二元函数的极限与连续5页word文档
中考满分-全国会计资格评价网
§2.3 二元函数的极限与连续
定义 设二元函数
意义,
若存在
常数A,
都有
则称A是函数当点 趋于点
或
或
趋于点
时的极限,记作
,当(即)时,
在点的某邻域内有
或
必须注意这个极限值与点
以什么方
。
的方式无关,即不论P
向和路径(也可是跳跃式地,忽上忽下地)趋向
近,
就能
使
。只要P与 充分接
与A
接近到预先任意指定的程度。注意:点P趋于点点方式可
有无穷多
种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多(图8-7)。
图8-7
同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点
时,极限
在该点极限不存在。这是判断多元函存在,但不相等, 则可以判定
数极限不
存在的重要方法之一。
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二
第 1 页
元函数极
限理论中都适用,在这里就不一一赘述了。
例如 若 有, 其中
求多元函数的极限,
一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用
夹逼定理
来计算。 例4
求。 解由于
而,根据夹逼定理知 ,所以
例5
求(a≠0)。 解 。
例6 求。 解 由于
且
,所以根据夹逼定理知
. 例7 研究函数
点处极限是否存在。 解 当x2+y2≠0时,我
们研究函数
在
,
沿x→0,y=kx→0这一方式趋于
(0,0)的极限,有
可得到不同的极
,。很显然,对于不同的
k
值,
第 2 页
限值,所以极限
注意:
限方式的
不存在,但
。
的区别, 前面两个求极
本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限,
而最后一个是求二
元函数的
极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数
都不存在,因
为对任何
时, 的第
,当时,
。它关于原点的两个累次极限
的第二项不存在极限;同理对任何
一项也不存在极限,但是
此
, 由于, 因
由例7知,
两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重
极限存
在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:
定理1
若累次极限
都存在,则
三者相等(证明略)。 推论
若
和二重极限
存在但
第 3 页
不相等,则二重极限
存在。 定义 设
不
在点的某邻域内有意义,且
,则
称函数在点处连续,记
上式称为函数(值)的全增
量。则二元函数连续的定义可写为
。
定义
的偏增量。
偏增量。 若
若在某区域
在区域G上连续。若在闭区域G的每在点
为函数(值)对y的
处不连续,则称点是的间断点,
为函数(值)对x
G上每一点都连续,则称
一内点都连
续,并在G的连界点
则称
续曲面。
处成立
在闭域
G
上连续。闭域上连续的二元函数的图形称为连
关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,
对于
二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果:
定理2
设在平面有界闭区域G上连续,则
第 4 页
(1)必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值; (2)
,当时,都有
。 以上关于二元函数的极
在G上一致连续,即
限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。
希望以上资料对你有所帮助,附励志名言3条:
1、生命对某些人来说是美丽的,这些人的一生都为某个目标而奋斗。
2、推销产品要针对顾客的心,不要针对顾客的头。
3、不同的信念,决定不同的命运。
第 5 页