长安大学研究生院-退休年龄最新规定2017

第三学期《数学分析》期末试题
一、 选择题：（15分，每小题3分）
1、累次极限存在是重极限存在的（ ）
A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件
2、
f(x,y)
|
(x
0
,y
0
)

（ ）
x
A
lim
x0
f(x
0
x,y
0
y)f(x< br>0
,y
0
)f(x
0
x,y
0
)
； B
lim
；
x0
xx
f(x
0
x,y
0
y)f(x
0
x,y
0
)f(x
0
x,y
0
)f(x
0
,y
0< br>)
； D
lim
。
x0
xx
Clim
x0
3、函数f(x,y)在（x
0
,,y
0
）可偏导，则（ D ）
A f(x,y)在（x
0
,,y
0
）可微 ； B f(x,y)在（x
0
,,y
0
）连续；
C f(x,y)在（x
0
,,y
0
）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。
x
2
y
2
4、
f(x,y)
22
的二重极限和二次极限各为（ B ）
2
xy(xy)
A、0，0，0； B、不存在，0，0，； C、0，不存在，0； D、0，0，不存在。
5、设
ze
，则
xx
y
zz
y
（ A ）
xy
A、0； B、1； C、-1； D、2。
二、计算题（50分，每小题10分）
xy


1、 证明函数< br>f(x,y)

x
2
y
2

0

但它在该点不可微；
xx
x
2
y
2
0x
2
y
2
0
在（0，0）点连续且可偏导，
2、 设
f(x)

e


d

dt,求f

(x),f(x)
0t
2< br>；

xy

z
z
F

,
0
3、 设有隐函数

zz

,其中
F< br>的偏导数连续,求
x
、
y
；
4、 计算
C
e
x
(cosydxsinydy)
，其中
C
是任 一条以为
A(0,0)
起点、
B(a,b)
为终点
的光滑曲线；

5、 计算

zdS
22
zxy

，其中为在
z
1
4
的部分；
三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分
原函数；
3、验证函数

(y z)dx(zx)dy(xy)dz
与路线无关，并求被积表达式的
L
< br>2xy
,x
2
y
2
0

22
f (x,y)

xy
22


0,xy0

在原点（0，0）分别对每个自变数
x或y
(另一个看作常数)都连续，但是二元函数 在原点（0，
0）却不连续.

部分题目参考答案：
二、1、证明：0|
xy
xy
22
||xy|
（4分）
(x,y )(0,0)
lim
xy
xy
22
=0所以函数在（0，0）< br>点连续，（3分）又
lim
0
0
，
f
x
( 0,0),f
y
(0,0)
存在切等于0，（4分）但
x0
x
xy
不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）
(x,y)(0,0 )
x
2
y
2
lim

xxxxx
'
x
由于
f(x)

(

e
0t
x
2

t


2
d

)dt,f

(x)

(

e
0t
x


2
d

)dt00

e
xdtxe
x
，所
0
22
2
11
2
以
f(x)

tedt

e
t
d(t
2
)e
t
2
0
2
0
x
0< br>1
2
1
e
x

.
22
二、3、
[解法 1] 由隐函数、复合函数求导法
z
x
zF
1
'

x

y

xF
1
'
yF
2
'
'

'< br>
F
1


2

F
2


2


z

z


zF
2
'

xy
xF
1
'
yF
2
'

''
F
1


2

F
2


2


z

z


F
2
'

1
z
F
1
'

1
z
z

y

[解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得

x
< br>F
1
'
d

F
2
'
d


z


y< br>
'
zdxxdz
'
zdyydz
0
FF 0

12

22
z

zz
，
zF
1
'
dxzF
2
'
dyzF
1
'
z
dz
'''
xF
1
yF
2
，故
xxF
1
yF
2
'



z F
2
'
z

'
yxF
1
yF
2
'
.
由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.
Y< br>X
xxx
ecosy
esinyesiny
,故被积表
y
x
Y
X
二、4、
解 令=，=，则 ==
xxx
e(cosydxsinxdy)d(ecosy)e
达式一定有原函数，注意到=
(cosydxsinxdy)
,
知
xx
u(x,y)
ecosye
= 是
(cosydxsinxdy)
的一个原函数，故由定理21.13，有

C
e
x
(cosydxsinydy)
=
a,b)
e
x
cosy|
(
(0,0)
a
=
ecosb1
.
2

1


22
D
xy


(x,y)xy



2



，而
二、5、
解 曲面

在
x0y
平面上的投影区域
zz
2x,2y
 xy
，于是曲面的面积微元


dS1

z

14x
2
4y
2
d

x



z
y

d


2
2

所以


zdS

(x
2
y
2
)14x
2
4y
2
d


D
xy


2

0
d

r
2
14x
2
rdr
1
20

（在极坐标系下计算）
2


1
40
1
t14t
2
(rt)

2


8

1
2
(u
4
u
2
)du
12

60

(u14t)
.

三、1、解 由于
Pyz,Qzx,Rxy,
所以曲线积分与路线无关. 现在求
u (x,y,z)
P
QQ
RRP
1,
y xzyxz
M
0
M

(yz)dx(zx)dy (xy)dz.

取
M
0
M
为沿平行于
x轴的直线到
M
1
(x,y
0
,z
0
)
，再沿平行于
y
轴的直线到
M
2
(x,y,z
0
)
，最后沿平行于
z
轴的直线到
M(x,y,z)
.于是
x
y
z
u(x,y,z)

(y
0
z
0
)ds

(z
0
x)dt

(xy)dr
x
0
y
0
z
0
(y
0
z0
)x(y
0
z
0
)x
0
(z
0
x)y(z
0
x)y
0
(xy)z(xy)z0

xyyzxzc
其中
cx
0
y
0
x
0
z
0
y
0
z
0
是一 个常数，若取
M
0
为原点，则得
u(x,y,z)xyxzyz.
yR,xR,分别有limf(x,y)lim
三、3、证明
x 0
2xy
0f(0,y)
x0
x
2
y
2< br>，与
limf(x,y)lim
y0
2xy
0f(x,0)< br>y0
x
2
y
2
，即
f(x,y)
在原点 （0，0）分别对
x或y
都连续
2xy2x
2
limf(x,y) lim
2
lim
2
10f(0,0)
x0x0
xy
2
x0
2x
y0y0
当
xy
时， 却有，即
f(x,y)
在
原点（0，0）不连续（其实
f(x,y)
在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.