
解 因为
f

x

4ln

arctax
由海涅 定理可知

4
处连续。当
n
，
n1


。

4n4
n1




n1



lim4ln
< br>arctan




4ln

arct an

lim



4ln

arct an

0
.
n
4

4n


n
4n




1

例3.5 求极限
lim

ntan

。
n
n

1

1

解 设
x
，当
n
时，有
x0

。
由海涅定理可知 ，如果
lim


tanx

x0

x
n

1
x
2
n
2

存在，则一定有
1

1


lim

ntan

lim


tan x

n
x0

xn


1
下面我们先求
lim


tanx

x 0

x

1
x
2
n
2
1
x
2
.
。因为

tanxx


1

limtanx

x0


x
< br>又因为
lim

1
x
2



tanxx

lim


1

x 0


x



x

tanx x



x
3



.
x0
tanxxsecx11
tanxx

tanxx

lim
lim1
lim0
，
，


x0

x0
x
3
3x
2
3x0

x
x

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2
x
tanxx
e
.

。
所以

1

tanx

lim
x0


x

再由海涅定理得
1
x
2
e
.
1
3
1

1


lim

ntan

limtanx

n
x0


xn

2）求带有积分的数列的极限
例3.6 求极限
lim
n
n
2
1
x
2
e.
1
3
1
n
1

8ln1

dx
。

1
nx

解 因为
1< br>n
1

1
n

1

lim8ln 1dx8limln1

dx
.

11
n n
nx

nx

所以要求
lim
n 
1
n
1

1

，只要能求出
8ln1 dxlim



n
n
n
1
x


n
1
1

ln

1

dx
即可。
x

由海涅定理可知
1
n

1

1

l imln1dxlim

nx
n

1
x

x
再由洛必达法则可得

x
1
1

ln

1

dt
.
t


lim

x
1x
1

ln

1
t

x

dt

2lim

1

23


1

x1


2x


2
.
3
x
1

2
x
2
所以
lim
n
1
n

1

ln1
< br>dx2
.

1
nx

故
limn
1
n
1

8ln1

dx2 816
.

1
nx

3） 求带有抽象函数的数列极限
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。
1

f

a
2

n< br>
例3.7 设
f

a

0
，
f


a

2
。
求
lim
< br>。
n
1
1cos
n
解 由海涅定理可知
1

f

a
2

n

li m

lim

nn
1
1cos
n
1

f

a
2
x

.
1
1cos
x
由导数的定义
f


a

lim
f

ay

f

a

f

ay

 lim2
.
y0
yy
y0
令
y
1
，当
x
时，
y0
，于是就有
x
2< br>1



f

a
2

f

x

lim

lim

xx
1

1cos

x


1
< br>

1

f

a
2


2

x


lim


x< br>11

x
1cos


x
2
x




1

1

a
2

2

x

x

1


1

2


2

s in



x
2


2x
< br>





f

ay< br>
y

f

ay

2lim4
.

lim

y0y0< br>1
yy

y

2
所以
1

f

a
2

n

lim

4
.
n
1
1cos
n
4.3 利用海涅定理判断级数敛散性
级数实质是一个和式的极限，因此运用海涅定理及其推论去判断常数项级 数
的敛散性是一种有效的方法。

n1


ln
1
n

的敛散性。 例3.8 判断级数



4n
4

n1


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。
解 构造函数
f

x

xln1x
2
.
< br>当
x0
时，
f

x

经Taylor展开 为

x

x

f

x< br>
xln1x
2
x

x
2
o x
6

xx

1ox
4

. < br>22


4

1
2
2
 
1
2
因为
x0
时，

xx
2
4

4

10x

~1ox
.
24

2

1
2

所以当
x0
时，

xx
3
4

xx

1 0x

~ox
5
.
24

f

x

1
即当
x0
时，
f

x< br>
与
x
3
为同阶无穷小，或
lim
3
。
x0
x4
2

1
2

令< br>a
n

1
，由海涅定理有
n
1n1
l n
1
n
lim
n

.
3
x0
4

1



n




1

1n1


收敛。而 因为级数

ln

收敛，由第2比较准则，所以级数


< br>n

n
n

n1

n1


3

n1

ln


1


11n1

n

ln
.



4

n

4n4
n1

n
n1




n1


ln

1
n

收敛。 故




4n
4

n1

 
3.4 海涅定理在判断常量函数中的应用
1）判断当
x
时，
f

x

的极限为
A
的周期函数是否为常 量函数
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。
例3.9 证明若
f

x

为

,

上的周期函数，且
limf

x
< br>A
，则
f

x

A
。
x
证明 假设
f

x

A
，则 存在
x
0


,

，使
f

x
0

BA
。又因为
f

x
为
周期函数，不妨设为
L0
，记
a
n
x
0
nL
，则
a
n


n

.
由作法知

limf

a
n

f

x
0

BA
. （3.1）
n
又因为
limf

x

A
，由海涅定理有
x
limf

a
n
limf

x

A
.
nx
这 与（3.1）矛盾，故
f

x

A
。
2）给出函数之间的关系，判断函数为常量函数
例3.10 设函数
f

x

在

,0

上满足方程
f

3x

f

x

，且
limf
x

A
，证
x
明
f
x

A
。
证明 假设函数
f

x

在

,0

上不恒为
A
，则必存在一点< br>x
0


,0

，使得
f
< br>x
0

BA
。又因
f

x
< br> 满足方程
f

3x

f

x

，于是
f

x
0

f

3x
0

f3
2
x
0
f3
3
x< br>0
f3
n
x
0


< br>得到数列

x
0
,3x
0
,3
2
x
0
,3
n
x
0
,

，故

limf3
n
x
0
f

x
0

B
. （3.2）
x
 
又因
limf

x

A
及
3
n
x
0


n

，所以由海涅定理有
x

limf3
n
x
0
A
.
n

这与（3.2）矛盾。因此，
f

x

A
。
3.5 利用海涅定理证明某些函数极限不存在
即若可找到一个以
x
0< br>为极限的数列

x
n

，使
l
或找到两个都 以
imf

x
n

不存在；
n

，使
limf

x
n

与
limf

x
n


都存在而不相等，则
x
0为极限的数列

x
n

与数列

x
n
nn
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。
xx
0
limf

x

不存在。
1
例 3.11 证明
limcos
不存在。
x0
x
1
证明 取数列
x
n

1，
y
n

。
则
x
n
0,y
n
0

n

。易知
(2n1)

2n

limcos
n
1
1
1
.

1
，
limcos
n
y
n
x
n
由海涅定理可知
1
limcos
不存在.
x0
x
10
例3.12 证明函数
f

x

sin
在点0不存在极限。
x
证明 取
a
n

10
2n


2
，
b
n

10
2n



2
，
nN
.

显然
a< br>n
0,lima
n
0;b
n
0,limb
n< br>0
.
nn
则有


f
< br>a
n

sin

2n


1
，

2



f

b
n

sin

2n



 1
.

2

从而
limf

an

1
，
limf

b
n

1
.
n
n
于是，函数
f

x
sin
10
在点0处不存在极限。
x
3.6 利用海涅定理判断函数在某点的可导性
利用海涅定理，可求得函数差、商的极限，从而可判断函数在某点的可导性。
D

x

为Dirichlet 例3.13 证明函数
f

x

kx
2
D

x
（其中
k
为常数，且
k0
，
函数）在原点可导而在其他点处不 可导。
证明 因为
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。
f

x

f

0
kx
2
D

x

0
limlimlim kxD

x

0f


0

.
x0x0x0
x0x
所以
f

x
< br>在
x0
处可导且
f


0

0
，当
x
0
0
时，设数列

x
n

是大于且趋于
x
0
的有


是大于且趋于
x
0
的无理数列。于是当
x
0
为无理数时，因为 理数列，数列< br>
x
n
22
f

x
n

 f

x
0

kx
n
0kx
n
l imlimlim
.
nnn
x
n
x0
x
n
x
0
x
n
x
0
而
lim


f

x
0

f
x
n
00
lim0
.
n
x
x

x
0
x
nn0
n
故由 海涅定理可知，
f

x

在无理点
x
0
处 不可导。当
x
0
为非零有理数时，因为
22
f

x
n

f

x
0

kx
nkx
0
limlimlimk

x
n
x
0

2kx
0
.
nn
xx
n
x
n
x
0n0
而
2


f

x
0

f

x
n
0kx0
limlim
.
nn
x

x< br>
x
0
x
nn0
故由海涅定理可知，
f

x

在有理点
x
0
处也不可导，所以
f

x

kx
2
D

x

只在原点 可
导，而在其他点处不可导。


4 结束语

海涅定 理作为函数极限和数列极限的桥梁。将函数与数列之间进行互换，使
其运用最简便的方法得出极限。即根 据海涅定理的必要性，可以将函数极限化为
函数值数列的极限；根据海涅定理的充分性，又能够把数列极 限的性质转移到函
数极限上来。本文主要就是根据不同的文献，将常见的用海涅定理求极限的类型
归纳分类整理。


参考文献：
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。
[2] 程其襄. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 1990.
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[4] 斯坎得尔·伊布拉音,艾斯卡尔·阿布力米提. 定理的应用[J]. 新疆教育学
院学报, 2009, 25(4): 114-115.
[5] 鲜思东. Heine定理在极限判别及运算中的应用[J]. 重庆邮电学院学报（自然科学版）,
2006,18(1): 139-140.
[6] 王淑云. 归结原则在证明函数为常量函数上的应用[J]. 山西大同大学学报(自然科学
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2(2): 46-47.
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88.
[10] 朱国卫. 以海涅定理为例谈数学分析中的直觉、证明与感悟[J]. 吉林省教育学院学报,
2010, 26: 153-154.
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