2018考研数学复习：巧答证明题的3个方法
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2018考研数学复习：巧答证明题的3个方法
1.结合几
何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准
则等基本原理，包括条件及结论。
知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)
不同会导致不同
的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存
在性并求极限。只要证明了极限存
在，求值是很容易的，但是如果没有证明第
一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环
环相扣的，如果
第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极
限
存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题
就能轻松解决，因为对于该题
中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很
好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是
很多，更多的是要用
到第二步。
2.借助几何意义寻求证明思路
一个证明
题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的
是要正确理解题目文字的含义。如200
7年数学一第19题是一个关于中值定理
的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，
再联系结论能
够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分
别取
值的点(正确审题：两个函数取得值的点不一定是同一个点)之间的一个
点。这样很容易想到辅助函数F
(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值
定理就能得到所证结论。再如2005年数
学一第18题(1)是关于零点存在定理的
证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(
x)及y=1-x在[0，1]
上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是
写出
推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是
差函数在两个
端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证
得所需结果。如果第二步实在无法完满解
决问题的话，转第三步。
3.逆推法
从结论出发寻求证明方法。如2004年第1
5题是不等式证明题，该题只要
应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用
函数
的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关
系，正常情况
只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的
更多(这里所举出的例子就属非正常情况
)，这时需先用二阶导数的符号判定一
阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而
得所要证的
结果。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)e*，其中eF(a)就是
所要证的不等
式。
对于那些经常使用如上方法的考生来说，利用三步走就
能轻松收获数学证
明的12分，但对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说，却常常轻易丢
失12分，后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心，以阻止考试分数的
白白流失。
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