集美诚毅学院-教师年终个人总结

《数学分析》教案
第二章 数列极限

§1 数列极限概念

教学目的与要求：
使同学们理解数列极限存在 的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极
限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法 。
教学重点，难点：
数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义， 利用
数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。
教学内容：
一、课题引入
1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例：战国时代哲学家庄周 著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，
日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩 余部分长度
为（单位尺）
1111
，
2
，
3
，……，
n
，…… < br>2
22
2

1

或简记作数列：

n



2


1

分析：1° 、

n

随n增大而减小，且无限接近于常数0；

2

2°数轴上描点，将其形象表示：



二、数列极限定义
1°将上述实例一般化可得：
n
数形结合方法

-1
0
2
2
1

1
2
1
χ
将其一般化，即引出“数列极限”概念
当n无限增大时
a
n
无限接近常数a
对数列

a

，若存在某常数a，当n无限增大时，a
n
能无限接近常数a，则称该数为收敛数列，a为它的极限。
1

例如：


， a=0；

n


(1)
n


3

， a=3;
n


n

， a不存在，数列不收敛；
2
为什么强调存在N
- 1 -

《数学分析》教案

(1)

， a不存在，数列不收敛；
n
2°将“n无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N，当n＞N时”
将“a< br>n
无限接近a”，数学“符号化”为：任给ε＞0
a
(1)
n

3()
例如对


以
n

n< br>a
＜ε
3为极限，对ε=
1
10
任给—：无限接
，要使
=
1

n
1
10
a
n
a3
(1)
n
3
n

只需取N=10，即可
3°“抽象化”得“数列极限”的定义
定义：设

a

是 一个数列，a是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在
n
某一自然数N，使得当n＞N时 ，都有
a
n
a
＜ε
则称数列

a

收敛于a，a为它的极限。记作
n

lima
n
a
｛(或a
n
→a,( n→

))
n
说明
（1）若数列

a

没有极限，则称该数列为发散数列。
n
a
n
a
的具（2）数列极限定义的“符号化”记法： 这是用极限定义证明
lim
n
体方法
lima
n
a
n



＞0，

N，当n＞N，有
a
n
a
＜ε
（为什么？）思考
（3）上述定义中ε的双重性： ε＞0是任意的，但在求N时，又可视为是给定
．．．．
的，由“任意性”可知，不等式
a
n
a
＜ε，可用
a
n
a
＜2ε，
a
n
a
＜ε
2
……来代
替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？） 思
考 双重性
（4）上述定义中N的双重性：N是仅依赖于ε的自然数，有时记 作N=N（ε）（这
．．
并非说明N是ε的函数， （为什么？）思
考
是即：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N，就会存在无 穷多
．．．．．．．．
- 2 -

《数学分析》教案
个N
（为什么？） 思考
a
n
a
： （5）如何用肯定的语气叙述< br>lim
n

N，

n。尽管


0
＞0，n
。
＞N，但
a
n
o
a
a< br>n
a
≥ε。这是用极限定义证明
lim
n
的具体方法
（6）如何用肯定的语气叙述，数列

a

发散：
n
aR
，


O


O< br>(a)
＞0，

N，

n
o,
尽管n
o
＞N，但
a
n
o
a
≥ε
o
。
a
n
a
的几何意义： （7）
lim
n


a
N

a-ε
a
n

a
或a
n

a+ε
或a
N
χ
即a的任 给ε邻城，都存在一个足够大的确定的自然数N，使数列

a
n


中,
所有下标大于N的a
n
,都落在a的ε邻城内。
a
n
a
的例题 .三、用极限定义证明
lim
n
例1.证明
lim
1
n
n
k
0
（K 为正实数）
证：由于
11
0

n
k
n
k

1


1



k

所以

ε＞0，取N=


,当n＞N时,便有

1
N=

1

k





1
0


k
n
注 ：或写作：

ε＞0，取
11
1
0

，∴< br>lim
n
n
K
n
K
n
，当n＞N时，有
k
0

例2. 证明
lim
n
3n
2
3

n
24
3n
2
1212
3
2


（为简化，限定n
3
分析，要使
2
n4n4
n
只要 n

12


- 3 -

《数学分析》教案


12


证.


0,取Nmax


,3

,当n
N
,有





3n2
1212
3
2


2
n4n4n

3n
2
由定义
lim3

n
n< br>2
4
适当予先限定n＞n。是允许的！但最后取N时要保证n＞n。
例3．证明
limq
=0，这里
q
＜1
n
n
证.若q=0,结果显然成立
1
若0＜
q
＜1，令
q
=
(h
＞0) < br>1h
由于
q
n
q
n
1
11
由 贝努利不等式
≤＜
n
(1h)
1nhnh

1

所以，


＞0，取N=

,当n
＞N，有
q
n
0
＜




h

注：1°特别地写当q=
1
时，此即为上述实例中的
lim(
1< br>)
2
2
２°贝努利不等式（１＋h）
n
≥1+nh.
n
n
0

3°由例2、例3看出，在由
a
n
a
＜ε中求N时，适当的 “放 大”不
等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总
结。如：用已知不等 式，用限定“n＞n。”等方法。
例4．证明
lim
n
n
a1
，其中a＞1
证.令
a
-1=

，则

＞0
由贝努利不等式

=（1+

）
n
≥1+n< br>
=1+n（
a


1
n
1
n1
）或
a
n
1
≤
1
a1

n
a1

＞0，取N=


，当n＞N有< br>a



1
n
1
＜ε 思考：这里取N=
a1
也可以，为

什么？

四、等价定义与无穷小数列
定义
1

任给

＞ 0，若在U（a;

）之外数列

a
n

中的项至 多只有有限个，
则称数列

a
n

收敛于极限a。

0
)由定义
1

可知，若存在某

0
＞0，使得数列

a
n

中有无穷多个项落在U(a；- 4 -

《数学分析》教案
之外，则

a
n

一定不以a为极限。
例5 证 明

n
2

和

(1)
n
< br>都是发散数列。
分析 利用定义
1


证
例6 设
limx
n
limy
n
a
，作数列﹛ z
n
﹜如下：
nn
﹛z
n
﹜：x
1，y
1
，x
2
，y
2
，…，x
n
，y
n
，…。
证明
limz
n
a
。
n
分析 利用定义
1


证
例7 设< br>
a
n

为给定的数列，

b
n

为对

a
n

增加、减少或改变有限项之后得到
的 数列。证明：数列

b
n

与

a
n
同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。
分析 利用定义
1


证 设

a
n

为收敛数列，且
lima
n
=a。按定义
1

，……。
n
现设

a
n

发散，倘若

b
n

收敛，则因

a
n

可看成是对

b
n

增加、减少或改变
有限项之后得到的数列，故由刚 才所证，

a
n

收敛，矛盾。所以当

a
n

发散时

b
n

也发散。
在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：
定义2 若
lima
n
0
，则称

a
n

为无穷小 数列。
n
前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。由无穷小数列的定义，读者不难< br>证明如下命题：
定理2. 1 数列

a
n

收 敛于

的充要条件是：

a
n


为无穷小数列。
五、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一
下)
本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例
题学习也是为了巩固
极限概念。为此，同学们要注意：
重 点 1°极限概念的“ε-N”叙述要熟练掌握，并注意理科ε，N的双重性。
难 点 2°用极限 定义证明极限时，关键是由任给的ε＞0通过反解不等式｜
a
n
-a｜＜ε求N，其中 的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的
“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N的表 达式一定仅依
赖于ε，当然N是否是自然数，倒是无关紧要的。
- 5 -

《数学分析》教案
3°同学们在学习这部分知识的同时 要反复体验其中渗透看的重要数
学思维方法，如：抽象化法，数形结合法，符合化法等，这对于大家体验 数学的
本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复习
时反复体 会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。

复习思考题、作业题：
数列收敛发散的定义是什么？收敛发散的概念是不是相反的？
1（1），2，3，4，6
§
§2 收敛数列的性质

教学目的与要求：
掌握收敛数列的性质如唯一性，有界性，四则运算等及应用。
教学重点，难点：
收敛数列的性质应用，数列子列的定义及数列子列收敛与数列收敛之间的关
系。
教学内容：
收敛数列主要有唯一性、有界性、保号性、保序性、迫敛性、四则运算性、
子列性等重要性质，通过这些性质的学习，可使学生掌握数列极限的定义与应用
定义证明有关命题。
1、 唯一性
定理2.2 若数列

a
n

收敛，则它只有一个极限。
分析 使用几何定义——定义
1


证
注1：本性质证明使用几何定义。 为让学生学会取特殊的

，可讲解反证法
证明。这样更可体现极限的“
N
”定义。
注2：一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数。体现了
无限与有限之间的转化关系，这样由这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大
小，以下收敛数 列的一些性质，大都基于这一事实。
2、有界性
定理2.3 若数列

a
n

收敛，则

a
n

为有界数列，即 存在正数M，使得对一
切正整数n有
a
n
M
。
分析
证
注1：

的取法
注2： 有界性只是数列收敛的必要 条件，而非充分条件，例如数列

(1)
n

有界，但它并不收敛 （见§1例6）。
3、保号性
- 6 -

《数学分析》教案 < br>定理2.4若
lima
n
a
＞
0
或＜0，则对任何
a'
（0，a）(或
a'(a,0)
)，存
n
在正 数N，使得当n＞N时有a
n
＞
a'
（或a
n
＜
a '
）。
分析
证
注1：

的取法
a
注2： 在应用保号性时，经常取
a'
。
2
4、保序性
定理2.5 设

a
n

与

b
n

均为收敛数列，若存在正数N
0
，使 得当n＞N
0
时有
a
n
≤b
n
，则
lim a
n
limb
n
。
nn

分析 定义与第一章§1例2
证
注1：N的取法
思考：如果把定理2.5中的条 件a
n
≤b
n
，换成严格不等式a
n
＜b
n
，那么能否
把结论换成
lima
n
＜
limb
n
？
nn
例1 设an≥0（n=1，2，…）。证明：若
lima
n
a
，则
lima
n
a
。
n
n
分析 定理2.5、定义与分类讨论
证
4、迫敛性
定理2.6 设收敛数列

a
n

，

b
n

都以a为极限，数列

c
n< br>
满足：存在正数
N
0
，当n＞N
0
时有

a
n
c
n
b
n
（4）
则数列

c
n

收敛，且
limc
n
a
。
n
例2 求数列

n

的极限。
n
分析
解
5、四则运算法则
定理2.7 若

a
n

与

b
n

为收敛数列，则

a
n
b
n

，

a
n
b
n
< br>，

a
n
b
n

也都
是收敛数列 ，且有
lim(a
n
b
n
)lima
n
l imb
n
,

nnn
lim(a
n
 b
n
)lima
n
limb
n
。
nnn
- 7 -

《数学分析》教案
特别当b
n
，为常数c时有
lim(a
n
c)lim a
n
c,limca
n
clima
n
。
n nnn

a

若再假设b
n
≠0及
limb
n
0
，则

n

也是收敛数列，且有
n

b
n

lim
a
n
l ima
n
limb
n
。
n
b
nn
n
分析 只须用定义证明关于和、积与倒数运算的结论
证
例3 求
a
m
n
m
a
m1
n
m1


a
1
na
0
,
lim
n
bn
k
bn
k1


bnb
kk110
其中m ≤k，a
m
≠0，b
k
≠0。
分析 四则运算法则
a
n
例4 求
lim
n
，其中
a1
。
n
a1
分析 分类讨论与四则运算法则
解
例5 求
limn(n1n)
。
n
6、子列定理
定义1 设

a
n

为数列，

n
k
为正整数集N+的无限子集，且n
1
＜n
2
＜…＜n
k
＜…，则数列
a
n
1
,
a
n
2
,,< br>a
n
k
,

称为数列

a
n
的一个子列，简记为
a
n

。
k
注1 由定义1可见，

a
n

的子列

a
n< br>k

的各项都选自

a
n

，且保持这些项 在

a
n

中的先后次序。

a
n
k

中的第k项是

a

中的第n项，故总有
n
n
k
k
k
。实际上

n
k
< br>本身也是正整数列

n

的子列。
例 数列
< br>a
n

的子列

a
2k

、

a
2k1

、

a
n

。
注2 数列

a
n

本身以及

an

去掉有限项后得到的子列，称为

a
n

的平凡子
列；不是平凡子列的子列，称为

a
n

的非平凡 子列。
- 8 -

《数学分析》教案
例如

a
n

的非平凡子列

a
2k

和

a
2k1

。
性质 由上节例8，数列

a
n

与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收
敛时有相同的极限。
定理2.8 数列

a
n

收敛的充要条件是：

a
n

的任何非平凡子列都收敛。
分析 必要性由定义，充分性利用必要性与上节例7
证
注：定理2.8的你否命题是判断数列 发散的有力工具：若数列

a
n

有一个子
列发散，或有两 个子列收敛而极限不相等，则数列

a
n

一定发散。
应 用举例：数列

(1)
n

，其偶数项组成的子列
(1)
2n

收敛于1，而奇数项组

n


成的子列

(1)
2k1

收敛于-1，从而

(1)
n

发散，再加数列

sin
，它的奇数项
2


2k1

n



即为

(1)
k1

，由 于这个子列发散，故数列

sin
组成的子列

sin
< br>发
22

散。

复习思考题、作业题：
1（2）（4）（6），4，5，6.
难题解答


§3 数列极限存在的条件

教学目的与要求：
掌握数列极限存在性的判断准则：单调有界性定理，Cauchy准则及应用
教学重点，难点：
单调有界性定理， Cauchy准则的证明及应用
教学内容：
极限理论的两个基本问题：一、数列是否有极限(极限的存在性问题)；二、
若极限存在，如何 计算此极限（及限值的计算问题）。
困难：依定义需将每个实数用定义一一验证，不可能。
解决方法：直接从数列本身的特征来做出判断。
本节介绍的两个定理非常重要，他们不仅是判 断数列是否存在极限的充分条
件和充要条件，而且也与实数完备性定理等价。
一、单调有界定理
定义 若数列

a
n

的各项满足关系式
- 9 -

《数学分析》教案
a
n
a
n1
（a< br>n
≥a
n+1
）

1

则称
< br>a
n

为递增（递减）数列，递增数列和递减数列统称为单调数列，如

为

n


(1)
n


n

2
递减数列，

与

n

为递增数列，而

则不是单调数列。
n1
n




定理2.9在实数系中，有界的单调数列必有极限。
分析 找到极限即可，用确界原理
证
注：通过证明可知，单增有上界数列有极限且其极限为其上确界，单减有下
界数列有极限且其极限为其下确界。
例1 设
a
n
=1+
111
,n1,2,
，
aaa
23n
其中实数a≥2。证明数列

a
n

收敛。
分析
证
例2 证明数列
2,22,,222,

n个根号
收敛，并求其极限。
分析
证
例3 设S为有界数集。证明：若 supS=a
S
，则存在严格递增数列

x
n


S，
使得
n
limx
n
a
。
分析 构造性证明方法，常用
证
1
例4 证明
lim(1)
n
存在。
n
n
分析
证 先建立一个不等式。设b＞a＞0，对任一正整数n有

b
n1
a< br>n1
＜（n+1）b
n
(b-a)。
即
- 10 -

《数学分析》教案

a
n1
＞b[(n+1)a-nb]。 （1）
n
以a=1+
1

11

,b1代入（1）式证明

(1)
n

为递增数列。
n< br>
n1n

1

1

代入（1）式得数列

(1)
n

有上界。
n

2n
再以a=1，b=
1
1

由单调有界定理推知数列

(1)
n

是收敛的。
n< br>
1
通常无理数（待证）e的定义为
lim(1)
n
e
，以e为底的对数称为自然对
n
n
数，通常记
lnxlog< br>e
x
。
注：单调有界定理只是数列收敛的充分条件，但却与下面数列收敛的充分必
要条件等价。
二、柯西（Cauchy）收敛准则
定理2.10 数列

a
n

收敛的充要条件是：对任给的

＞0，存在正整数N，
使得当n ，m＞N时有
a
n
a
m
＜

。
注：应再给出两种等价形式。
注：这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第
七章给出。
柯西收敛准则的条件称为柯西条件。
其直观意义：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近 ，以至充分到后面
的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。或者形象地说，收敛数
列的各项越到后面越是“挤”在一起。
优点：柯西收敛准则把

—N定义中an
与a的关系换成了a
n
与a
m
的关系，其
好处在于无 需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）
敛（发）散性。
例5 证明：任一无限十进小数a=0.b
1
b
2
…b
n
…的n位 不足近似（n=1，2，…）
所组成的数列

b
b
1
b
1
bbb
,
2
,,
1

2

n
,

101010
2
1010
2
10
n
（2）
满足柯西条件（从而必收敛），其中bk为0，1，2…，9中的一个数，k=1，2，…。
分析
证

复习思考题、作业题：
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《数学分析》教案
1，2，3，6，7




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