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第四章 多元函数微分学


一、本章知识脉络框图

重极限与累次极限



极限存在的判别方法
基本概念
限

极






极限与连续

连 续
有 界 性
基本性质
极值和最值
介 值 性





多
元
函
数
微
分
学
偏 导 数
概念
可 微 性
可微和连续
可微的必要条件

可微的充分条件




df=f

x

dx+f

y
dy+f

z
dz

全微分（三元为








应 用
例）
复合函数微分

计 算
隐函数微分
参数方程微分
高阶导数与微分
多元极值
泰勒公式
条件极值
切线、法线、法平面、切平面
1 23

二、本章重点及难点

本章需要重点掌握以下几个方面内容：
 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数
与全微分，一阶微 分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无
关性，二元函数中值定理与Tayl or公式.
 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.
 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线.
 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.

三、本章的基本知识要点
(一)平面点集与多元函数
1.任意一点
A
与任意点集
E
的关系.
1) 内点. 若存在点
A
的某邻域
U

A

，使得
U< br>
A

E
，则称点
A
是点集
E
的 内点。
2) 外点. 若存在点
A
的某邻域
U

A< br>
，使得
U

A

E
，则称点
A
是点集
E
的
外点。
3) 界点（边界点）. 若在点
A
的任何邻域内既含有属于
E
得的点，又含有不属于
E
的
点，则称点
A
是点集
E
的界点。
4) 聚点. 若在点
A
的任何空心邻域
U
o

A

内部都含有
E
中的点，则称点
A
是点集
E
的聚点。
5) 孤立点. 若点
AE
，但不是
E
的聚点，则称点
A
是点集
E
的孤立点。
2. 几种特殊的平面点集.
1) 开集. 若平面点集
E
所属的每一点都是
E
的内点，则称
E
为开集。
2）闭集. 若平面点集
E
的所有聚点都属于
E
，则称
E
为闭集。
3) 开域. 若非空开集
E
具有连通性，即
E
中任意两点之间 都可用一条完全含于
E
得有限
折线相连接，则称
E
为开域。
4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。
5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。
3.
R
上的完备性定理.
2
1) 点列收敛定义：设
< br>P
n

R
为平面点列，
P
0
R
为一固定点。若对任给的正数

，
2
2
存在正整数
N
，使得当
nN
时，有
P
n

收敛于点
P
n
U

P
0
,


，则称点列

P
0
，记作
limP
n
P
0
或
P
n
P
0
,

n

.
n
2 23

2）点列收敛定理（柯西准则）平面点列

P
n

收敛的充要条件是：任给正数

，存在正整数
N
，使得当
nN
时，对一切自然数
k
，都有


P
n
,P
nk



.
3）闭区域定理. 设

D
n

是
R
中的闭域列，它满足：
2
(i)
D
n
D
n1
,n1,2,...;
(ii)
d
n
d

D
n

,limd
n
0
.
n
则存在唯一的点
P
0
D
n,n1,2,...
.
4) 聚点定理. 设
ER
为有界无限点集，则
E
在
R
中至少有一个聚点。
5) 有限覆盖定理. 设
DR
为一有界闭域，


< br>
为一开域族，它覆盖了
D
（即
2
2
2
，则 在




中必存在有限个开域

1
,
2
,...
m
，它们同样覆盖了
D
（即
D

）

。
D

）
i1
m
4. 二元函数
2
定义：设平面点集
DR
，若按照某对应法则
f
，
D
中每 一点
P

x,y

都有唯一确定的
实数
z
与之对应，则称
f
为定义在
D
上的二元函数（或称
f
为D
到
R
的一个映射），记作
f:DR
,
Pz
，
且称
D
为
f
的定义域，
PD< br>所对应的
z
为
f
在点
P
的函数值，记作
z f

P

或
（注：其它多元函数与二元函数相似）。
zf

x,y

。
（二）二元函数的极限。
2
1. 定义 设
f
为定义在
DR
上的二元函数，P
0
为
D
的一个聚点，
A
是一个确定的实数，
若对


0
，都存在一个

0
，使得
PU
o

P
0
,


D
时， 都有

f

P

A

.
则称
f< br>在
D
上当
PP
0
时，以
A
为极限，记作< br>limf

P

A
。有时简记为
PP
0
PD
PP
0
limf

P

A。

x,y



x
0
,y
0

当
P
、
P
0
分别用

x, y

,

x
0
,y
0

表示时， 上式也可写作
2. 重要定理及推论.
3 23
limf

x,y

A
.

1）
limf

P

A
的充要条件：对于
D
的任一子集
E
，只要
P
0
是
E
的聚点就有
PP
0
PD
PP
0
PE
limf

P

A
。
PP
0
PE
1
2）设
E
1
D
，
P
0
是
E
1
的聚点，若
limf

P

不存在，则
limf

P

也不存在。
PP
0
PD
3）设
E
1
、
E
2
D
，
P
0
是它们的 聚点。若
limf

P

A
1
，
lim f

P

A
2
，但
A
1
A< br>2
，
PP
0
PE
1
PP
0
P E
2
则
limf

P

不存在。
P P
0
PD
4）极限
limf

P

存在 的充要条件是：对于
D
中任一满足条件
P
n
P
0
的点列

P
n

，它所
PP
0
PD< br>对应的函数列
f

P
n

都收敛。
3. 二元函数函数极限的四则运算.
若
1)

x,y



x
0
,y
0


limf

x,y

A
，

x,y



x
0
,y
0

limg

x,y

B
。则

x,y



x
0
,y
0


x,y



x< br>0
,y
0


lim

f

x,y

g

x,y



AB
；2)
limf

x,y

g

x, y

AB
;
3)
f

x,y

A
,

B0

.

x,y



x
0
,y
0

g
x,y

B
lim
4. 累次极限.
1) 定义：对于函数< br>f

x,y

，若固定
yy
0
,limf

x,y




y

存在，且
lim


y

A
xx
0
y y
0
也存在，则称
A
为
f

x,y
< br>在
P
0


x
0
,y
0

处先对
x
后对
y
的累次极限，记为
yy
0
xx
0
limlimf

x,y

，类似可定义
limlimf

x,y

。
xx
0
yy
0
2) 重要定理及推论.
① 若

x,y



x
0
,y
0

limf

x,y

与
limlimf

x,y

（或
limlimf

x,y

）都存在 ，则它们
xx
0
yy
0
yy
0
xx
0
相等；
② 若

x,y



x
0
,y
0

xx
0
yy
0
limf

x,y

，
limlimf

x,y

和
limlimf

x,y

都存在，则三者相 等；
xx
0
yy
0
yy
0
xx
0
yy
0
xx
0
③ 若
limlimf
x,y

与
limlimf

x,y

都存在 但不相等，则
存在。

x,y



x
0
,y
0

limf

x,y

不
（三）二元函数的连续性
2
1. 定义 设
f
为定义在点集DR
上的二元函数，
P
0
D
，若对

< br>0
，都存在一个

0
，只要
PU

P
0
,


D
，就有

f

P

f

P
0




4 23

则称
f
关于集合
D
在点
P
0
连续。若
f
在
D
上任何点都 连续，则称
f
为
D
上的连续函数。
若
lim
同理可定
0


x
0
,y
0

处关于
y
连续。

f

x
0
,y

f

x
0
,y
0


< br>0
，则称
f

x,y

在
P
y y
0
义关于
x
连续。
2. 复合函数的连续性定理 设二元函数
u


x,y

和
v

< br>x,y

在
P
0


x
0
,y
0

点连
续，函数
zf

u,v

在点

u
0
,v
0

处连续，其中


x
0
,y
0

,v
0
< br>

x
0
,y
0

，则复合函数
z f



x,y

,


x, y


在点
P
0
连续。
3. 有界闭域上连续函数的性质.
2
1）若函数
f
在有界闭域
DR< br>上连续，则
f
在
D
上有界，且能取得最大值与最小值；
2< br>2）若函数
f
在有界闭域
DR
上连续，则
f
在D
上一致连续；
2
PD
，且
f

P
3）若函数
f
在有界闭域
DR
上连续,对任意的
P
1< br>
f

P
2

，则
1
、
2
PD
，使得
f

P
对任何满足不等式
f

P
1



f

P
2
的实数

，必存在点
0
0


< br>。
4.
n
元函数唯一存在与连续可微性定理。
000
若 1）函数
F(x
1
,x
2
,...,x
n
,y)< br>在以
P(x
1

,x
2
,...,x
n,y
0
)
为内点的
n1
维空间区域
D
内连续 ；
2）偏导数
F
x
1
,F
x
2
,..., F
x
n
,F
y
在
D
内存在且连续；
00 0
3）
F(x
1
,x
2
,...,x
n
, y
0
)0
；
''''
4）
F
y
(x< br>1
,x
2
,...,x
n
,y)0
；
则 在
P
的某一邻域
U(P)
内，方程
F(x
1
,x< br>2
,...,x
n
,y)0
唯一地确定了一个定义在
00< br>Q(x
1
0
,x
2
,...,x
n
,y0
)
的邻域
U(Q)
上的n元连续函数
yf(x
1< br>,x
2
,...,x
n
)
使得:
'0000
①
(x
1
,x
2
,...,x
n
,f(x
1
,x
2
,...,x
n
))U(P),(x
1
,x
2
,...,x
n
)U(Q);

0
F( x
1
,x
2
,...,x
n
,f(x
1
, x
2
,...,x
n
))0,(x
1
,x
2,...,x
n
)U(Q),y
0
f(x
1
0,...,x
n
).

②
yf(x
1
,x< br>2
,...,x
n
)
在
U(Q)
内连续偏导数：f,f,...,f
'
x
1
'
x
2
'
x
n
而且
f
'
x
1
F
x
'< br>1
F
'
y
,

f
x
'
2

F
x
'
2
F
'
y
,..., f
x
'
n

F
x
'
n
F
y
'
.

5. 由方程组确定的隐函数（隐函数组定理）
5 23

若：1）
F(x,y,u,v)
与
G(x,y,u,v )
在以点
P
0
(x
0
,y
0
,u
0
,v
0
)
为内点的区域
VR
内连续；
2）< br>F(x
0
,y
0
,u
0
,v
0
) 0,G(x
0
,y
0
,u
0
,v
0
)0
（为初始条件）；
3）在
V
内
F,G
具有一阶连续偏导数；
4）
J 
4
(F,G)
在点
P
0
处不等于零。
(U ,V)
则在点
P
0
的某一（四维空间）邻域
U(P
0
)V
内，方程组

F(x,y,u,v)0
唯一地确定了定义在点< br>Q
0
(x
0
,y
0
)
的某一（二维空间）邻 域
U(Q
0
)
内的两

G(x,y,u,v)0

个二元隐函数
uf(x,y),vg(x,y),
使得：
①
u
0
f(x
0
,y
0
),v
0
g( x
0
,y
0
),
且当
(x,y)U(Q
0
)
时，
(x,y,f(x,y),g(x,y))U(P
0
),

F(x,y,f(x,y),g(x,y))0,

G(x,y,f(x,y),g(x,y))0,

②
f(x,y),g( x,y)
在
U(Q
0
)
内连续；
③
f(x,y) ,g(x,y)
在
U(Q
0
)
内有一阶连续偏导数，且
 u1

xJ
u1

yJ
(F,G)v1,
(x,v)xJ
(F,G)v1
,
(y,v)y J
(F,G)
,
(u,x)

(F,G)
,
(u,y)
6. （反函数组定理）若函数组


uu(x,y)
,
满足如下条件：

vv(x,y)
(u,v)
0.

(x,y)
1）
u(x,y),v(x,y)
均是有连续的偏导数； 2）
则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
xx(u,v),yy(u,v),
且

(u,v)(x,y)
.1.

(x,y)(u,v)
6 23

(四) 多元微分学的应用
1. 泰勒定理
1) 若
f(x,y)
在点
P
0
(x
0
, y
0
)
的邻域
U(P
0
)
内存在
n1< br>阶连续的偏导数，则
(x
0
h,y
0
k)U(P0
)
，有
f(x
0
h,y
0
k)f( x
0
,y
0
)(h


k)f(x
0
,y
0
)
xy
1
(hk)
2
f(x
0
,y
0
)...
2!xy
1
 (hk)
n
f(x
0
,y
0
)
n!xy1
(hk)
n1
f(x
0


h, y
0


k)
(n1)!xy

m

m

m
f
pmpp
其中
(hk)f(x< br>0
,y
0
)

c
m
hk|

mpp
P
0
xyxy
p0
2) 当
x
0
0,y
0
0
时，相应二元函数
f(x,y)
的麦克劳林公式为
f(x,y)f(0,0)(x


y)f(0 ,0)...
xy

1
(xy)
n
f(0,0 )
n!xy
1
(xy)
n1
f(

x,

y).
(n1)!xy
2．极值
1）定义 设函 数
zf(x,y)
在点
P
0
(x
0
,y
0
)
的某邻域
U(P
0
)
内有定义，如果
(x ,y)U(P
0
)
满足
f(x,y)f(x
0
,y< br>0
)(f(x,y)f(x
0
,y
0
))
，则称< br>f(x
0
,y
0
)
为
f(x,y)
的极大值 （极小值），此时点
P
0
称为
f(x,y)
的极大值点（极小值点） 。极大值，极小值统称
极值。
2）函数
f(x,y)
在点
P
0
的偏导数存在，则
f
在点
P
0
取得极值的必要条件为：
f
x
'
(x
0
,y
0
)f
y< br>'
(x
0
,y
0
)0
，满足上述条件的点
P
0
称为稳定点或驻点。
3）极值的充分条件: 设函数
f(x,y)在点
P
0
(x
0
,y
0
)
的某邻域
U(P
0
)
内具有二阶连续的偏
导数，且
P
0是
f
的稳定点。
7 23

''''''
记
Af
xx
(P
0
),Bf
xy
(P
0
),Cf
yy
(P
0
)
则
2
① 当< br>BAC0
时，函数
f
在
P
0
取得极值，若
A0
，则取得极大值，若
A0
，
则取得极小值；
2
② 当
BAC0
时，函数
f
在点
P
0
不取极值；
2
③ 当
BAC0
时，不能判断
f
在点
P0
是否极值；
3．条件极值
1）求条件极值的方法有两种：一种将条件极值化 为无条件极值的问题来求解；并一种是用
拉格朗日乘数法求解。
2）拉格朗日乘数法求二元函 数
zf(x,y)
在约束条件

(x,y)0
下的极值步骤如下 ：
①作相应的拉格朗日函数
L(x,y,

)f(x,y)

(x,y).

②令
L
x
L
y
L

0.
即
'

f
x
'
(x,y)

x
(x, y)0,

''

f
y
(x,y)

y
(x,y)0,




(x,y)0.
'''
③求解上述方程组，得稳定点
P
0
(x
0
,y0
)
。
④判定该点是否为条件极值：如果是实际问题，可由问题本身的性质来判 定，如不是实际
问题，可用二阶微分判别。
3) 对于条件极值的一般情形，求函数
zf(x
1
,x
2
,...,x
n
)
在约束条件


1
(x
1
,x
2
,...,x
n
)0,



.......


(x,x,...,x)0.
n

m12
（其中
f,
< br>1
,

2
,...,

m
均具有一阶连续偏 函数，且雅可比（Jacobi）矩阵



1

x< br>
1

...




m


x
1


1

x
m

......

的秩为m)下的极值步骤如下：



m

...
x
m


. ..
①作拉格朗日函数
Lf

1

1
< br>
2

2
...

m

m.

8 23

②分别令
L
'
x1
L
'
x
2
...L
'
x
n< br>L
'

1
L
'

2
... L
'

m
0.
得到相应的方程组。
③解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定。


(五)多元函数几何应用
1. 平面曲线的切线与法线
平面曲线由方程
F (x,y)0
给出，它在点
P
0
(x
0
,y
0
)
的切线与法线的方程为：
切线方程：
F
x
'
( x
0
,y
0
)(xx
0
)F
y
'(x
0
,y
0
)(yy
0
)0
，
法线方程：
F
y
'
(x
0
,y
0
)(x x
0
)F
x
'
(x
0
,y
0
)(yy
0
)0
。
2. 空间曲线的切线与法平面
1) 空 间曲线
L
由参数方程
L:xx(t),yy(t),zz(t),t[

,

],
表出，
假定
x
'
(t0
),y
'
(t
0
),z
'
(t
0< br>)
不全为零，则曲线
L
在
P
0
(x
0,y
0
,z
0
)
处的切线方程式为：
xx
0
yy
0
zz
0

'

'
;
'
x(t
0
)y(t
0
)z(t
0
)曲线
L
在
P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
处的法平面方程式为：
x
'
(t
0< br>)(xx
0
)y
'
(t
0
)(yy
0
)z
'
(t
0
)(zz
0
)0
.

F(x,y,z)0
2) 空间曲线
L
由方程式组
L:

给出.
G(x,y,z) 0

当
(F,G)(F,G)(F,G)
,,
中至少一个不为 零时，
(x,y)(z,x)(y,z)
曲线
L
在点
P0
的切线方程为：
(xx
0
)(yy
0
)(z z
0
)

，
(F,G)(F,G)(F,G)
|
P
|
P
|
P
(y,z)
0
(z,x)
0
(x,y)
0
曲线
L
在点
P
0
的法平面方程为：
(F,G)(F,G)(F,G)
|
P
0
(xx
0
)|
P
0
(yy
0
)|
P
0
(zz
0
)0
。
(y,z)(z,x)(x,y)
3. 空间曲线的切平面与法线
设曲面由方 程
F(x,y,z)0
给出，
P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
是曲面上一点，并设函数
F(x,y,z)在
9 23

偏导数在该点连续，且不同时为零，则
曲面上点
P
0
处的切平面方程为：
''
F
x'
(P
0
)(xx
0
)F
y
(P
0
)(yy
0
)F
z
(P
0
)(zz
0
)0
，
曲面上点
P
0
处的法线方程为：

xx
0
yy
0
zz
0

。 F
x
'
(P
0
)F
y
'
(P
0
)F
z
'
(P
0
)

四、基本例题解题点击


【例1】设
f(x,y)
是区 域
D:x1,y1
上有界的
k
次齐次函数（
k1
）。 问极限
lim[f(x,y)(x1)e
y
]
是否存在？若存在，试求其 值。
x
y
【提示】
f(x,y)
是
k
次齐次函数是指
f(rx,ry)rf(x,y)

【解】 令
xrcos

,yrsin

。同时设
f(x,y) M,(x,y)D
。
则
f(x,y)f(rcos

,rs in

)r
k
f(cos

,sin

)r
k
M
.
因
limrM0
，故
limf( x,y)limf(rcos

,rsin

)0
.
r0
k
k
x
y
r0
从而
lim[f( x,y)(x1)e]
=
lim(x1)e1.

x
y
x
y
yy
【例2】证明
f(x,y)
'< br>xy
在点
(0,0)
两个偏导数存在，但在点
(0,0)
不可微。
f(0,y)f(0,0)
f(x,0)f(0,0)
0
。
0
，
f
y
'
(0,0)lim
y0
y
x
【证明】显然，
f
x
(0,0)lim
x0
因此< br>f(x,y)
微，则有
xy
在点
(0,0)
两个偏导数存 在且等于零.若
f(x,y)xy
在点
(0,0)
可
f(x,y) f(0,0)f
x
'
(0,0)xf
y
'
(0,0) y(x
2
y
2
)
.
即
f(x,y)xy (x
2
y
2
)((x,y)0)
，但如果沿直线
yx
趋于零，有
10 23

lim
x0
y0< br>xy
x
2
y
2

1

2
故
f(x,y)

xy(x
2
y
2
)((x,y)0)
，因此
f(x,y)
在点
(0,0)
不可微。 ■
【例3】设
f(x)
是连续的可导函数，证明
z xf

n
zz

y

x2ynz
。 满足方程
2

xy

x

【证明】 设
t
zz
y
n1n3'
nxf(t)2xyf(t), x
n2
f
'
(t)
. ，则
2
xy
x
于是
x
zz
2ynx
n
f(t)2x
n2
yf
'
(t)2x
n2
yf
'
(t) nx
n
f(t)nz
。 ■
xy
< br>uF(r)
，
x
2
y
2
z
2
和
f
为可微分两次的函数. 证明：【例4】设
uf(r)
，其中r

2
u
2
u
2
u
其中 u
2

2

2
，

为拉普拉斯算 子.
xyz
【提示】计算
u
时要计算三个二阶偏导数，而
uf(r)
中
x,y,z
地位是一样的，故可以考
虑利用对称性，从而减少 计算量。
x
2
r
2
x
2
ux
2
u
'
'
f(r)
，
2
f(r)
2
f(r)
【证明】 . 由对称性即得
rr
3
xrx

2
uy
2
r
2
y
2

2
uz
2
r
2
z
2
'
'f(r)
2
f(r)
，
2
f(r)
2
 f(r)
.
y
2
rr
3
zrr
3
于是

2
u
2
u
2
u1
'

u
2

2

2
f(r)2f(r)F( r)
. ■
xyzr
【例5】设
xx( y,z),yy(x,z),zz(x,y)
为由
F(x,y,z)0
所定义的 函数.证明
xyz
1
.
yzx
'
F
x
x
'
F
y
'
0
，于是有
y
'
， 【证明】 由
F(x(y,z),y,z)0
得
F
x
y
yF
x
同理可得
F
x
'
F
z
'
z
y

'
，
 
'
.
zF
y
xF
z
11 23

注意的是上式一切
(x
0
,y
0
,z
0< br>),F(x
0
,y
0
,z
0
)0
成立.因 此
F
y
'
F
z
'
F
x
'
xyz


'

'

'
1
. ■
yzxF
x
F
y
F
z
【例6】设
zz(x,y)
为由方程组
xe
uv
,ye
uv
,zuv

（其中
u,v
为参数）所定义的函数，求当
u0,v0
时
dz
和
dz
.
【证明】
dxe
uv
2
(dud v),dye
uv
(dudv),dzudvvdu

d
2
zudv
2
vdu
2
2dudv
.
当
u0,v0
时，
dxdudv,dydudv,dz0,d
2
z2dudv
，
11
(dxdy),dv(dxdy)
，因此
22
1
222

dz2dudv(dxdy)
. ■
2
解出
du,dv
得
du
【例7】 求函数
fxyz.
在
axbycz1
下最小值。
【解】 作拉格朗日函数
222
L(x,y,z,

)x
2
y
2
z
2


(axbycz1) .

令
L
x
L
y
L
z
L< br>
0
，即
''''

2x

a0< br>
2y

b0



2z

c0



axbycz1
解得唯一驻点
abc2
,y,z,

.

2222222222 22
abcabcabcabc
1
222
将它们代入
fxyz
得
f
2
。
ab
2
c2
1
222
因此
fxyz.
在
axbycz 1
下最小值为
f
min

2
。 ■
ab
2
c
2

x
【例8】 设
f(x,y)
在全平面上二次可微且恒不为零，证明
f(x,y)g(x)h(y )
的充分必要
12 23

条件是
f(x,y)
满足方程

ff
yx
f
x
'
f
y
'
.
【证明】 必要 性是显然的.现在证明充分性，由于
f(x,y)
在全平面上二次可微且恒不等于
零， 不妨设
f(x,y)0
，令
F(x,y)lnf(x,y)
，则有 ''
'
ffff
f
yxxy

F
x
'

x
,F
xy
0
.
ff
2下面证明
F(x,y)lnf(x,y)p(x)q(y)
，实际上由
F< br>xy
0
可得
F
x
'
p(x)
，因此

lnf(x,y)F(x,y)

p(x)dxq(y)
.
这说明结论成立. ■
【例9】求函数
zz(x,y)
一阶和二阶的偏导数，其中
xyz e
.
【证明】等式两边微分，得
z
dxdydze
z
dz
①
故有
dz
11
(dxdy)(dxdy)
.
z
e1 xyz1
于是，
zz1
2z2z2

.再将①式微分一 次，得
dzedzedz
.
xyxyz1
2
ez
e
z
2
故有
dz
z

dz


z
3

dx
2
2dxdydy
2

.
e1

e1


2
z
2
z
2
ze
z
xyz
于是 . ■

33
z
 x
2
xy
y
2

e1


xyz1

【例10】设可微函数
zf(x,y)
对任意实数t
(
t0
)满足
f(tx,ty)tf(x,y)
, 点< br>P
0
(1,2,2)
是曲面上一点，且
f
x
(1, 2)4
. 求此曲面在点
P
0
处的切平面方程。
【提示】
f(x,y)
是一次齐次函数，弄清楚齐次函数的导函数的特征很重要。
【解】由已 知，对任意的点
(x
0
,y
0
)
有，
f(tx0
,ty
0
)tf(x
0
,y
0
)
.................(*)
将(*)两边对
t
求导得：
x
0
f
x
(tx
0
,ty
0
)y
0
f
y
(tx
0
,ty
0
)f(x
0< br>,y
0
)
...................(**)
在(* *)中令
t1
得：
x
0
f
x
(x
0,y
0
)y
0
f
y
(x
0
,y0
)f(x
0
,y
0
)

13 23 < /p>

故当
(x
0
,y
0
)(1,2)
时，
(2)f
y
(1,2)f(1,2)1f
x
(1 ,2)242.

故
f
y
(1,2)1.

令
F(x,y,z)f(x,y)z
, 则法线方向为
n(f
x
,f
y
,1)
.
故< br>P
0
处法线方向为
n
0
(4,1,1)
. 从而曲面在点
P
0
处的切平面方程为
4(x1)(y2)(z 2)0
.
即
4xyz0
. ■

五、扩展例题解题点击

【例1】设
f(x,y)
在
G{(x,y):xy1}
上定义，若
f(x,0)
在点
x 0
处连续，而且
22
f
y
'
(x,y)
在
G
上有界，则
f(x,y)
在（0,0）处连续。
【证明】 由中值定理，得
f(x,y)f(x,0)f
y
'
(x,
< br>)(y0)
（其中

(0，y)
）
由
f
y
(x,y)
在
G
上有界，知
M0,
使
｜f
y
(x,y｜)M
.
'
'


0 ,
取

1


2M
当
|y0|

1
时有
|f(x,y)f(x,0)|.
（1）
2
由
f(x,0)
在
x0
处连续，知


2
0,
当
|x0|

2
时，有

|f(x,0)f(0,0)|.
（2）
2
取

min{

1
,
2
}
，当
|x0|

，
|y0|
< br>时，由（1），（2）得

|f(x,y)f(0,0)||f(x,y)f( x,0)||f(x,0)f(0,0)|


（0，0）
处连续。 ■
f

x,y

在

【例2】设
M f(x,y,z)
在闭立方体
axb,ayb,azb,
上连续。令 < br>
(x)
max
{minf(x,y,z)}
。试证：
< br>(x)
在区间
[a,b]
上连续。
ayb
azb
【证明】 令
g(x,y)minf(x,y,z),
可得
g(x,y)
在
D[a,b][a,b]
上连续。
azb
14 23

令
F(x,y,z)g(x,y)
且
azb,
可得
maxF(x,y,z)
在
[a,b][a,b]
上连续。
ayb
maxF(x,y,z)
在关于
x
在
[a,b]
上连续。
ayb
因为

(x)maxF(x,y,z)
， 所以

(x)
在
[a,b]
上连续。 ■
ayb


【例3】设
f(x,y)

(xy)sin(xy)

x
2
y
2
,x
2< br>y
2
0,



0,x
2
y
2
0.
证明：
f(x,y)
在点
(0,0）
处连 续但不可微。
【证明】 由于
|
(xy)sin(xy)(xy)xy|xx
2
y
2
||
y||x||y|
x
2< br>y
2
|
2

2

2
.

故对


0,
取



，当< br>|x|

,|y|

时，
|f(x,y)f(0,0 )|
（
|
xy)sin(xy)
x
2
y
2< br>|
|x|
2

|y|
2


,
即
(x,y
lim
)(0,0)
f(x,y)f(0,0)0 .

故
f(x,y)
在点
(0,0）
处连续，下证
f(x,y)
在点
(0,0）
处不可微。
f
'
x
(0,0)lim
f(x,0)f(0,0)
x0
x0
0,
同理
f
'
y
(0,0)0.

令
w(t) f(x,y)f(0,0)f
'
x
(0,0)xf
'
y< br>(0,0)y


xy

sin(xy)

x
2
y
2
.
且
lim
wy)si n(xy)

0

lim
(x

0
(x
2
y
2
)
2
3
xy)sin(xy)(1 k)sin(kx
2
lim
()k(1k)


0
22
2
3
lim

2
2
3
2< br>
2
2
3
ykx
(xy)
0
ykx
(1k)x(1k)
与k有关。
所以
f(x,y)
在点
(0,0）
处不可微。
15 23
■


x
2
y
2
,x
2
y
2
0,

22
2
3
）
【例4】设
f(x,y)

(xy)
证明：< br>f(x,y)
在点
(0,0
处连续但不可微。


0,x
2
y
2
0.
【证明】 由
|f(x,y)f(0,0)||
x
2
y
2
1
22
(x
2
y
2
)
2
3
|
4
xy




0,

4

,
当
x
2
y
2


时，
|f(x,y)f(0,0)|
1
4
x
2
y
2



故
(x,y
lim
)(0,0)
f(x,y)f(0,0)0.

从而
f(x,y)
在点
(0,0）
处连续。
又
f
'
f(x,0)f(0,0)
x
(0,0)lim
t0
x0
0.
同理
f
'
y
(0,0)0.
< br>令
wf(x,y)f(0,0)f
''
x
(0,0)xf
y
(0,0)y.

考虑
wx
2
y
2
k
2
x
4
lim

0
ykx

lim
k
2

0
ykx
(x
2
y
2
)
2
lim
x0
(1k
2< br>)
2
x
4

(1k
2
)
2
，
即
lim
w

0

不存在。
所以
f(x,y)
在点
(0,0）
处不可微。
【例5】设
f(x,y)
在区域
D:|x|1,|y|1
上
上的函数，且
1）对每个
(x,y)
的
x
存在
lim
yy
f(x,y)g(x)
；
0
2）
lim
xx
f(x,y)h(y)
，关于
(x,y)
中的< br>y
一致。
0
试证：
lim
xx
lim
 y
f(x,y)limlimf(x,y).

0
y
0
yy
0
xx
0
【证明】 由条件(2)，得


0,

1
0.x
1
,x
2
,

当
0|x
1
x2
|

1
,0|y
1
y
0
|

时
|f(x
1
,y)f(x
2
,y)|

（1）
在上面（1）式两边令
yy
0
，则
16 23
■

|g(x
1
)g(x
2
)|


limg(x)
存在，令
limg(x)a.

xx
0
xx
0
由条件2），得


2
0
. 当
0|xx
0
|

2
时
|h(y)f(x,y)|

3
. （2）
由条件1），得


3
0
.当
0|y y
0
|

3
时
|f(x,y)g(x)|
xx
0

3
. （3）
由
limg(x)a.
，得


4
0
.当
0|xx
0
|

4
时有
|g( x)a|

3
.
取

min{

1
,

2
,

3
,

4
}
，当
0|xx
0
|

，
0|yy0
|

时
|h(y)a|

,

limh(y)a.
即
limlimf(x,y)alimlimf(x,y).
■
yy
0
xx
0
yy
0
yy
0
xx
0
例6】证明微分中值定理
设二元函数
zf(x,y)< br>在凸区域
D
上两个偏导数
f
x
,f
y
都存在 ，则对于
D
内
任何两点
(x
0
,y
0
)
，
(x
0
x,y
0
y)U(P
0
)
有
''
f(x
0
x,y
0
y)f (x
0
,y
0
)f
x
'
(x
0


1
x,y
0


2
y)x f
y
'
(x
0


1
x,y
0


2
y)y
其中
0

1
1,0

2
1.

【证明】
f(x
0
x,y
0
y)f(x
0
,y
0
)< br>[f(x
0
x,y
0
y)f(x
0
,y
0
y)][f(x
0
,y
0
y)f(x
0
,y
0
)]
（1）
令

(x) f(x,y
0
y)
，则由一元函数的中值定理有：

(x0
x)

(x
0
)

'
(x
0


1
x)x
（
0

1
1
），
即
f(x
0
x,y
0
y)f(x
0
,y
0
y)f< br>x
'
(x
0


1
x,y
0y)x
（
0

1
1
），
同理令

(y)f(x
0
,y)
，可得
f(x
0
,y
0
y)f(x
0
,y
0
) f
y
'
(x
0
,y
0


2y)y
（
0

2
1
）
17 23

代入（1）式即可证明。 ■
【例7】设二元函数
f(x,y)
在区域
D{(x,y)|xy1 }
上可微，且对
(x,y)D
，有
|
ff
|1 ,||1,
证明：对任意
(x
1
,y
1
)D,(x2
,y
2
)D
成立：
xy
|f(x
2
,y
2
)f(x
1
,y
1
)||x
2
x
1
||y
2
y
1
|
。
【证明】 应用微分中值定理，有
|f(x
2
,y
2
) f(x
1
,y
1
)||f(x
2
,y
2
)f(x
2
,y
1
)f(x
2
,y
1
)f(x
1
,y
1
)|
|f(x
2
,y2
)f(x
2
,y
1
)||f(x
2
,y
1
)f(x
1
,y
1
)|
|f
y'

x
2
,

1

||y
2
y
1
||f
x
'


2
,y
1

||x
2
x
1
|
|x
2
x
1
||y
2
y
1
|
其中

1
(x
1
,x
2
),

2
 (y
1
,y
2
)
。 ■
【例8】设
zx
x
(x0)
求
y
y

zz
,
。
xy
y
【解】 由
zx
x
(x0)
两边取对数
lnzxlnx
(1)
两边对x求导有
则
1z
x
y1
yx
y1
lnx
。
zx
y
z
z(x
y1
yx
y1
lnx)x
x
(x
y1
yx< br>y1
lnx)
。
x
同样在（1）式两端对y求导有：
1 z
x
y
(lnx)
2
。
zy
则
y
z
x
y
x
x
(lnx)
2
■
y

【例9】证明不等式
exlnxxxy0,(x1,y0).

【证明】令
f(x,y)exlnxxxy.

则我们只须证明函数
f(x,y)
在区域
D{(x,y)|

x1,y0}
上的最小值0即可。
y
y
''
令f
x
f
y
0.
得
xe,
由此可见函数< br>f(x,y)
的最小值只能在曲线
xe
上达到，且
y
y

f(e,y)eeyeey0.

因此，在
D
上
f(x,y)0
，即证。 ■
yyyyy
18 23

【例10】设
ABC
的外接圆半径为一定值，且
A,B,C
所对的边长分别为
a,b,c,
试证
dadbdc
0

cosAcosBcosC
【证明】 如图1，设
ABC
的外接圆半径为R，圆心为O，则由于
AD
（同弧上圆周角）
aa
有
sinAsinD


BD2R
a2RsinA
A
明
同理
b2RsinB,c2RsinC
D
因此
da2RcosAdA


db2RcosBdB,dc2RcosCdC
O

dadbdc

. C
cosAcosBcosC

2R

dAdBdC

B

2Rd

ABC

图1

2Rd

0
■
【例11】设
f(x,y)
有一阶连续偏导数，
r
则
f(x,y)
有最小值.

ff


x
2< br>y
2
，试证：若
lim

xy1
，

r

xy

x
a0,
当
r a
时，【证明】由题设，
ff
y0
。 令
xrcos

,
，
yrsin

,

xy
e

cos

,sin

< br>则有
fff
cos

sin


y

M
0

L

ex y
1

ff




xy

0
O


x

r

xy


如图2，设
M
0
是圆
ra
上的点，
L
是 过
O
，
M
0
的射线，
则当
ML
，且< br>OMOM
0
时，有
f

M

f

M
0

. 图2
因此，当
r a
，
f(x,y)
在
xya
上取得最小值.又
f(x, y)
在有界闭区域
222
x
2
y
2
a
2
上有最小，则该最小值也是
f(x,y)
在全平面上的最小值. ■
19 23

六、训练题提示点评
< br>0

【训练题1】考虑二元函数
f(x,y)

xy

sin(x
2
y
2
)

连续？
【 提示及点评】考虑点
(x,y)
延
ykx
趋于零时
f(x,y)< br>的极限。 ■
x
2
y
2< br>0
x
2
y
2
0
，问此函数在(0,0)处是否

0

【训练题2】考虑二元函数
f(x,y)

1
xysin

x
2
y
2

x
2
y
2
0
x
2
y
2
0
在(0,0)处的可微性.
【提示及点评】先计算得
f
x
(0,0)f< br>y
(0,0)0
.再计算
f(0x,0y)f(0,0)[fx
(0,0)xf
y
(0,0)y]
xy
22
< br>f(0x,0y)
xy
22
0

因此，
f(x,y)
在(0,0)处可微. ■
【训练题3】若
u,v
是
x,y
的函数，
xrcos

,yrsin

。试由
uvuv
,证
xyyx
明等式：
u1vv1u
,
。
rr

rr

uuxuyuxvy;

rxryrxrxr
vvxvyv xuy
.
■


x

y

x

x
< br>【提示及点评】 利用


y

【训练题4】证明：二元函数
f(x,y)

sinxy

x
x0
x0
在平面上处处连续但不一致连续。
【提示及 点评】连续性主要考虑
x0
时。取

0

n
1
及特殊点列

x
n
,y
n

,

u
n
,v
n

使得
2
lim

x
n
,y
n



u
n
,v
n

0
及
f

x
n
,y< br>n

f

u
n
,v
n

1

0
. ■
222
【训练题5】函数
zz(x,y)
由方程
xyzyf


z


给出，其中
f
可微，求证：

y

20 23

xyz

222
zz
2xy2xz
。

xy
【提示及点评】将原方程两边对
x
求偏导得：
2x2 z

z

1zz
yf


< br>；
x

y

yx
将原方程两边对
y< br>求偏导得：
2y2z

z

z

1z

z

z

z

f
< br>yf


yf





2

；
yyyyyyy

【训练题 6】设

为可微函数，证明由方程

(cxaz,cybz)0
所确定的函数
zz(x,y)
满足：
a
zz
bc
。
xy
【提示及点评】原方程两边对
x
求偏导得

1

(ca
偏导得

1

(a
zz
)

2

(b)0
;原方程两边对
y
求
xx
zz
)

2

(cb)0
。
yy
【训练题7】证明曲面
x
距之和为
a
.

yza

a0

上任何一点的切平面在各坐标轴上 的截
【提示及点评】令
F(x,y,z)xyza
.对曲面上任何一点
(x
0
,y
0
,z
0
)
处：
计算F
x
(x
0
,y
0
,z
0
),Fy
(x
0
,y
0
,z
0
),F
z(x
0
,y
0
,z
0
)
得到切平面的法线方向 。然后写出切平面方
程。
22
zz
【训练题8】设
f(u)< br>具有连续的二阶导数且
zf(ecosy)
满足
2

2e
2x
z
，试求
xy
x
f(u)
的表达 式。
【提示及点评】
zf(ecosy)
是
zf(u)
，uecosy
的复合函数，由复合函数求导法
22
zz
则可以得到
2
,
2
,f

(u),f

(u)之间的关系式，再代入原等式得到
f(u)
的微分方程，
xy
xx< br>可求出
f(u)
.

【训练题9】若直角三角形的一条直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。

【提示及点评】设一直角边为
a
，斛边为
c
且
acm< br>为常数，则另一直角边
bc
2
a
2
。
21 23

从而面积
S
11
abac
2
a
2
。
22
22
【训练题10】求椭圆
x3y12的内接等腰三角形的最大可能面积，要求其底边平等于
椭圆的长轴。

【提示及 点评】设等腰三角形底边与椭圆相交于两点
A(x,y),B(x,y),x0
,则面积< br>Sx(2y)
。再利用条件极值的求法进行计算。
【训练题11】试求函数
z(1e)cosxye
的极值与极值点，并指出是极大值还是极小
值。
【 提示及点评】计算出
yy
zzzz
,
0,0
的点
(x,y)(n

,(1)
n
1)
.再通。求出满足
xy
xy
过二阶偏导判定：
n2k
时，上述点都是极大值，而< br>n2k1
时该点不是极值点。就也说
明函数有无穷多极大值点而无极小值点（中国人 民大学 2000年硕士生入学考试题）
x
2
y
2
z
2
1
内，求一表面积最大的内接长方体，并求出其表面【训练题12】在椭球面
4< br>积。
【提示及点评】此题是条件极值问题，先写出长方体的表面积，然后利用长方体内于椭球面 ，
从而得到约束条件。如：设长方体长、宽、高分别为
2a,2b,2c
，则
S8(abacbc)
。
a
2
b
2
c
2
1
。利用拉格朗日乘数法求解得到
S
max
2(133)。 约束条件为：
4
【训练题13】设函数
f(x,y)
具有连续的一阶 偏导数，且
x
在极坐标下与矢径
r
无关。
【提示及点评】要证明题 目结论，实际上要证明
ff
y0
.试证明：
f(x,y)
 xy
f
0
。令
xrcos

,yrsin

。利用
r
ffxfy

计算即可.
 rxryr
【训练题14】设
f(x,y)
为连续函数，且当
(x, y)(0,0)
时，
f(x,y)0
及满足对任意的
证明存在

,

0
使得：

x
2
y
2< br>f(x,y)

x
2
y
2
.
c0< br>，
f(cx,cy)cf(x,y)
。
【提示及点评】首先推出
f( 0,0)0
。取
g(

)f(cos

,sin

)
在
[0,2

]
上的最大值

和< br>最小值

。令
xrcos

,yrsin
，

rrf(cos

,sin

)
< br>r
.显然成立。而当
r0
时,
22 23

f(x,y)f(rcos

,rsin

)rf(cos

,sin

)
。
23 23