二元函数的极限与连续5页word文档

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2020年08月12日 06:38
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§2.3 二元函数的极限与连续
定义 设二元函数
意义, 若存在

常数A,
都有

则称A是函数当点 趋于点


趋于点
时的极限,记作

,当(即)时,
在点的某邻域内有


必须注意这个极限值与点
以什么方



的方式无关,即不论P
向和路径(也可是跳跃式地,忽上忽下地)趋向
近, 就能

使
。只要P与 充分接
与A 接近到预先任意指定的程度。注意:点P趋于点点方式可
有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多(图8-7)。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点
时,极限

在该点极限不存在。这是判断多元函存在,但不相等, 则可以判定
数极限不

存在的重要方法之一。

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二
第 1 页


元函数极

限理论中都适用,在这里就不一一赘述了。

例如 若 有, 其中

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用
夹逼定理

来计算。 例4 求。 解由于

而,根据夹逼定理知 ,所以

例5 求(a≠0)。 解 。
例6 求。 解 由于 且
,所以根据夹逼定理知


. 例7 研究函数
点处极限是否存在。 解 当x2+y2≠0时,我 们研究函数


沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

(0,0)的极限,有
可得到不同的极

,。很显然,对于不同的
k
值,
第 2 页


限值,所以极限

注意:
限方式的

不存在,但


的区别, 前面两个求极
本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二
元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数
都不存在,因

为对任何
时, 的第

,当时,
。它关于原点的两个累次极限
的第二项不存在极限;同理对任何
一项也不存在极限,但是


, 由于, 因
由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重
极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:

定理1 若累次极限
都存在,则

三者相等(证明略)。 推论 若
和二重极限
存在但
第 3 页


不相等,则二重极限
存在。 定义 设


在点的某邻域内有意义,且
,则

称函数在点处连续,记
上式称为函数(值)的全增
量。则二元函数连续的定义可写为


定义
的偏增量。


偏增量。 若
若在某区域

在区域G上连续。若在闭区域G的每在点
为函数(值)对y的
处不连续,则称点是的间断点,
为函数(值)对x
G上每一点都连续,则称
一内点都连

续,并在G的连界点
则称
续曲面。

处成立

在闭域
G
上连续。闭域上连续的二元函数的图形称为连
关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,
对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果:

定理2 设在平面有界闭区域G上连续,则

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(1)必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值; (2)
,当时,都有

。 以上关于二元函数的极
在G上一致连续,即

限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。

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